HAL Id: jpa-00233771
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Nouvelle expression du coefficient de convection de la
chaleur en régime d’écoulement turbulent
G. Ribaud
To cite this version:
NOUVELLE EXPRESSION COEFFICIENT
EN
RÉGIME
D’ÉCOULEMENT
TURBULENT Par G. RIBAUD.Laboratoire des Hautes
Températures
de la Faculté des Sciences de Paris.Sommaire. 2014 La formule classique de Prandtl, qui fixe le coefficient de convection 03B1 de la chaleur en
régime turbulent se montre en désaccord avec l’expérience dès que le nombre sans dimensions
Pr = C03BC/03BB
prend des valeurs notables, en particulier pour les liquides de haute viscosité.Exprimée en nombres sans dimensions (R, nombre de Reynolds;
Cf,
coefficient de frottementturbu-lent) cette formule peut s’écrire :
pour les valeurs élevées de Pr le dernier rapport est indépendant de Pr; l’expérience indique, au
contraire, que Pr doit y figurer à une puissance voisine de 0,4.
Nous avons repris le calcul de Prandtl et montré que, à la limite de la couche turbulente et de la couche laminaire en contact avec la paroi, ce calcul laisse apparaître une grande discontinuité dans le gradient de température; il paraît indispensable de rétablir d’abord la continuité. En outre, des
considé-rations très simples d’analogie entre frottement et convection montrent que la turbulence influe sur la température beaucoup plus près de la paroi qu’elle ne s’exerce sur la vitesse, ce qui amène à prolonger, dans la couche laminaire, la courbe des températures valable pour la zone turbulente jusqu’à rétablir la continuité des
dT/dV.
Le calcul montre alors que si l’on admet, au voisinage de la paroi, la loi logarithmique de Karman pour la distribution des vitesses, le coefficient de convection obtenu ne se montre pas en accord avec
l’expérience. On est amené à choisir une loi de vitesses différente susceptible de rétablir l’accord. Au lieu d’admettre que le gradient de vitesses dans la zone turbulente
s’écrit (1-U
-’ f fj
(f, force de. dy u- y
frottement unitaire à la paroi; 8 épaisseur de la couche-limite laminaire correspondant à des frottements turbulent et laminaire égaux; y, distance à la paroi), on peut supposer une loi de la forme
Les mesures de convection s’accordent remarquablement avec un exposant n égal à 3, ce qui conduit à une
expression du coefhcient oc analogue à la relation donnée plus haut, mais dans laquelle le dénominateur
a pour valeur i +
o~5~Pr~2013i~.
La nouvelle formules’accorde remarquablement avec les faits expérimentaux jusqu’à des valeurs de Pr supérieures à 100
(huiles) ; elle exprime bien que la dernière fraction varie avec Pr suivant une puissance très voisine de o,!~; elle montre même que, pour les faibles valeurs de Pr, la puissance à considérer est égale à o, 5, fait confirmé par l’expérience.
Les considérations précédentes permettent également de prévoir la forme générale que doit avoir la courbe des vitesses au voisinage de la paroi; la formule obtenue
est en excellente concordance avec les mesures jusqu’à des valeurs de y de l’ordre de 26~; entre 201 et IF 61, la relation précédente s’accorde mieux avec un exposant 2,5 au lieu de 3. L’ensemble des résultats, tel
qu’il résulte de la valeur du coefficient de convection ou de la distribution des vitesses, est pleinement satisfaisant.
La formule nouvelle de convection s’applique aussi bien au plan qu’au cylindre.
1.
Rappel
des notions essentielles sur laturbulence et le frottement turbulent. - Alors que dans le cas de l’écoulement laminaire tous les
filets fluides
parallèles
conservent leur individualitésans se
mélanger
(9,
lorsque
l’écoulement devientturbulent, il se
produit
uneinterpénétration
des filetsvoisins;
il faut alors admettrequ’à
la vitesse d’ensemble u, que nous supposonsparallèle
à l’obstacle(plan, génératrices
d’uncylindre),
sesuperpose une vitesse totalement désordonnée dont
nous
désignerons
par u’ et v’ les deuxcomposantes,
l’uneparallèle
à u(axe Ox),
l’autreperpendiculaire
à l’obstacle léché par le fluide
(axe Oy).
Reynolds
a montré que, si l’onplace
en unpoint
un élément de surfaceunité,
parallèle
àl’obstacle,
cet élément est soumis à une force
tangentielle
defrottement turbulent ? donnée par la relation
(p,
massespécifique
dufluide);
bienentendu,
si lefrottement laminaire n’est pas
négligeable,
il convientd’ajouter
àl’expression précédente
le terme de frottement laminaire et d’écrireLe
premier
de ces termescorrespond
en réalitéau
transport
moléculaire dequantité
de mouvementd’un
plan
où la vitesse est u auplan
voisin où la vitesse est u + le terme turbulentcorrespond
dy
en fait au
transport
de la masseo u’
d’unplan
dansl’autre. De même que, dans le
premier
cas, on est amené à considérer un libre parcours des moléculeset à
expliciter
IJ. en fonction de ce libre parcours,dans le cas d’un écoulement turbulent on est amené à considérer ce que Prandtl a
appelé
le « parcoursde
mélange 1
», au coursduquel
lesparticules
fluides , conservent leur individualité.Prandtl a démontré que u’ et v’ ont pour ordre de
grandeur 1
dit
et que, dans cesconditions,
l’efforttangentiel
turbulentpeut
s’expliciter
comme suit :(m,
masse de matièrequi,
parseconde,
traverse i cm2de surface
perpendiculaire
àOy).
Par des considérations de similitude que nous ne
développerons
pas, Karman est arrivé à montrer que le parcours demélange
1 a pourexpres-(1) A la vérité, on a, dans ce cas, le mélange, à l’échelle microscopique, qui résulte de l’agitation moléculaire.
(2) On remarquera que u n’intervient pas directement dans
cette expression, mais bien la composante u’ de la fluctuation de vitesses.
sion constante de
Karman,
très voisined,
d -v2
de
o,4o)
et, dèslors, "
s’écrit2. Distribution des vitesses dans une conduite
circulaire
rectiligne
enrégime
d’écoulement turbulent. - Dans un conduitcylindrique
de rayon r où lerégime
d’écoulement turbulent estétabli,
sidp
est legradient
depression
suivantdx
l’axe Ox on a, en
désignant
par y le rayon d’uncylindre
à la surfaceduquel
le frottementtangentiel
sera
désigné
par 7, celui à laparoi
étantreprésenté
par f ,
1équations
d’où l’on déduit immédiatementDès lors, dans le cas d’un tel
conduit,
le frotte-ment à laparoi peut
s’écrire,
en tenantcompte
del’équation (3),
,1 1 1 "1 , ,.qui, intégrée,
donne(expression
deKarman) :
(a,
constanted’intégration) (3).
A la vérité, une telle
expression
n’est valable quedans le noyau central où l’écoulement est
turbulent;
elle cesse de l’être en touterigueur
lorsqu’on
serapproche
suffisamment de laparoi
pour que le frottement laminairejoue
un rôle nonnégligeable.
On est amené à considérer une couche
(couche
laminaire
secondaire)
danslaquelle
le frottementlaminaire
joue
un rôlecroissant,
jusqu’à
devenirprépondérant
auvoisinage
immédiat de laparoi.
La
figure i
résultant des mesures de Van derHegge
Zijnen
(4)
lelong
d’unplan permet
de se faire une(3) Pour tout ce qui précède, le lecteur trouvera des ind i -cations dans les monographies plus complètes, en particulier dans le fascicule de Ch. SADRON (Publ. sci. et techn. du
Alinisière de l’Air, n- 65).
idée des
phénomènes;
loin de laparoi
la loi de vitesses estreprésentée
assez exactement, encoor-données
logarithmiques,
par une droite depente 1/7,
_
’Fig. 1 .
puis
la courbechange progressivement
d’allure pourtendre vers une droite de
pente
icorrespondant
au« frottement laminaire pur ». La
figure
i bis donneFig. r bis.
la
partie
OB de la même courbe, en coordonnées cartésiennes.On a coutume
d’adopter,
pourépaisseur
de la couche laminairesecondaire, la distance à la
paroi
du
point
A àpartir duquel
la courbelogarithmique
cesse d’être
rectiligne;
la zone ABreprésentant
latransition
entre «régime
laminaire pur » et «régime
turbulent pur ». Nous reviendrons
plus
loin sur cepoint.
Contentons-nous
d’indiquer
ici que Karmanadopte
pour la constante a del’équation
(4),
la valeurqui
renddu
infini à laparoi;
il obtient alors pourdy
,
expression générale
de lavitesse,
la relationclas-sique (uo,
vitesses surl’axe) :
Une telle
équation
ne tient évidemment aucuncompte
du frottement laminaire contre laparoi
etne
peut
avoir laprétention
dereprésenter
lesphéno-mènes,
ni dans la couche laminaire secondairehabi-tuelle,
ni même dans la zone de transition.Il n’est
peut-être
pas inutile de faire ressortir tout de suite quel’importance
du frottement lami-naire dans un conduit est très faible parrapport
à celle du frottement turbulent et que des mesuresexpérimentales
du frottement à laparoi
sontimpuis-santes à nous
renseigner
sur la distribution des vitesses trèsprès
de laparoi.
Seules des mesuresdirectes de
vitesse,
effectuées parexemple
à l’ané-momètre à filchaud,
sontsusceptibles
de nousfournir d’utiles
indications;
et encore convient-il deremarquer que de telles mesures sont rendues très délicates par l’influence très nette de la
paroi
surle refroidissement du fil, dès que la distance de ce
dernier à la
paroi
devient inférieure àquatre
oucinq
fois son diamètre.3. Distribution des vitesses au
voisinage
de laparoi.
- Pour despoints
relativement voisins de laparoi,
maistoujours
ennégligeant
le frottementlaminaire,
les relations(4)
et(5)
peuvent
s’écrire,
en
prenant
lesorigines
des g à laparoi (5) :
De
façon
plus précise,
Karman(ig3o)
a montré que la vitesse upouvait
se mettre sous la formegénérale
qui,
enadoptant
lesgrandeurs
réduites,
se traduit par une droite en coordonnées
logarith-miques.
Lafigure
2 donne lacomparaison
entrela formule
(7)
etl’expérience;
une droiterepré-sente bien les résultats
expérimentaux jusqu’à
des valeurs de Y* de l’ordre de i oo;mais,
en dessousde cette
valeur,
lespoints expérimentaux
s’écartent de ladroite,
et cela d’autantplus
que l’onapproche
de la
paroi;
il faut évidemment voir là l’influence du frottement laminaire.On
peut
essayer d’introduire cette deinière influence en se bornant d’abord àpréciser
les ordresde
grandeur.
Unepremière
façon
d’opérer
consiste à rechercher la distance à laparoi (y
=~’)
pour
laquelle
legradient
de vitesses à laparoi,
telqu’il
résulte du frottementlaminaire,
c’est-à-direa
1
P-est
égal
à celui fourni parl’équation (6);
cela revient,Fig. 2 (Karman).
en d’autres termes, à raccorder la courbe des
vitesses
(6 bis)
avec la droite de frottementlami-naire ;
on obtientainsi,
pour la distancecherchée,
la valeur
et, pour la vitesse en ce
point,
On remarquera que les
grandeurs
réduites U* et Y*envisagées
par Karman ne sont autres que lesu ’V
et
°On
peut également
(6) ,
dansl’intégration
de Karman[éq.
(4)],
calculer la valeur de la constante ade
façon
que, pour y =r, du
, ne
soit pas
infini,
e Ô ’
(li’
ne pas maiségal
à:.
Cela conduit immédiatement auxrelations
’
Un résultat
identique
peut
être obtenu par unevoie toute différente. Le frottement turbulent
exprimé
parl’équation (2)
peut
se traduire enadmettant en tout
point
un coefficient de viscosité« turbulente »
p.’,
analogue
à li-,ayant
pourvaleur
et variable avec la distance à la (s) G. RIBAUD, C. R. Acad. Se., 211, p. ~60.paroi.
Écrire
qu’à
une distance 011(7)
il y a conti-nuitédes du
revient à admettrequ’en
cepoint
p’ =
d-c’est-à-dire que les frottements turbulent et lami-naire sont
égaux.
Onvoit,
en outre, que, sil’équa-tion
(6)
estvalable,
l’on a, pour unpoint
à distance y de laparoi,
la relationEn tout
point
l’addition des deux frottements conduit à la relationAppliquée
auvoisinage
immédiat de laparoi
(r
=i)
la relation
précédente
donneUne telle formule ne se montre pas en accord
avec les valeurs
expérimentales;
nous verronsqu’en
outre elle conduirait à des valeurs des coefficients de convection en désaccord avec
l’expérience.
Noussommes donc
amené,
dèsmaintenant,
à conclurequ’au
voisinage
immédiat de laparoi
la relationlogarithmique
de Karman nereprésente
pas laréalité. Il ne faut pas s’en
étonner,
le raisonnementde Karman
s’applique,
eneffet,
uniquement
à lazone turbulente pure et ne
peut
s’étendre à la zonedans
laquelle
la turbulence se trouve amortie par levoisinage
de laparoi.
4. Relation entre frottement et convection en
régime
turbulent. Loi de similitude deReynolds.
- Dansun fluide en écoulement laminaire, le
frotte-ment et la convection résultent de
l’agitation
molé-culairequi
transporte,
d’une couche à une autre,d’une
part
de laquantité
de mouvement, d’autrepart
de la chaleur. Dans le cas des gaz desconsidé-rations très
simples
decinétique,
faisant intervenir, le libre parcours des
molécules,
permettent
dechiffrer le coefficient de
viscosité [.£
et la conducti-bilitécalorifique ),
et demontrer,
defaçon
simple,
que ces deuxgrandeurs
ainsi que la chaleurspéci-fique
C sont telles que le nombre sansest
indépendant
de latempérature
et de lapression.
Nousdésignerons,
par lasuite,
ce nombre par Pr(nombre
dePrandtl-Stanton);
pour unliquide
il nesera
plus indépendant
de latempérature.
Dans un écoulement turbulent le frottement et la convection résultent d’un
transport
macroscopique
(~) Dans la suite, la distance à la paroi pour laquelle frot-tements laminaire et turbulent sont égaux, sera représentéepar 6", pour éviter une confusion avec ~’ [éq. (6)]. Sur la figure ~, cette distance serait approximativement celle
de matière d’une couche à
l’autre,
entraînant unéchange
dequantité
de mouvement et de chaleur. Le frottement turbulent local :[formule (2)]
] prend
une
expression analogue
à celle du frottementvisqueux,
danslaquelle 1 et v’ jouent
le même rôle que le libre parcours et la vitessemoléculaire;
quant
à laquantité
de chaleur transmise par seconde à travers l’unité de surfaceperpendiculaire
àOy,
ellepeut
s’écrire :(C,
chaleurspécifique
dufluide,
àpression
con-stante,
rapportée
à l’unité de masse;T,
température
du fluide, ou mieux : excès de latempérature
du fluide sur celle de laparoi).
Des
équations (2)
et(13)
il résultequ’en
toutpoint
de la zone turbulente on a la relation desimilitude
(Reynolds, 1884) :
iOn
peut
donner à cette relation une formediffé-rente,
d’application plus
directe,
par le raisonnementsuivant,
un peuplus complet
que celui deReynolds.
Considérons d’abord le cas du
cylindre,
avecorigine
des y surl’axe;
soient /
le frottement à laparoi,
r le rayon. Par unité delongueur
du conduitla force totale de frottement
27-.ri
n’est autre quel’intégrale
de laquantité
2z d(y=)
étendue de zéro à r; autrement dit onpeut
écrire,
en s’aidant del’équation (2),
Partant de
l’équation (13)
onpeut,
de même,écrire pour la
quantité
de chaleur transmise par centimètre carré de laparoi
La
comparaison
des deuxéquations (15)
et(16)
montre que l’on a nécessairementOn
pourrait
exprimer
les mémes’ relations dans lecas du
plan,
lesintégrations
s’effectuant ici entre uet
l’épaisseur à
de la couche turbulente ; pour leplan,
onpeut
également
écrire en unpoint
Ces relations montrent
qu’en
toutpoint
lerap-port
est lui aussi donné par la relation(17).
dx à-. ’
En
conclusion, si l’on
appelle To
et u, latempéra-ture et la vitesse sur
l’axe,
T et u les mêmesquantités
aupoint
d’ordonnée y, la relation(17)
s’écritou encore
Cette dernière
expression
montre que, si l’on trace( fig.
3)
les courbesreprésentant £
etd’-o lio
en fonction de y, ces courbes sont semblables;
Fi g. 3.
autrement
dit,
dans toute la zoneturbulente,
l’on aentre les
longueurs
AT et Aii la relation5. Coefficient de convection.
Expression
deReynolds-Stanton (8).
-- Si l’onnéglige
la couche laminaire secondaire et si l’on suppose que le noyau turbulent s’étendjusqu’à
laparoi,
cela revient àécrire,
dans la relation(18)
que, pour laparoi,
l’on a ’ = u == o; dès
lors,
-7 ", -
y
ou, enexpli-Mo
citant le coefficients de convection
= #-
(9),
7uvalable aussi bien pour le
cylindre
que pour leplan.
Traduite en nombres sans dimensions larelation
précédente
peut
s’écrire indifféremment(C~,
coefficient defrottement;
nombre deReynolds) :
6.
Expression
de Prandtl(1°).
- Prandtl a faitremarquer avec
juste
raison que, pour obtenir uneexpression
correcte du coefficient deconvection,
il convient de tenircompte
de la couche laminairesecondaire;
nous verrons, eneffet,
que, dans le casdes fluides très
visqueux,
c’est ellequi,
aupoint
de vue
convection,
joue
le rôleprépondérant.
Désignons
par T’ et u’ latempérature
et la vitesse dans la couche deséparation
entre les zoneslami-naire et turbulente. La relation
(18),
relative à lazone
turbulente,
s’écrit ici :Dans la zone
laminaire,
si l’on admet que le fluide estimmobile,
laquantité
de chaleurQ
s’écrit :Q
= ~ .
ou, en tenantcompte
de laqui
traduit le frottement dans la couchelaminaire,
Les deux
équations (23)
et(24)
permettent
d’écrireLe coefficient de
convection,
rapporté
à latempé-rature
Ta,
s’écrit alors(formule
dePrandtl).
(9) Nous désignons le coefficient
de-convection Q-
par ]a .7,, notion (la pour indiquer qu’il est rapporté à la température To,(1°) PRAVDTL, PhlJ.S. ZIS., 1 g ~ o, 11, p. ~ 1 0 12.
Dans le raisonnement
précédent
on admetimpli-citement que la
quantité
de chaleur et le frottement local restent constantsdepuis
l’entrée dans la zonelaminaire
jusqu’à
laparoi;
étant donnée la très faibleépaisseur
de la couche laminaire une telleapproximation
estpleinement justifiée.
On remarquera que, dans le cas des gaz, pour
lesquels
le nombre de Prandtl est voisin del’unité,
le dénominateur del’expression précédente
est très sensiblementégal
à 1(~1);
la formule de Prandtldevient
identique
à celle deReynolds-Stanton
[formule (20)].
7. Résultats
expérimentaux
relatifs à la convection enrégime
turbulent dans un conduitcylindrique.
Formulesempiriques. -
Nous nediscuterons pas ici les
techniques
de mesures des coefficients deconvection;
nous n’examinerons pasdavantage,
dans ledétail,
les résultats de ces mesures, que l’on trouvera dans les ouvragesspéciaux.
Faute deplace
nous nous contenterons dereproduire
quelques figures
traduisant des résultatsexpéri-mentaux.
Fi g. ,
Pour les divers gaz, le nombre de Prandtl-Stanton
(()
étant peu différent del’unité,
les formules deReynolds-Stanton
[formule (22)]
et de Prandtl[formule (25)]
diffèrent très peu; encoor-données
logarithmiques,
avec (Rud en abscisseset ô3 en
ordonnées,
lesexpériences
sont très convenablementreprésentées
par une droite depente
o,8
(fig. 4);
la droite B,qui
traduit la for-mule(22),
donne,
on levoit,
unereprésentation
moins satisfaisante que la droite
A,
laquelle
tient (11)Égal
à o,92 pour l’air, à 0,95 pour le gaz carboniquecompte
du dénominateur de la formule(25).
Cettedernière,
qui
peut
s’écrire 63 = 0,023 Ci")s’accorde,
defaçon
pleinement
satisfaisante,
avec laformule
empirique
admise dès igog parNusselt,
dans le cas des gaz : -.Fi,s. s.
Dans le cas des
liquides
l’accord entre la théorie de Prandtl etl’expérience
se montre peusatis-faisant ;
enparticulier,
pour lesliquides
trèsvisqueux
Fig. G.
(huiles),
la formule(25)
conduirait à uneexpression
du nombre de Biot
indépendante
dePr,
résultat contredit parl’expérience.
Enparticulier
si,
commel’ont fait Dittus et B0153lter
(fig. 5),
on sepréoccupe
de rechercher l’influence du facteur Pr en
opérant
sur divers fluides et maintenant constant le nombre de
Reynolds (il = 10
ooo dans lafigure
5),
ontrouve, en coordonnées
logarithmiques,
une droite depente
voisine de0,4.
La formule
empirique
suivante :permet
de traduire fidèlement les résultatsexpéri-mentaux ; c’est la formule
pratique
généralement
Fig.7.
admise par les techniciens américains. A la
vérité,
certains
expérimentateurs
ontproposé
desexposants
Fui 9. 8.
un peu différents, en
particulier
Kraussoldqui,
Nous reviendrons
plus
loin sur cettequestion
du désaccord entre la théorie de Prandtl etl’expé-rience ;
contentons-nous ici dereproduire
les résultats des nombreuses mesures effectuées sur diversliquides.
Lesfigures
6 à 9,empruntées
à l’excellent ouvrage9.
de Mc Adams
(12),
permettent
de se faire une idéed’ensemble de la concordance de la formule
empi-rique (26)
avecl’expérience.
Dans cebut,
on aporté
en abscisses le nombre deReynolds,
et enordonnées,
non
plus
le nombre de Biot, mais leproduit
de ce/ X B "
nombre par
( 2013 ) ’
Pour diversliquides organiques ;
benzène, acétone,
alcoolbutylique
normal,
lafigure
6, avec n =0,4,
rendparfaitement
compte
des résultats. Dans le cas de l’eau
(2013
voisin de3)
A ,
les
expériences
s’accordent mieux avec n = o,57).
,Pour les
liquides
de forte viscositéhuiles :
/-l", C
supé-B A
rieur
à i oo
lesfigures
8 et g conduisent à unexpo-sant n un peu différent suivant que le
liquide
s’échauffe
(n
==o,4)
ou se refroidit(n
=o,3).
8.
Remarques
sur le calcul du coefficient de convection donné par Prandtl. -- Nous venonsde voir que le calcul de Prandtl conduisait à une
expression
du coefficient de convection s’accordant mal avecl’expérience
pour lesliquides visqueux.
Nous avons été conduit à faire
(13),
ausujet
de cecalcul,
un certain nombre de remarques que nousrésumons ici. Dans son étude Prandtl
sépare
l’espace
(12) Mc ADAMS, Heat Transmission.
(l3) G. RIBAUD, C. R. Acad. Se., p. ri f o et p. 541.
en deux zones : d’une
part,
la zoneturbulente,
d’autre
part,
la zone laminairesecondaire,
d’épais-seur
à’,
danslaquelle
la vitesse varie linéairement de o à u’. On supposeévidemment,
defaçon
impli-cite, que la droite
des vitesses laminaires esttangente
en u’
(fig.
10)
à la courbe des vitesses dans la zoneturbulente, la
tangente
communeayant
pourpente
..Fig. r o.
Dans la
région
turbulente la courbe destempé-ratures se déduit de celle des vitesses par la loi de similitude de
Reynolds
[formule (20)];
à la limite des deux zones lapente
de cette courbe a pour valeurÉcrire
avec Prandtl que, pour la couche laminaire,le coefficient de convection a pour
valeurs,
revientà admettre que, dans cette zone
laminaire,
la courbedes
températures
est la droite OT’ depente
Les deux
expressions précédentes
montrent,qu’au
raccordement des deux zones
d’écoulement, il
n’y
apas continuité des
dy;
lerapport
desgradients
detem-dy
pérature
dans les deux zones a pour valeurÇ
= Pi.Il
paraît indispensable
de donner une théoriequi
d 1 rétablisse la continuité du
gradient
d
q’r
Pour arriver à ce
résultat,
il nous semble utile defaire,
aupréalable, l’importante
remarque suivante.En un
point
donné la force de frottement local : résulte de lasuperposition
du frottement turbulent et du frottementlaminaire,
cequi
conduit,
enQuant
à laquantité
de chaleur qtransmise,
on doit la considérer comme la somme de la convection turbulente[formule (13)]
et de la convectionlami-naire,
cequi
fournitl’expression
La
comparaison
des derniers termes des deux formulesprécédentes
montre que, pour unfluide
visqueux
(Pr élevé) lorsqu’on
serapproche
de laparoi,
I’e f f et
de la turbulence sef ait
sentirbeaucoup
plus longtemps
sur la convection que sur lef roftement.
Pour rétablir la continuité des
gradients
detempé-rature, il est donc
logique
deprolonger,
dans lazone
laminaire, la courbe des
températures
valable pour la zoneturbulente,
jusqu’au point
Tj’ de raccordement avec la droite destempératures
issue del’origine (fig, 10).
9. Essai de théorie
complète.
Formulegéné-rale. - Pour
prolonger
la courbe destempératures
entre T’ et T", onpeut
songer à utiliserl’expression (6)
de Karman au
voisinage
de laparoi
y, distance à la
paroi.
De cette relation on déduit aisément le
gradient
de
température,
et latempérature
T :T" n’est autre que le
point
de contact de la courbe destempératures
avec la droite issue del’origine
et depente
2013?
l’ordonnée 3" de cepoint
’
,,
est fournie immédiatement par la relation à"
--
Pl-et la valeur de la
température
T" est donnée par la formuleLe calcul du coefficient de convection s’achève
aisément,
comme dans le raisonnement de Prandtl, et fournitl’expression
suivante :Une
comparaison
de cette formule avecl’expé-rience montre que les valeurs de oc calculées sont
notablement
plus
élevées que les valeursexpéri-mentales,
du moins pour lesgrandes
valeurs du nombre dePrandtl;
en outre, la variation de «ou (0 avec Pr ne s’accorde en aucune
façon
avec lacourbe
reproduite
à lafigure
5. On arrive ainsi à lamême conclusion que celle fournie
plus
haut par l’étude de la courbe des vitesses; la relationloga-rithmique
des vitesses ne traduit pasl’expérience
au
voisinage
immédiat de laparoi.
On
peut
se proposer de rechercher une loi devitesses
permettant
de concilier le calcul etl’expé-rience ;
ilfaut,
enparticulier,
pour que la formule(25)
laisse
apparaître
au numérateur Pr avecl’expo-sant
1/3,
que, pour lesgrandes
valeurs dePr,
l’expression
finale contienne le dénominateur à lapuissance 2/3.
Admettons
qu’au voisinage
de laparoi
legradient
de vitesse soitreprésenté
par une relationanalogue
. Õ"
à la formule
(29),
mais danslaquelle - figure
avecl’exposant
n>’
Les
calculs,
développés
commeplus
haut,
con-duisent immédiatement aux relations suivantes :et le coefficient de convection «o
prend
pour valeurPour que cette
expression
traduise les faitsexpérimentaux,
l’on doit avoir :La « couche laminaire
thermique
» .1" est alorsreliée à la couche laminaire
dynamique
~’ par larelation §/
_’j- ,
et, si l’on admetpour Lçll
lao
-
~-
Il()
valeur
o,5
bis~,
le coefficient de convections’exprimera numériquement
par les formulesvérifier, on
peut,
parexemple,
se proposer derechercher la
variation,
en fonction dePu,
de laPr
fraction n 2013201320132013201320132013201320132013
qui
.
figure
dans1
-- 0,~’J ( /~/ ’ 2013 1 )
l’expression
du nombre de Biot-Nusselt. Le Tableau 1 donnequelques
valeurscomparatives
de ?n etPr;
nous y avonségalement porté
les valeursdu "~
qui
figure
dansl’expression
(25)
de Prandtl. Ces valeurs,reportées
sur la
figure
5,
endisques
noirs pour ~, en croixnoires pour
u/,
montrent leparfait
accord de mavec la droite de Dittus et
B0153lter,
et la discordance de m’ avec cette même droite. Pour des valeurs dec
de l’ordre de 100(huiles),
la formule dePrandtl donne des valeurs de oc deux fois
trop
faibles.TABLEAU I. - Yaleurs
des fractions
Non seulement
l’expression
générale
s’accorde dans l’ensemble avec les données
expéri-mentales
actuelles,
mais ellepermet
mêmed’expli-quer certaines
particularités
comme celle de l’eau pourlaquelle
les mesures, comme nous l’avons vu, s’accordent mieux, dans la formuleempirique (26),
avec un
exposant
o,5qu’avec l’exposant
o,4.
Pourpouvoir
traduire fidèlement les résultatsexpérimen-taux par des droites
logarithmiques analogues
à celles desfigures
6 à g, ilimporte
deprendre
commeordonnée le nombre de Biot-Nusselt divisé par une
puissance
p dePr, telle que
(Pr)" _
m, c’est-à-direégale
’ On trouvera, dans la colonne 3 duI r
Tableau I les valeurs de ce
rapport,
pour diversesvaleurs de Pr; on voit que, pour les
liquides
dont lenombre de Prandtl-Stanton est de l’ordre de 2,
tel est le cas pour l’eau au
voisinage
de80°,
l’expo-sant p est très voisin de
o,5;
pour les valeurs crois-santes de Pr il tend vers une valeur très sensiblementégale
ào,~,
cequi
est enparfaite
concordance avecl’expérience.
10. Courbes des vitesses et des
températures,
au
voisinage
de laparoi,
déduites des mesuresde convection. -- Nous
avons vu que les mesures
de frottement turbulent ne
pouvaient
nous fourniraucune indication sur la courbe des vitesses au
voisinage
de laparoi,
cette dernière zonen’inter-venant
pratiquement
pas dans le frottement total. Enrevanche,
dans le cas desliquides
de hauteviscosité,
laquantité
de chaleur convectée à laparoi dépend
à peuprès
uniquement
de larépar-tition des vitesses dans la couche
laminaire;
cette couche fait en effet intervenir dans la formule(31)
2
le terme en PJ
qui
estprépondérant
dansl’ex-pression
de oc.L’excellente concordance entre
l’expérience
et le calcul du coefficient de convection donnéplus
haut pour les fluidesvisqueux,
amène à conclure que la loi du frottement turbulent auvoisinage
de laparoi
doit être assez exactementreprésentée
par la for-mule(30)
avec n = 3. Si l’on superpose la viscositélaminaire et la « viscosité turbulente »
l’expression
de la force de frottement à la
paroi
peut,
dèslors,
s’écrire >
.- B H 1 1
expression qui
fournitimmédiatement,
parinté-gration,
On trouvera, sur la
figure 11,
en traitplein
(courbe OAB3),
la courbe des vitesses calculée àpartir
de la formuleprécédente;
nous avonsporté
sur cettefigure
les valeursexpérimentales
obtenues par Van derHegge
Zijnen
lelong
d’unplan
bis)
enchoisissant,
pourô",
la valeur o,5 mm(u
= 600 cm :sec) (courbe
enpointillé).
On voit que,j’usqu’à
des valeursde F
de l’ordre de 2, l’accordo
avec
l’expérience
estpleinement
satisfaisant. Si l’onprécise
que la valeur de ô" admise dans notre calcul est nettementplus
élevée que celleadoptée
engénéral
commeépaisseur
de la couchelaminaire
secondaire,
on voit que la courbethéo-rique
(32)
coïncide avecl’expérience
jusqu’à
des distances de laparoi
de l’ordre de trois foisl’épais-seur de la couche laminaire secondaire; elle
s’étend,
en
particulier,
à presque toute la zone,jusqu’ici
mals’accorde mieux avec la formule
(32)
danslaquelle
on introduit
l’exposant
2,5 au lieu de 3.Il reste entendu que, à des distances
plus grandes
de la
paroi
pourlesquelles
le frottement laminairene
joue plus
aucunrôle,
la théorie et la formule de Karman[formule
(7)],
qui
traduisent le frottement turbulent pur, conservent toute leur valeur(15).
Fig. 1 T 0
Étudions
maintenant la forme de la courbe destempératures
auvoisinage
de laparoi.
Si,
dans larelation
(28),
nousexplicitons
la valeur durap-nd
l . 01.. , d.port - -
il vient immédiatementéquation
dontl’intégration
fournitavec z =
l’P/" §1 #
E,
(à " épaisseur
de la « couchelaminaire
thermique
»).
On voit que la courbe des
températures
au voisi-.nage immédiat de la
paroi
est de même forme que celle des vitesses; onpeut passer
de l’une à l’autre (11) Ces dernières considérations seront développées dans uneautre publication.
par une réduction de la distance y à la
paroi
effectuéedans le
rapport
B/ Pro
On arrive ainsi à la conclusion que, pour lesliquides visqueux
comme les huiles la décroissancebrusque
de latempé-rature s’effectue dans une
épaisseur cinq
foisplus
faible que
l’épaisseur
de la « couche laminairedyna-mique
». Lafigure
II i donne l’allure de la courbedes
températures
auvoisinage
de laparoi,
dans lecas d’une huile
(Pr = 125)
et de l’eau(Pr
=4).
11.
Comparaison
des courbes de vitesses et detempératures
Les
mesuresconjuguées
devitesses et de
températures
dans la couche limiteFig. l 2.
turbulente
(Pannell,, Jurges,
Elias)
ont montré que, dans le cas des gaz, lesprofils
des vitesses et destempératures
sontidentiques.
Lafigure
12repré-sente les résultats obtenus par Pannell dans le cas
d’une conduite verticale chauffée
électriquement
etFil. 13.
parcourue par un courant d’air turbulent. La
figure
13 montre les résultats obtenus parJurges
et par Elias dans le cas d’uneplaque
verticale léchée par un courant d’air turbulent. Dans les deux cas, u est la vitesse en unpoint
M de la couche limitede la
paroi (vitesse
au loin dans le cas duplan;
vitesse sur l’axe dans le cas de laconduite);
T estla différence entre la
température
de laparoi
et latempérature
aupoint
M; T,,
est la valeur queprend
cette différencequand
lepoint
M est sur l’axe dans le cas d’une conduitecylindrique
ou à la frontière de la couche-limitelorsque
l’écoulement se fait lelong
d’unplan.
Dans ce dernier cas, toutes cesvaleurs s’entendent pour une même abscisse x
comptée
àpartir
du bordd’attaque.
Lesexpériences
d’Elias établissentl’égalité
desrapports u
o
et T
>, Uo () u
aux divers
points
M de lacouche,
à laprécision
de 2 à 3 pour 100.Dans le cas des
liquides
il serait absurde derechercher,
pour lestempératures,
la même loi depuissance
en
que pour lesvitesses;
il est même7
possible
deprévoir
ce que doit être cette loi. Sil’on se
reporte
en effet à la relation(19)
dupara-graphe
4 et à lafigure
3, l’on aLe nombre sans dimensions
j" C ’
égal
à i pour les.1. c
gaz, n’est autre que l’inverse du dénominateur N de
l’équation
{31);
par ailleurs, avec uneapproxi-mation suffisante, la relation
peut
s’écrireautrement
dit, dans la
zoneturbulente,
lerapport
s’exprime
bien,
en fonctionde
par une loi depuissance,
mais lapente
de la droite en coordonnéeslogarithmiques
n’estplus 7
mais 7
N., 7
Envisageons
pàr
exemple
le cas de l’eau(Pr =
4) ;
ici le nombre N a pour valeur
[éq.
(31)] :
y
;r- doit donc se traduire par une loi depuissance
__ren
(f ’)
’
On connait â la vérité peu de mesures derépartitions
detempératures,
et celles que l’onpossède
ont été effectuées sur des conduiteshorizon-tales, pour
lesquelles
la convection naturelle crée unedissymétrie
dans la distribution destempératures,
surtout aux basses vitesses. Néanmoins les mesuresde
Woolfenden,
effectuées surl’eau,
fournissent unrapport T
variant très sensiblement comme laTo 0
. l
1
1-puissance ’-_
de . - .
J .
Il n’est pas sans intérêt de faire remarquer que, dans le cas des
liquides
trèsvisqueux,
la chute detempérature
dansl’épaisseur
de la zone turbu-lente est extrêmement faible. Pour une huile(Pr
=100, N =
20),
à la limite de la couchelami-naire
(fig.
I 1 )
la chute relative detempérature
est de l’ordre de 3 pour 100; dans le cas de
l’eau,
elle est de l’ordre de 20 pour 100.12.
Température
moyenne dans la section d’un conduit enrégime
d’écoulement turbulent.- Nous avons
précisé
ailleurs(16)
les diverses défi-nitions que l’onpeut
donner de latempérature
moyenne d’un fluide dans la section droite d’un conduit.Du
point
de vue deséchanges calorifiques
avecl’extérieur,
latempérature
moyennequ’il
importe
de considérer est celle que l’on obtiendrait si l’onrecueillait,
dans unmélangeur,
l’ensemble dufluide
qui
débouche dans la section droite considérée. Elle fait intervenir la vitesse enchaque point
de lasection et
peut
s’écrirey,
désignant
la distance dupoint
considéré à laparoi.
Si nous admettons que latempérature
s’exprime
par une loi
de PUiSSanCe ,J,,
---p
nous avons
Dans le cas d’un gaz
~p = ^ . 1
pour une huile
De
façon
générale,
lerapport
peut
s’écrire,
avec une
approximation
suffisante :Dans la
pratique
des mesures on évalueraT,,,,
si besoin est, à
partir
d’une mesure effectuée auvoisinage
immédiat de l’axe.13. Valeurs
numériques
des coefficientsfigu-rant dans
l’expression
du coefficient deconvec-tion. -- La formule
(31)
fixe la valeur du coefficientde convection xo,
rapporté
à latempérature
To.
Ellepeut
s’écrire,
en utilisant les nombres sansdimensions,
etexplicitant
le coefficient de frottementen fonction du nombre de
Reynolds
(18) :
,-- -
,
Pour les
applications
il estplus
commode de faire intervenir dans les formules la vitesse moyenne ainsi queÓlurnd
rapporté
à unz; il convientégalement
d’utiliser latempérature
moyenne T,,, ; dans cesconditions,
l’on aPour les gaz le
produit
2013
est très sensiblementit 0
égal
à i ; pour les fluidesquelconques,
onpeut
l’écrire 0,82
(i + 2013) -
°Nous avons, pour diverses valeurs de
Par, réuni,
dans le TableauII,
les valeurs de ceproduit,
ainsique celles de la
quantité
"0figures
dansu ln 77i
l’expression (37).
TABLEAU Il ABLEAU 1 = o,8? .
( 110
l! p== 0,82 .
/Valeurs du nombre de Biot-Nusselt. -. Au lieu
d’expliciter
le nombre sans dimensions , onutilise souvent, dans les formules ou les
représenta-tions
graphiques,
le nombre de Biot-Nusselt (13_ ~ ~l ~
On trouveraplus
haut[formule
l’expression
(17) Bien entendu si, pour des valeurs élevées de au lieu d’une puissanceen -
on utilise une loien -
par exemple, le7 0
rapport est un peu différent : 0,86 au lieu de 0,83.
de
~-"- ;
celle de2013 ?
rapportée
à latempérature
moyenne T,,,, s’écrit
(18) Nous adoptons ici, pour expliciter
C f,
un exposant de 8égal à o,25; pour les grandes vitesses, il est plus précis de
Nous avons vu
(§ 7)
que cetteexpression
s’accorde bien avec les valeursexpérimentales
obtenues pour des fluides dont le nombre Pr varie de i à 100;à la vérité la
précision
des mesures neparaît
pasjusqu’ici
suffisante pour donner lapréférence
à cetteformule,
plutôt
qu’à
la suivantequi
suppose un peudifférent
l’exposant
de Pr au dénominateur del’équation (17) :
Ces deux
expressions
s’accordent bien avec laformule
empirique (26), d’application plus
immé-diate. Notons toutefois que cela suppose pratique-ment l’identité du coefl’icientnumérique (0,0225)
de cette dernière formule avec laquantité
le Tableau II
permet
de se faire une idée de cette concordance.14. Convection turbulente le
long
d’unplan.
-Enpremière approximation
tout cequi
a été ditpour le
cylindre peut
êtretransposé
dans le cas de laconvection turbulente le
long
d’unplan,
du moins pour larégion
dont la distance 1 au bordd’attaque
est telle que soit
supérieur
au nombre deReynolds
critique,
c’est-à-dire à environ 5. io-, si le bordd’attaque
est suffisamment effilé et le fluide sansturbulence
préalable
sensible(19).
Pour cette
région,
la formule(31)
traduit,
defaçon satisfaisante,
les résultatsexpérimentaux,
à la véritébeaucoup
moins nombreux que dans le cas du conduitcirculaire,
surtout pour lesliquides.
Il est commode de transformer la formule(31)
en(19) On trouvera, en particulier, sur la figure I3, la
simi-litude des profils des vitesses et températures, dans le cas
d’un tel écoulement gazeux.
introduisant le coefficient de frottement C/ f et le
nombre de
Reynolds
rapporté
à u,, et x; dès lors,le coefficient de convection local a ;
(2°)
s’écritSi l’on veut avoir le coefficient de convection moyen, sur toute la
longueur
duplan
depuis
le bordd’attaque,
il convient de faire lasomme
des quan-tités de chaleurcédées,
d’unepart
dans lapremière
partie
delongueur
1(régime laminaire),
d’autrepart
dans la seconderégion
au delà de1,
où l’écoulement est turbulent.Dans certains cas, si l’écoulement
comporte
uneturbulence
préalable,
si le bordd’attaque
n’est paseffilé,
ou, defaçon
générale
si le nombre deRey-’nolds
correspondant
à toute lalongueur
h duplan
est nettementsupérieur
au nombre deReynolds
critique
onpeut,
enpremière
approximation,
négliger
larégion
laminaire et admettre que la convection est «turbulente » sur toute lalongueur
h;
le coefficient de convection moyen se déduit alors aisément du coefficient de frottement moyen ets’écrit _
Le manque
d’expériences
sur lesliquides
nepermet
pas depréciser,
dans le cas duplan,
ledegré
de validité des formules
précédentes
pour lesgrandes
valeurs de Pr.
Notons, toutefois,
que l’excellent accord entre la courbe de distribution des vitesses et la formulethéorique (31’e ~)
leur confère uneassez
grande
sécurité.Ces diverses formules
s’appliquent,
bienentendu,
non seulement au
plan,
mais à tous les corpsprofilés
necomportant
pas de décollement de la couchelimite.
