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Analogies entre convection et frottement fluide
Edmond Brun
To cite this version:
ANALOGIES ENTRE CONVECTION ET FROTTEMENT FLUIDE
Par EDMOND BRUN.
Maître de Conférences à la Faculté des Sciences de Paris.
Sommaire. 2014 Guidé par son intuition
géniale, Osborne Reynolds, en 1874, a, le premier, émis l’hypo-thèse que la chaleur et la quantité de mouvement devaient, dans tout écoulement fluide, être trans-portées suivant le même mécanisme. Cette théorie, dont le développement est loin d’être achevé, est à la base de nombreux travaux théoriques et d’applications pratiques importantes [1 et 2]. Nous
voudrions, ci-dessous, présenter l’état actuel de la question, depuis quelques travaux récents.
1.
Écoulement
laminaire. - ~ ~ Considérons unécoulement
laminaire,
par filetsparallèles
à l’axedes x, dans
lequel
la vitesse u du fluide est fonction de la seule coordonnée y(fig. i).
tangentiel
en unpoint
M d’ordonnée y est laforce,
rapportée
à l’unité de
surface,
qu’exerce,
sur l’élément desurface dS
qui
entoure lepoint
M etqui
estparal-lèle à la vitesse u, le fluide se trouvant dans la couche d’ordonnée y +
dy.
Fig. 1.
On sait que cet effort
tangentiel
aupoint
Ms’exprime,
dans le cas d’un écoulementlaminaire,
en faisant intervenir une
grandeur,
caractéristique
du fluide et des conditions dans
lesquelles
il seprésente,
laviscosité u
1
Dans la théorie
cinétique
des gaz, l’efforttangentiel
s’explique
par untransport,
suivant une direction >perpendiculaire
à la vitesse u, de laquantité
de mouvement des molécules. On est alors conduit àl’expression
suivante de la viscositédans
laquelle
p est la massespécifique
dufluide,
c la vitesse moyenne des
molécules,
1 leur libre parcours moyen. Lagrandeur
qui
est laviscosité
cinématique
dufluide,
estproportionnelle
auproduit
cl et a pour dimensions L2 T-1.2o
Imaginons
que, dans l’écoulementprécédent,
il existe un
gradient
detempérature
suivant l’axe des r~, latempérature 0
dufluide
étant fonctionde la seule coordonnée y.
L’équation générale
dela transmission de la chaleur montre que
l’échange
thermique
s’effectue,
dansl’écoulement,
comme si le fluide étaitimmobile,
la distribution destempé-ratures
n’ayant
paschangé.
Si .
est legradient
detempérature
aupoint
M,
dy
la densité D du flux de chaleur
qui
traversel’élé-ment dS entourant le
point
M etparallèle
à la. ’
vitesse u est
donnée ,par
la relation~. est le
coefficient
de conductionthermique
dufluide.
Dans la théoriecinétique
des gaz,l’échange
dechaleur
précédent
s’explique
par untransport
d’énergie
moléculaire suivant une direction perpen-+diculaire à la vitesse u. On est ainsi conduit à
l’expression
suivante du coefficient de conductionthermique
du fluideLa
grandeur a
= aqui
est ladiflusivilé
thermique
Cp p
--du
fluide,
estproportionnelle
auproduit
cl et a donc mêmes dimensions que la viscositécinématique
du fluide.
3 ~ Nous n’insisterons pas
davantage
sur lesanalogies
entre frottement etéchange
de chaleur dans l’écoulementlaminaire,
mises en évidencepar les considérations
simples
précédentes.
Pour mieux
souligner
cesanalogies,
nous écrirons219
les
équations
(1)
et(2)
sous les formes .qui
fontapparaître
les coefficients de mêmes dimen-sions v et a.Le
rapport
-~
qui
nedépend
que despropriétés
du
fluide,
est un nombre sansdimensions,
appelé
nombre de
Prandtl,
¡Je(son
inverse est le nombre deStanton),
2.
Écoulement
turbulent. -1 ~
Considérons,
poursimplifier,
un écoulement turbulent pourlequel
la vitesse moyenne u est, en toutpoint, parallèle
à l’axe des x et nedépend
que de la coordonnée y. La turbulence estcaractérisée,
àchaque
instant t,en tout
point
M,
par lescomposantes
u’, v’,
w’ dela vitesse de fluctuation
(fig. 2).
Fig. 2.
La masse de fluide
qui
traverse la surface dSentourant le
point
M etparallèle
à la vitesse moyenne u estp v’ d S di;
lacomposante,
parallèle
à0~,
de laquantité
de mouvementqu’elle
transporte
estp v’( û
la valeur moyenne de cettequantité
de mouvement estque l’on écrit
symboliquement
Au
point
M,
la valeur de u étant constante et la moyenne de lacomposante
v’ étantnulle,
on a.évidemment,
uv’ = o. Il en serait de même de lamoyenne u’v’ s’il n’existait aucune corrélation entre les valeurs de u’ et de
v’,
mais il est facile de montrerqu’une
telle corrélation existe, pourvu que la vitessemoyenne u soit une fonction de l’ordonnée y du
point
M.En
résumé,
lacomposante
parallèle
à Ox de laquantité
de mouvementtransportée
par le fluidequi
traverse l’élémentperpendiculaire
àOy
estégale,
en valeurabsolue,
à p dS : c’est aussi la forcetangentielle
qui
s’exerce,
parallèlement à
Ox,
surl’élément de surface dS. En
rapportant
la force àl’unité de
surface,
nous obtenons la valeurabsolue ; 1 r 1
de l’effort
tangentiel
aupoint
MPour
trouver lesigne
de 1’,qui
caractérise le frottement exercé par la couched’ordonnée y
+dy
sur la couche d’ordonnée y, remarquons que, si v’ est
négatif
et u’positif,
le fluide passe de la couchesupérieure
à la couche inférieure(fig. 2)
et cède unequantité
de mouvementpositive.
Il tend donc àtirer la couche inférieure dans la direction
positive
de l’axe des x et z est
positif.
On doit donc écrireComme l’effort
tangentiel
dû à la viscosité etdonné par la formule
(1)
subsistetoujours,
tangentiel
total dans l’écoulement turbulent sera donné parl’expression
2°
Imaginons
que, dans le cas de l’écoulementturbulent
précédent,
il existe ungradient
de latempérature
moyenne suivant l’axe des y, latempé-rature
moyenne 6
du fluide étant fonction de laseule coordonnée y. L’écoulement est le
siège
d’untransport
de chaleurdû,
non seulement àl’agitation
moléculaire
(conduction thermique),
mais encore et surtout aux mouvements molairesqu’entraîne
la turbulence du courant(convection thermique).
Considérons à nouveau l’élément de surface dS
perpendiculaire
àOy
et entourant lepoint
M. Soit 0’ la flurtuation detempérature
aupoint
M et à l’instant 1. La masse de fluidep v’
d S dlqui
traverse l’élément dSpendant
letemps
dltransporte
avec elle une certainequantité
de chaleur. Il est facilede montrer, par un raisonnement
analogue
à celui fait à propos de laquantité
de mouvement, qu’enmoyenne, seule intervient la
quantité
de chaleurtransportée
par suite des fluctuations detempé-rature, de sorte que
l’expression
de ce flux de chaleur moyen à travers l’élément dS est Lavaleur moyenne de v’ fj’ est différente de zéro parce
qu’il
existe,
du fait dugradient
detempérature
dO
q 5 p
dy
au
point
M,
une corrélation entre les valeursalgé-briques
de 9’ et de v’.flux
de chaleur aupoint
MPour trouver le
signe
de Dqui
caractérise le fluxde chaleur dans le sens
des y
positifs,
nousremar-querons que, si v’ est
positif
et fi’positif,
D est aussipositif;
parsuite,
Comme
l’échange
parconduction,
donné par laformule
(2),
subsistetoujours,
la densité de fluxtotale dans l’écoulement turbulent sera donnée par
l’expression
3. Coefficient de frottement et nombre de
Margoulis. - IOLe
rapport
qui apparaît
dans Ples
équations (1)
et(4)
esthomogène
au carré d’une vitesse.Désignons
par V une vitesse de référencequi
sera, dans le cas de l’écoulement dans uneconduite,
la vitesse moyenne dans la sectiontrans-versale et, dans le cas d’un corps
plongé
dans unfluide,
la vitesse relative du solide parrapport
aufluide non
perturbé.
Laquantité
est un nombre sans dimensions que l’on
appelle
coefficients
def rottement
aupoint
M,
si rdésigne
l’efforttangentiel
aupoint
M.20 Le
rapport
D
qui apparaît
dans leséqua-Cp e
tions
(2)
et(5)
a les dimensions d’une vitessemulti-pliée
par unetempérature.
Désignons
par 0 unetempérature
de référencequi
sera, leplus
souvent,une différence de
température
entre deuxpoints
convenablement choisis dusystème.
Laquantité
est encore un nombre sans dimensions
qu’on appelle,
en
France,
nombre deMargoulis
et, dans les paysanglo-saxons,
nombre detransport
de chaleur.Très souvent, au lieu de la densité
Do
de flux dechaleur en un
point
M de lasurface
d’un solideléché par un courant
fluide,
on considère le coefficient de convection oc en cepoint qui
n’est autre que ladensité de flux par unité de différence de
tempé-rature entre solide et fluide au loin. Le nombre de
Margoulis
en cepoint
peut
alors s’écrireIl est facile de voir
l’analogie qui
existe entreC
les nombres
,
et JU.Cf
est lerapport
de deux unités de flux dequantité
de mouvement : -.
l’une,
a, est cellequi
résulte dutransport
à travers une surfaceparallèle
àl’écou-lement ; l’autre,
p V2,
est cellequi
résulte del’entraî-nement du fluide dans la direction du courant.
.!11 est le
rapport
de deux densités de flux de ehaleur :l’une, D,
est cellequi
résulte dutransport
à travers une surfaceparallèle
àl’écoulement; l’autre,
cp pV0,
est celle que
produirait
l’entraînement du fluidedans la direction du courant, si ce fluide
présentait
un excès detempérature
0 sur le milieu ambiant. 4. Théorie de 0.Reynolds.
- ~ ~ La théoriede
l’analogie
deReynolds
[3]
peut
se mettre sousla forme
simple
suivante : si la valeur moyenne U‘u’ estexprimée
p sous la forme - e valeur_
dy
moyenne v’ 6’ est
égale
à - E.2013;
le coefficient s a lamême valeur
numérique
dans les deuxexpressions
et est
appelé
lecoefficient
del’échange
turbulent. Pourabréger,
nous nous bornerons à énoncer lathéorie de
Reynolds
sous la formesimple
précé-dente,
sansl’interpréter
par l’introduction de la«
longueur
demélange »
(Prandtl).
Dès
lors,
lesexpressions (4)
et(5) qui
donnentle frottement
tangentiel
et la densité de flux dechaleur dans un écoulement turbulent s’écrivent
2~ Pour les gaz, le nombre de Prandtl est
toujours
voisin de l’unité
(0,74
pour les gazdiatomiques).
Supposons
d’abord ptégal à
l’unité,
c’est-à-dire v = a; leséquations
(8)
et(g)
donnentSi r et D varient avec y suivant la même
loi,
la relationprécédente
peut
s’écrire,
en introduisant221
qui
est la loi deReynolds.
Dans la
plupart
des cas, les lois de variation de ret de D en fonction de la
distance y
à laparoi
ne sont pas absolumentidentiques.
Ainsi,
dans le casd’un écoulement dans une conduite, on sait que r
varie linéairement en fonction de y alors que D a
une loi de variation
plus compliquée qui
résulte del’équilibre
entre la chaleuremportée
par le fluidedans la direction de l’écoulement et du flux de
chaleur à travers le courant. La formule
(10)
n’estainsi,
même ensupposant
=i,
qu’une
loiapprochée; cependant,
pour depetits
nombres dePrandil,
l’approximation
est bonne, comme l’ontmontré,
depuis
Stanton(I8g5),
de nombreuxexpéri-mentateurs.
En
particulier,
et conformément à la relation(11),
si,
dans unécoulement,
le frottement à laparoi
estproportionnel
à lapuissance
n de .lavitesse,
le coefficient de convection estproportionnel
à lapuissance
n- I. Demême,
larugosité
accroît,
dans la même
proportion,
le frottement et la convection.5. Théories de G. I.
Taylor
et de L. Prandtl.-ic) Pour certains
liquides,
le nombre de Prandtldépasse
100 etl’approximation précédente
neparaît
plus justifiée.
L’analyse
deTaylor
(I9Ig) [4,
5 et6]
a consistéà considérer
séparément
cequi
se passe, d’unepart
dans la sous-couche laminaire où s estnégligeable
devant les valeurs de j et de a
et,
d’autrepart,
dans la zone turbulente de la cooche limite où, aucontraire,
ce sont les valeurs de v et de a que l’onpeut négliger
devant E.Désignons
par a’l’épaisseur
de la sous-couche laminairequi
touche laparoi;
paru’,
la vitesse à la limite de la sous-couchelaminaire;
par0’,
ladiffé-rence entre la
température
de laparoi
et celle dela limite
précédente.
Enadmettant,
comme on lefait
toujours,
une distribution linéaire des vitesses et destempératures
dans la sous-couchelaminaire,
on
peut
écrire,
Dans la zone turbulente de la couche
limite,
l’échange
se fait conformément à la relation(10),
qui
s’écrit iciÉliminant
0’ entre( 1 ?)
et(13),
il vientIntroduisons
z~ Pour confronter aisément ce résultat avec
l’expérience,
Prandtl(1928)
[7]
adéveloppé
lathéorie de
Taylor
enexprimant
la valeur du ,raPP°rt g.
·De considérations à la fois
théoriques
etexpéri-mentales,
Prandtl déduit que, dans le cas d’une1
paroi
lisse,
la vitesse u’ estproportionnelle
àp
·P
D’autre
part,
par définition même du coefficients de frottement à laparoi,
C fo,
Par
suite,
L’équation (14) prend,
de cefait,
la formeOn
peut
encore allerplus
loin,
enremplaçant,
dans le dernier terme du deuxième
membre,
lavaleur de
Cfo
parl’expression qu’en
donne Blasiusen fonction du nombre de
v
d’où,
d’après (14),
3~ On retrouve
évidemment,
àpartir
desfor-mules de
Taylor
et dePrandtl,
le résultat deReynolds
dans le cas de Pr = I. Pour un nombre dePrandtl différent de l’unité mais
toujours
fatble(inférieur
à2),
les formules(14),
(15)
etcontrôlent bien les résultats
expérimentaux
mais,
dans le cas des
liquides,
ces formules ne s’accordentplus
du tout avecl’expérience.
Indépendamment
l’un del’autre,
Th. vonKar-man
(1939)
et G. Ribaud(1940)
ont fait remarquerque ce désaccord
provenait
du fait que le passage de la sous-couche laminaire à la zone turbulente est forcémentprogressif.
Pour obtenir des résultatsplus précis,
ces deuxphysiciens
ont tenucompte,
de manière différented’ailleurs,
de la transitionentre les deux
régions.
5. Théorie de Th. von Karman. - n
Kar-man
[8]
suppose que, auvoisinage
de laparoi
etaprès
l’assise laminaired’épaisseur
~‘,
dans une zone définie par r~C ~ ",
les valeurs de v, de a et de s sont du mêmeordre,
de sorte que les for-mules(8)
et(9)
doivent être utilisées avec tous leurs termes.Cependant, d’après
Karman,
l’épais-seur 6" est assez faible pour que T et D
puissent
être encoreconsidérés,
dans cette zone, comme constants etégaux
à leur valeur T 0 etDo à
laparoi.
Ainsi,
2o Pour le calcul des
intégrales,
nous allonsremplacer
la valeur inconnue de s par sonexpression
/ 1 en fonction duparamètre
sans dimensions(?1 ’
t
en fonction du
paramètre
sans dimensions((
-est
homogène
à unevitesse
L’étude
théorique
etexpérimentale
de la turbu-lence a montré en effet que lerapport
20132013u
estP / une fonction universelle
f (y*)
duparamètre y*,
de sorte quePuisque, d’après (8),
on
peut
écrireet les
équations
( 17)
et(18)
deviennent,
avecD’après
Karman,
la valeur dey*" qui correspond
à la limite de larégion
pleinement
turbulente estpeut-être
quelque
peuarbitraire,
mais elle est lamême pour des écoulements
géométriquement
sem-blables. Par
suite,
l’intégrale
définie del’équation (19)
Fig. 3. -
Répartition des vitesses dans la couche limite,
dans le cas d’un écoulement turbulent.
représente
une constantenumérique
A etl’intégrale
définie de
l’équation (20)
une fonction du nombre dePrandtl,
Ainsi,
d’après
leséquations (19)
et
(20),
onpeut
écrire~ 30 Pour déterminer la fonction
B(Pr)
-A,
Kar-man utilise les résultats
expérimentaux classiques
de Nikuradse. Lafigure
3donne,
d’après
cet auteur, ’les valeurs de
en
fonction dey*,
tandis que la(?)’
p 1figure 4
traduit les mêmes résultats dans undia-gramme
semi-logarithmique.
On n’a pas de valeurs
expérimentales
poury* C
10, mais on admetqu’au
voisinage
immédiat de laparoi
la distribution des vitesses est linéaire. Par223
Cette relation se
traduit,
sur lafigure
3, par lacourbe 1.
Pour y*
> 30, la loilogarithmique
de Karmanqui
est la loicaractéristique
de distribution pour larégion
pleinement
turbulente,
est assez biensatis-faite
(courbe 3),
de sorte que l’onpeut
définir lalimite de la zone
pleinement
turbulente parr~* =
30.Fig. 4. -
Répartition des vitesses dans la couche limite,
dans le cas d’un écoulement turbulent (diagramme
semi-logarithmique).
Les
points expérimentaux
que l’on connaît pour des valeurs dey*
inférieures à 3o se situentapproxi-mativement sur une courbe
(courbe 2) qui
atteinttangentiellement
la courbe 1 aupoint
cl’abscisse 5.L’équation
de cette courbe est1
Dès
lors,
en substituantf’(y*)
= 1pour
y~‘
5 et/’(y*)
= 5
pour 5y*
3o et en effectuant.Y
les
intégrations,
on obtientA --- 5(1 +
loge6)
et B =5 [ pr
+loge(1
+D’où la nouvelle
expression
de la relation(21)
40
Dans la zone turbulentequi
sedéveloppe
àpartir
dey~
= 30, leséchanges
s’effectuenttoujours
suivant les lois
(10)
ou(13)
etEn retranchant les
équations
(22)
et(23),
nousobtenons
, - , ,, v
et, en introduisant les nombres sans dimensions
C/,
et jf( 0’
C’est la relation de Karman. Elle redonne la relation
(11)
deReynolds
pour 1l1r == 1. D’autrepart,
pour depetites
valeurs du termelogarithmique,
on
peut
développer
ce terme et l’on obtient la formulequi
est voisine de la formule(15)
de Prandtl.Fig. 5. - Variation des coefficients
d’échange dans la couche limite, d’après Karman.
L’amélioration introduite par Karman réside
essentiellement dans l’élimination d’un
changement
brutal du coefficientd’échange
à la limite de la sous-couche laminaire. Lafigure
5 rendschémati-quement
compte
de la manière dont évoluent cescoefficients
d’échange
à travers la couche limitedans la théorie de
Taylor-Prandtl (lignes
point-trait)
et dans la théorie de Karman(lignes pleines).
On voit que la théorie de Karman laisse subsister
une discontinuité dans
l’échange
à la limite entre lacouche de transition et la
région pleinement
turbu-lente ; toutefois,
cette discontinuité ne doit pas avoir d’effetimportant
sur le résultatpuisque,
seules,
les valeurs inverses desquantités v
et a + sapparaissent
dans les calculs[équations (17)
et(18)].
L’exactitudedépend
donc surtout de lacorrection des
hypothèses
dans larégion
où cesquantités
sontpetites.
Fer-guson [10]
obtenus en étudiantl’échange
dechaleur,
à diverses
températures,
entre de l’eau et des conduites lisses ont étécomparées
avec les résultatsdonnés par les formules
(15)
et(24).
Pourplus
decommodité dans la
représentation,
ces formules sont données sous la formegénérale
pour la
f ormule ~ 15)
etpour la formule
(24)
Fig. 6. -
Comparaison des résultats expérimentaux d’Eagle et Ferguson avec les résnltats théoriques.
La
figure
6 montre que lespoints expérimentaux
seplacent
convenablement sur la courbede
Karman.D’après
cet auteur, iln’y
aurait pas lieu de chercherune concordance meilleure car, suivant que l’on
prend,
pour latempérature
moyenne, la valeurspatiale
ou la valeurmassique,
on adéjà
des écarts de 3à 4
pour 100.Or,
on ne saurait direlaquelle
de ces deux
températures
moyennes intervient dans la théorie.Pour
contrôler
la théorie dans un domaineplus
étendu,
il faut faireappel
auxexpériences
de Dittuset Boelter
[11]
qui
ontopéré
avec diverses huiles(10
i$r200).
Les résultats de cesexpériences
montrent une fortedispersion
due auxgrandes
difficultés
d’expérimentation
etd’interprétation
desrésultats
(régime
non établi dans les conduitestrop
courtes; variations des
propriétés
physiques
dufluide,
telles que laviscosité,
avec la -tempéra-ture,
etc.).
Toutefois,
Dittus et Boelter ont putraduire leurs résultats par la formule
empirique
1
en utilisant
C
= 0,08 ’, la formule dePrandtl s’écrit
1
et devient, pour les
grands
nombres de Prandtl,1
tandis que la formule de Karman s’écrit
et
devient,
pour lesgrands
nombres de PrandtlOn
peut voir,
sur lafigure 7 (1),
que les résultatsFig. ~. -
Comparaison de la formule empirique de Dittus et Boëlter avec les formules de Prandtl et de Karman.
de Karman donnent des valeurs très exactes
jus-qu’à
1l1r === 1 o et une bonneapproximation
jus-qu’à
Pic = 2 5; audelà,
il y a désaccord entrel’expé-rience et la théorie. Ce désaccord
s’expliquerait
en
partie, d’après
Karman,
par la chute considérable detempérature
qui
intervient dans la couche limite laminairequand
le nombre de Prandtl est élevé[formule (20)];
le fluide réel n’aplus
une viscositéconstante, comme le suppose la théorie.
7. Théorie de G. Karman
déter-mine la loi d’évolution des
températures
dans la (1) Sur cette figure, ainsi que sur la figure 9, ce n’est pas le nombre de Margoulis qui figure en ordonnées, mais le nombre de Biot, lié au nombre de Margoulis par la rela-tion B0, == m,,Iîpr , 1àDL « L Pour 1 tion 130 = nion»r et, par suite, egal a =
A-’ Pour les
grands nombres de Prandtl, les formules de Dittus et Boëlter, de Prandtl, de Karman sont alors respectivement
1
On voit que la théorie n’indique pas, comme le montrent les expériences, une variation du nombre de Biot avec le
225
couche limite en
supposant
que les trois zones derépartition
des vitesses sesuperposent
à des zonesde
répartition
detempératures
jouant
des rôlesidentiques.
Or,
les formules(8)
et(9) qui
s’écrivent,
au
voisinage
d’uneparoi,
montrent que, pour de
grands
nombres de Prandtl et à une même distance de laparoi,
l’influence relative de E: estplus importante
pour la transmis-sion de la chaleur que pour le frottement.Ainsi,
pour un fluide
visqueux, lorsqu’on
serapproche
de laparoi,
l’effet de la turbulence se fait sentirbeaucoup
plus
longtemps
sur la convection que sur lefrot-tement, et la sous-couche laminaire
thermique
(où
latempérature
varielinéairement)
a uneépais-seur
d,
inférieure àcelle,
8’,
de la sous-couche lami-nairedynamique (où
la vitesse varielinéairement)
8).
Fig. 8. - Distribution
des vitesses et des températures dans la couche limite, d’après Ribaud.
Nous allons voir que cette distinction entre zones
thermique
etdynamique, jointe
à une nouvelleloi de
répartition
dans la zone detransition,
conduità une
expression
du nombre deMargoulis
en fonction du coefficient de frottementplus
conforme auxrésultats
expérimentaux
quel’expression
de Karman. 2~D’après
Ribaud,
la loi d’évolution de la vitessedans la zone de
transition,
au lieu d’être la loilogarithmique
de Karmanqui
conduit à ungradient
de vitessedu
inversementproportionnel
àl’or-dy
donnée y, doit s’écrire
Cette
expression
donnebien,
à la limite de la sous-couche laminairedynamique
et de la zone detran-sition,
la valeur,
du coefficientangulaire
de lau
droite
représentant
la distribution des vitesses dansla sous-couche.
Puisque
la loid’analogie
deReynolds
s’applique
aux confins de la zone detransition,
auvoisinage
de la couche
turbulente,
legradient
detempérature
dans la zone de transition doit s’écrireou, en tenant
compte
de(2 8),
Pour que la courbe de transition se raccorde sans
discontinuité
avec la droite de coefficientangu-laire
D°
qui
définit larépartition
destempératures
dans la sous-couche laminairethermique,
il faut quel’épaisseur
ôL
de celle-ci soit liée àl’épaisseur 6’
par la relationDans ces
conditions,
la relation(29)
s’écrit eneffet,
30 Ces
hypothèses
étantposées,
le calcul s’effectue maintenant à la manière habituelle.L’écart de
température 0
aupoint
où se raccorde la sous-couche laminairethermique
avec la zone de transition s’écritLa variation de
température
0" - Ot,
à traversla zone de transition s’obtient immédiatement par
intégration de l’équation (29). Ainsi,
ou, encore, en
exprimant À
en fonction du nombre dePrandtl,
L’écart de
température
0’ à la limite de la zone de transition et de la zone turbulente s’obtient enajoutant
membre à membre lesexpressions
(31)
et
(32),
d’où-1 . -,.
--- -.1. .
respec-226 1
tives aux distances a’ et 8’ de la
paroi,
la rela-tion(28)
donne,
parintégration,
u
et,
comme à’_ ,
la relation(33)
peut
s’écrire"0
Dans la zone
turbulente,
nous avonstoujours
Fig. 9. -
Comparaison des résultats expérimentaux de Dittus et Boëlter avec les formules de Prandtl et de Ribaud.
de sorte
qu’en ajoutant
membre à membre(33 bis)
et(34)
nous obtenons30 Pour traduire cette formule sous une forme
pratique,
Ribaud suppose d’abord que la zone detransition
thermique
ne s’étendqu’à
la distance a’de la
paroi,
épaisseur
de la zone laminairedynamique.
Cela revient à faire u’ = u" dans la formule
précé-dente. Pour que
l’équation
ainsi obtenueexprime
convenablement les résultatsexpérimentaux,
il pose ensuite n = 3. De cefait,
la formule(35)
devient,
Si l’on
admet
égal
à o,5, .r - -
- - - -- 1
Si l’on conserve, pour
n-’)
une loi de la forme_
et si l’on
exprime toujours
le coefficient defrot-tement suivant la loi de
Blasius,
la formule(36)
s’écrit
1
et
donne,
pour des nombres de Prandtlélevés,
On voit que cette dernière formule se
rapproche
de celle de Dittus et Boëlter(28).
Lafigure
9(2)
montre que,
prise
sous la forme(37),
elle contrôle bien lespoints expérimentaux,
même pour des nombres de Prandtl élevés.(2) Voir Note précédente.
Manuscrit reçu le 15 avril i gfis.
BIBLIOGRAPHIE.
[1] B. A. BAKHMETEFF, Mécanique de l’écoulement turbulent des fluides, Dunod, 1941.
[2] RIBAUD et BRUN, La convection forcée de la chaleur en
régime d’écoulement turbulent, Gauthier-Villars, 1942. [3] O. REYNOLDS, Proceedings of the Manchester Literary
and Philosophical Society, 1874, 14, p. 7.
[4] G.-I. TAYLOR, Technical Report of Advisory Committee for Aeronautics, 1916- 1917, vol. 2; Reports and
Memoranda, mai 1916, n° 272, p. 423.
[5] T.-E. STANTON, J.-R. PANNEL et Miss MARSHALL, Technical Report of Advisory Committee for Aéronautics
1916-1917, vol. 1; Reports and Memoranda, juin 1916,
n° 243, p. 16.
[6] Lord RAYLEIGH, Technical Report of Advisory Committee for Aeronautics, 1917-1918, vol. 1; Reports and
Memoranda, n° 497, p. 15.
[7] L. PRANDTL, Physikalische Zeitschrift, 1928, 29, p. 487. [8] Th. VON KARMAN, Transactions of the American Society
of Mechanical Engineers, novembre 1939.
[9] G. RIBAUD, Comptes rendus de l’Académie des Sciences,
1940, 211, p. 460 et 541; J. de Physique, 1941, 2, p. 12.
[10] A. EAGLE et R.-M. FERGUSON, Proceedings of the Royal Society of London, 1930, série A, vol. 127, p. 540.
[11] F.-W. DITTUS et L.-M.-K. BOELTER, University of California Publications in Engineering, vol. 2, n° 13,
