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fluide parfait couche limite

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS/ENSTA/

(2)

Convection forcée externe

(3)

fluide parfait

(4)

fluide parfait couche limite

(5)

fluide parfait couche limite

u ∂u

∂x ! ν ∂ 2 u

∂y 2 δ = L

Re

(6)

fluide parfait couche limite

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig.15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniformeTwplong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesseUet de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds parR=UL/ν. Il est grand.

On se place `a la distanceL du bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u·∇¯) ¯T = 1

P e∇¯2T¯+ 2 E

RD¯ : ¯D,

etT connue sur la paroi (Tw) et au loin en amont et au loin tout en haut (T)).

Si P e→∞, `aPrfix´e, il ne reste que :

u·∇¯) ¯T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/√

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse eny.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

∂˜u

∂¯x+∂˜v

∂y˜= 0,

˜ u∂˜u

∂¯x+ ˜v∂˜u

∂y˜ =2u˜

∂y˜2

Avec pour conditions aux limites ˜u(¯x,0) = 0, ˜u(¯x,∞) = 1.On en trouvait une solution semblable :

ϕ= ¯x1/2f(η), ξ= ¯x, η= ˜y/√x.¯

- 3.16-

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig.15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniformeTwplong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesseUet de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds parR=UL/ν. Il est grand.

On se place `a la distanceL du bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u·∇¯) ¯T = 1

P e∇¯2T¯+ 2 E

RD¯ : ¯D,

etT connue sur la paroi (Tw) et au loin en amont et au loin tout en haut (T)).

SiP e→∞, `aPr fix´e, il ne reste que :

u·∇¯) ¯T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/√

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse eny.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

∂u˜

∂x¯+∂˜v

∂y˜ = 0,

˜ u∂u˜

∂x¯+ ˜v∂u˜

∂y˜ = 2u˜

∂y˜2

Avec pour conditions aux limites ˜u(¯x,0) = 0, ˜u(¯x,∞) = 1. On en trouvait une solution semblable :

ϕ= ¯x1/2f(η), ξ= ¯x, η= ˜y/√

¯ x.

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(7)

couche limite

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig.15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniformeTwplong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesseUet de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds parR=UL/ν. Il est grand.

On se place `a la distanceL du bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u·∇¯) ¯T = 1

P e∇¯2T¯+ 2 E

RD¯ : ¯D,

etT connue sur la paroi (Tw) et au loin en amont et au loin tout en haut (T)).

Si P e→∞, `aPrfix´e, il ne reste que :

u·∇¯) ¯T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/√

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse eny.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

∂˜u

∂¯x+∂˜v

∂y˜= 0,

˜ u∂˜u

∂¯x+ ˜v∂˜u

∂y˜ =2u˜

∂y˜2

Avec pour conditions aux limites ˜u(¯x,0) = 0, ˜u(¯x,∞) = 1.On en trouvait une solution semblable :

ϕ= ¯x1/2f(η), ξ= ¯x, η= ˜y/√x.¯

- 3.16-

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig.15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniformeTwplong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesseUet de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds parR=UL/ν. Il est grand.

On se place `a la distanceL du bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u·∇¯) ¯T = 1

P e∇¯2T¯+ 2 E

RD¯ : ¯D,

etT connue sur la paroi (Tw) et au loin en amont et au loin tout en haut (T)).

SiP e→∞, `aPr fix´e, il ne reste que :

u·∇¯) ¯T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/√

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse eny.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

∂u˜

∂x¯+∂˜v

∂y˜ = 0,

˜ u∂u˜

∂x¯+ ˜v∂u˜

∂y˜ = 2u˜

∂y˜2

Avec pour conditions aux limites ˜u(¯x,0) = 0, ˜u(¯x,∞) = 1. On en trouvait une solution semblable :

ϕ= ¯x1/2f(η), ξ= ¯x, η= ˜y/√

¯ x.

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(8)

couche limite

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig.15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniformeTwplong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesseUet de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds parR=UL/ν. Il est grand.

On se place `a la distanceLdu bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u·∇¯) ¯T = 1

P e∇¯2T¯+ 2 E

RD¯ : ¯D,

etT connue sur la paroi (Tw) et au loin en amont et au loin tout en haut (T)).

Si P e→∞, `aPr fix´e, il ne reste que :

u·∇¯) ¯T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/√

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse eny.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

∂u˜

∂x¯ +∂˜v

∂y˜ = 0,

˜ u∂u˜

∂x¯ + ˜v∂u˜

∂˜y =2u˜

∂y˜2

Avec pour conditions aux limites ˜u(¯x,0) = 0, ˜u(¯x,∞) = 1.On en trouvait une solution semblable :

ϕ= ¯x1/2f(η), ξ= ¯x, η= ˜y/√x.¯

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Convection Forc´ee

∂x¯ =

∂ξ η

∂η, et

∂˜y = 1

√ξ

∂η

˜

u=f!(η), ˜v= 1 2

ξ(ηf!−f)

La partie dynamique admet donc la solution de Blasius bien connue : ˜u=f!(η), avecη= ˜y/√x¯ et telle que :

2f!!!+f f!!= 0 avec f(0) =f!(0) = 0 et f!() = 1.

La r´esolution num´erique par une m´ethode ad hoc de cette ´equation donne f!!(0) = 0.332, et le profil de vitesse a l’allure suivante figure 16 : On trace sur

Fig.16 –f!(η) profil de vitesse :f! en abscisse,η en ordonn´ee.

la figure 17u(η) =f!(η) et (ηf!−f) :

On constate que la vitesse transverse `a l’”infini” n’est pas nulle, il y a souf- flage... la plaque perturbe le fluide parfait.

On en d´eduit l’´epaisseur de d´eplacementδ1 et le frottement `a la paroi...

δ1= 1.7208RL

x¯1/2, etτ = 0.332ρU2R1

x¯1/2, Ce sont en fait les ordres de grandeur fondamentaux `a retenir ! Pour m´emoire v0.8604UR1

x¯1/21/2. Equation de la chaleur´

Pour ce qui est de l’´equation de la chaleur, il faut calculer ˜D. Il n’y reste que les termes dominants en uy˜˜, puis apr`es contraction :

D˜ : ˜D= (∂u˜

∂y˜)2.

- 3.17-

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig.15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniformeTwplong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesseUet de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds parR=UL/ν. Il est grand.

On se place `a la distanceL du bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u·∇¯) ¯T = 1

P e∇¯2T¯+ 2 E

RD¯ : ¯D,

etT connue sur la paroi (Tw) et au loin en amont et au loin tout en haut (T)).

Si P e→∞, `aPrfix´e, il ne reste que :

u·∇¯) ¯T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/√

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse eny.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

∂˜u

∂¯x+∂˜v

∂y˜= 0,

˜ u∂˜u

∂¯x+ ˜v∂˜u

∂y˜ =2u˜

∂y˜2

Avec pour conditions aux limites ˜u(¯x,0) = 0, ˜u(¯x,∞) = 1.On en trouvait une solution semblable :

ϕ= ¯x1/2f(η), ξ= ¯x, η= ˜y/√x.¯

- 3.16-

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig.15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniformeTwplong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesseUet de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds parR=UL/ν. Il est grand.

On se place `a la distanceL du bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u·∇¯) ¯T = 1

P e∇¯2T¯+ 2 E

RD¯ : ¯D,

etT connue sur la paroi (Tw) et au loin en amont et au loin tout en haut (T)).

SiP e→∞, `aPr fix´e, il ne reste que :

u·∇¯) ¯T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/√

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse eny.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

∂u˜

∂x¯+∂˜v

∂y˜ = 0,

˜ u∂u˜

∂x¯+ ˜v∂u˜

∂y˜ = 2u˜

∂y˜2

Avec pour conditions aux limites ˜u(¯x,0) = 0, ˜u(¯x,∞) = 1. On en trouvait une solution semblable :

ϕ= ¯x1/2f(η), ξ= ¯x, η= ˜y/√

¯ x.

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(9)

couche limite

La partie dynamique admet la solution de Blasius bien connue:

2f'''+f f'' =0 avec f(0)=f'(0)=0 et f'(∞)=1.  f''(0)=0.332,  

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig.15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniformeTwplong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesseUet de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds parR=UL/ν. Il est grand.

On se place `a la distanceL du bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u·∇¯) ¯T = 1

P e∇¯2T¯+ 2 E

RD¯ : ¯D,

etT connue sur la paroi (Tw) et au loin en amont et au loin tout en haut (T)).

Si P e→∞, `aPrfix´e, il ne reste que :

u·∇¯) ¯T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/√

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse eny.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

∂˜u

∂¯x+∂˜v

∂y˜= 0,

˜ u∂˜u

∂¯x+ ˜v∂˜u

∂y˜ =2u˜

∂y˜2

Avec pour conditions aux limites ˜u(¯x,0) = 0, ˜u(¯x,∞) = 1.On en trouvait une solution semblable :

ϕ= ¯x1/2f(η), ξ= ¯x, η= ˜y/√x.¯

- 3.16-

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig.15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniformeTwplong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesseUet de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds parR=UL/ν. Il est grand.

On se place `a la distanceL du bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u·∇¯) ¯T = 1

P e∇¯2T¯+ 2 E

RD¯ : ¯D,

etT connue sur la paroi (Tw) et au loin en amont et au loin tout en haut (T)).

SiP e→∞, `aPr fix´e, il ne reste que :

u·∇¯) ¯T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/√

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse eny.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

∂u˜

∂x¯+∂˜v

∂y˜ = 0,

˜ u∂u˜

∂x¯+ ˜v∂u˜

∂y˜ = 2u˜

∂y˜2

Avec pour conditions aux limites ˜u(¯x,0) = 0, ˜u(¯x,∞) = 1. On en trouvait une solution semblable :

ϕ= ¯x1/2f(η), ξ= ¯x, η= ˜y/√

¯ x.

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(10)

couche limite

La partie dynamique admet la solution de Blasius bien connue:

2f'''+f f'' =0 avec f(0)=f'(0)=0 et f'(∞)=1.  f''(0)=0.332,   profil de vitesse: f' en abscisse, η en ordonnée.

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig.15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniformeTwplong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesseUet de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds parR=UL/ν. Il est grand.

On se place `a la distanceL du bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u·∇¯) ¯T = 1

P e∇¯2T¯+ 2 E

RD¯ : ¯D,

etT connue sur la paroi (Tw) et au loin en amont et au loin tout en haut (T)).

Si P e→∞, `aPrfix´e, il ne reste que :

u·∇¯) ¯T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/√

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse eny.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

∂u˜

∂x¯ +∂˜v

∂˜y = 0,

˜ u∂u˜

∂x¯ + ˜v∂u˜

∂y˜ =2u˜

∂˜y2

Avec pour conditions aux limites ˜u(¯x,0) = 0, ˜u(¯x,∞) = 1.On en trouvait une solution semblable :

ϕ= ¯x1/2f(η), ξ= ¯x, η= ˜y/√

¯ x.

- 3.16-

Convection Forc´ee

∂¯x =

∂ξ η

∂η, et

∂y˜ = 1

√ξ

∂η

˜

u=f!(η), v˜= 1 2

ξ(ηf!−f)

La partie dynamique admet donc la solution de Blasius bien connue : ˜u=f!(η), avecη= ˜y/√x¯et telle que :

2f!!!+f f!!= 0 avec f(0) =f!(0) = 0 et f!() = 1.

La r´esolution num´erique par une m´ethodead hoc de cette ´equation donne f!!(0) = 0.332, et le profil de vitesse a l’allure suivante figure 16 : On trace sur

Fig.16 –f!(η) profil de vitesse :f! en abscisse,η en ordonn´ee.

la figure 17u(η) =f!(η) et (ηf!−f) :

On constate que la vitesse transverse `a l’”infini” n’est pas nulle, il y a souf- flage... la plaque perturbe le fluide parfait.

On en d´eduit l’´epaisseur de d´eplacementδ1 et le frottement `a la paroi...

δ1= 1.7208RL

x¯1/2, etτ = 0.332ρU2R1

x¯1/2, Ce sont en fait les ordres de grandeur fondamentaux `a retenir ! Pour m´emoire v0.8604UR1

x¯1/2 1/2. Equation de la chaleur´

Pour ce qui est de l’´equation de la chaleur, il faut calculer ˜D. Il n’y reste que les termes dominants en˜uy˜, puis apr`es contraction :

D˜ : ˜D= (∂˜u

∂y˜)2.

- 3.17-

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig.15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniformeTwplong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesseUet de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds parR=UL/ν. Il est grand.

On se place `a la distanceL du bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u·∇¯) ¯T = 1

P e∇¯2T¯+ 2 E

RD¯ : ¯D,

etT connue sur la paroi (Tw) et au loin en amont et au loin tout en haut (T)).

Si P e→∞, `aPrfix´e, il ne reste que :

u·∇¯) ¯T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/√

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse eny.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

∂˜u

∂¯x+∂˜v

∂y˜= 0,

˜ u∂˜u

∂¯x+ ˜v∂˜u

∂y˜ =2u˜

∂y˜2

Avec pour conditions aux limites ˜u(¯x,0) = 0, ˜u(¯x,∞) = 1.On en trouvait une solution semblable :

ϕ= ¯x1/2f(η), ξ= ¯x, η= ˜y/√x.¯

- 3.16-

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig.15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniformeTwplong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesseUet de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds parR=UL/ν. Il est grand.

On se place `a la distanceL du bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u·∇¯) ¯T = 1

P e∇¯2T¯+ 2 E

RD¯ : ¯D,

etT connue sur la paroi (Tw) et au loin en amont et au loin tout en haut (T)).

SiP e→∞, `aPr fix´e, il ne reste que :

u·∇¯) ¯T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/√

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse eny.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

∂u˜

∂x¯+∂˜v

∂y˜ = 0,

˜ u∂u˜

∂x¯+ ˜v∂u˜

∂y˜ = 2u˜

∂y˜2

Avec pour conditions aux limites ˜u(¯x,0) = 0, ˜u(¯x,∞) = 1. On en trouvait une solution semblable :

ϕ= ¯x1/2f(η), ξ= ¯x, η= ˜y/√

¯ x.

- 3.16-

(11)

couche limite

La partie dynamique admet la solution de Blasius bien connue:

2f'''+f f'' =0 avec f(0)=f'(0)=0 et f'(∞)=1.  f''(0)=0.332,  

Convection Forc´ee

Fig.17 – vitesse longitudinale et transversale.

Comme on a pos´eT =T+∆T˜, et (∆T) =Tw−T, l’´equation de l’´energie s’´ecrit avec les variables de couche limite dynamique :

u˜∂T˜

∂¯x + ˜v∂T˜

∂y˜ = 1 P r

2T˜

∂˜y2 +E(∂u˜

∂y˜)2. T˜(¯x,0) = 1,T˜(¯x,∞) = 0.

Cette ´equation est en fait plus g´en´erale qu’il n’y paraˆıt. Elle peut ˆetre appliqu´ee pour un corps quelconque d`es lors que la courbure de la paroi n’est pas trop forte.

La coordonn´ee longitudinale x est alors l’abscisse curviligne s, la coordonn´ee y est prise le long de la normale locale (l’´equation dynamique est en revanche diff´erente, car il faut ajouter le terme de gradient de pression li´e `a la forme du profil).

3.4.1.2. r´esolution cas E=0 Les vitesses s’exprimant avecη, il est raisonnable de penser que s’exprime en fonction deη, posons ˜T =g(η). On a alors :

2g""+P rf g"+ 2EP rf""2= 0.

Une solution ´evidente de cette ´equation est obtenue pour le jeux de pa- ram`etres suivants :P r=1 etE= 0 ! Elle devient 2g""+f g"= 0, qui est l’´equation de Blasius sig"=Kf"", la solution est ´evidente :

g= 1−f".

Si on garde encoreE = 0, maisP r quelconque, 2g""+P rf g" = 0, on int`egre, apr`es avoir remarqu´e que 2f"""/f"=−f :

g""/g" =P rf"""/f" donc g"=K(f"")P r.

une seconde int´egration, en tenant compte de la condition en 0 : g(η) =

!

η [f""(ζ)]P r

!

0 [f""(ζ)]P r

- 3.18-

u(η) et (ηf'+f)/2

vitesse longitudinale et transversale.

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig.15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniformeTwplong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesseUet de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds parR=UL/ν. Il est grand.

On se place `a la distanceL du bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u·∇¯) ¯T = 1

P e∇¯2T¯+ 2 E

RD¯ : ¯D,

etT connue sur la paroi (Tw) et au loin en amont et au loin tout en haut (T)).

Si P e→∞, `aPrfix´e, il ne reste que :

u·∇¯) ¯T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/√

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse eny.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

∂˜u

∂¯x+∂˜v

∂y˜= 0,

˜ u∂˜u

∂¯x+ ˜v∂˜u

∂y˜ =2u˜

∂y˜2

Avec pour conditions aux limites ˜u(¯x,0) = 0, ˜u(¯x,∞) = 1.On en trouvait une solution semblable :

ϕ= ¯x1/2f(η), ξ= ¯x, η= ˜y/√x.¯

- 3.16-

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig.15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniformeTwplong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesseUet de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds parR=UL/ν. Il est grand.

On se place `a la distanceL du bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u·∇¯) ¯T = 1

P e∇¯2T¯+ 2 E

RD¯ : ¯D,

etT connue sur la paroi (Tw) et au loin en amont et au loin tout en haut (T)).

SiP e→∞, `aPr fix´e, il ne reste que :

u·∇¯) ¯T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/√

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse eny.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

∂u˜

∂x¯+∂˜v

∂y˜ = 0,

˜ u∂u˜

∂x¯+ ˜v∂u˜

∂y˜ = 2u˜

∂y˜2

Avec pour conditions aux limites ˜u(¯x,0) = 0, ˜u(¯x,∞) = 1. On en trouvait une solution semblable :

ϕ= ¯x1/2f(η), ξ= ¯x, η= ˜y/√

¯ x.

- 3.16-

(12)

fluide parfait couche limite

(13)

u ∂u

∂x + v ∂u

∂y = p

∂x + ∂ 2 u

∂y 2

∂u

∂x + ∂v

∂y = 0

0 = p

∂y

+ cond. lim.

{

(14)

u ∂u

∂x + v ∂u

∂y = p

∂x + ∂ 2 u

∂y 2

∂u

∂x + ∂v

∂y = 0

0 = p

∂y

+ cond. lim.

{

(15)

u ∂u

∂x + v ∂u

∂y = p

∂x + ∂ 2 u

∂y 2

∂u

∂x + ∂v

∂y = 0

0 = p

∂y

+ cond. lim.

{

(16)

δ 1 = Z

0 (1 u

U )dy

u ∂u

∂x + v ∂u

∂y = p

∂x + ∂ 2 u

∂y 2

∂u

∂x + ∂v

∂y = 0

0 = p

∂y

+ cond. lim.

{

épaisseur de déplacement

(17)

δ 1 = Z

0 (1 u

U )dy

épaisseur de déplacement

u ∂u

∂x + v ∂u

∂y = p

∂x + ∂ 2 u

∂y 2

∂u

∂x + ∂v

∂y = 0

0 = p

∂y

+ cond. lim.

{

(18)

effet de second ordre

δ 1 = Z

0 (1 u

U )dy

(19)

interaction forte Interactive Boundary Layer

u e = 1 + 1 π

Z ∂δ 1

x ∂x ξ d ξ

(20)

interaction forte Interactive Boundary Layer

u e = 1 + 1 π

Z ∂δ 1

x ∂x ξ d ξ

(21)

interaction forte Interactive Boundary Layer

u e = 1 + 1 π

Z ∂δ 1

x ∂x ξ d ξ

(22)

interaction forte Interactive Boundary Layer

u e = 1 + 1 π

Z ∂δ 1

x ∂x ξ d ξ

(23)
(24)
(25)
(26)

Navier Stokes par CASTEM

Re=500 Vitesse: iso U

(27)

Couche Limite Interactive

Fig.5 – A gauche, calcul de Navier Stokes par FreeFem++ `` a Re= 500, trac´e les lignes de courant. `A droite, calcul de fluide parfait sur un corps en 1.7(Re)1/2¯x/2, on voit que les lignes de courant sont (presque) les mˆemes, autrement dit on observe l’effet de soufflage de la couche limite sur le fluide parfait (effet de second ordre).

0 1

0 1 2 3 4 5 6 70

1

0 7 14 21 28 2 3 4

Fig.6 – Calcul de Navier Stokes par FreeFem++ `aRe= 500, `a gauche on retrouve bien le profil autosemblable de Blasius (par superposition parfaite de diff´erents profils trac´es en fonction de la variable de similitude ¯y(Re/¯x)1/2). Au centre, si on regarde plus loin ”que la couche limite” ces mˆemes profils, on observe qu’il y a une d´ecroissance de la vitesse. A droite, la vitesse de fluide parfait sur un corps en 1.7(Re)1/2x¯/2, on voit que la vitesse de fluide parfait d´ecroˆıt de la valeur de glissement `a la valeur `a l’infini lorsque l’on s’´eloigne de la paroi. La surcroissance de vitesse (observ´ee au centre et `a droite) s’interpr`ete comme un effet de second ordre.

principal”. Cette couche limite est perturb´ee pr`es de la paroi, l`a o`u la vitesse est la plus faible. Les perturbations dues `a cette sous couche, le ”pont inf´erieur”, sont transmises dans le ”pont principal” (l’ancienne couche limite). Dans cette couche, la perturbation est en fait une d´eflexion des lignes de courant, on l’ap- pelle−A(x). Cette d´eflexion des lignes de courant se traduit par un d´eplacement du fluide parfait (”pont sup´erieur”). Ce d´eplacement provoque une variation de pression. Cette variation de pression est transmise de haut en bas, au travers du pont principal jusqu’au pont inf´erieur.

- 8-

(28)

Couche Limite Interactive

Fig.5 – A gauche, calcul de Navier Stokes par FreeFem++ `` aRe= 500, trac´e les lignes de courant. `A droite, calcul de fluide parfait sur un corps en 1.7(Re)1/2x¯/2, on voit que les lignes de courant sont (presque) les mˆemes, autrement dit on observe l’effet de soufflage de la couche limite sur le fluide parfait (effet de second ordre).

0 1

0 1 2 3 4 5 6 70

1

0 7 14 21 28 2 3 4

Fig.6 – Calcul de Navier Stokes par FreeFem++ `aRe= 500, `a gauche on retrouve bien le profil autosemblable de Blasius (par superposition parfaite de diff´erents profils trac´es en fonction de la variable de similitude ¯y(Re/¯x)1/2). Au centre, si on regarde plus loin ”que la couche limite” ces mˆemes profils, on observe qu’il y a une d´ecroissance de la vitesse. A droite, la vitesse de fluide parfait sur un corps en 1.7(Re)1/2x¯/2, on voit que la vitesse de fluide parfait d´ecroˆıt de la valeur de glissement `a la valeur `a l’infini lorsque l’on s’´eloigne de la paroi. La surcroissance de vitesse (observ´ee au centre et `a droite) s’interpr`ete comme un effet de second ordre.

principal”. Cette couche limite est perturb´ee pr`es de la paroi, l`a o`u la vitesse est la plus faible. Les perturbations dues `a cette sous couche, le ”pont inf´erieur”, sont transmises dans le ”pont principal” (l’ancienne couche limite). Dans cette couche, la perturbation est en fait une d´eflexion des lignes de courant, on l’ap- pelle−A(x). Cette d´eflexion des lignes de courant se traduit par un d´eplacement du fluide parfait (”pont sup´erieur”). Ce d´eplacement provoque une variation de pression. Cette variation de pression est transmise de haut en bas, au travers du pont principal jusqu’au pont inf´erieur.

- 8-

(29)

Navier Stokes par CASTEM

Re=500

           profil réduits // Blasius

(30)

Couche limite dynamique et thermique incompressible sur une plaque plane

Convection Forc´ee

3.4. couche limite thermique incompressible sur une plaque plane

3.4.1. Temp´erature impos´ee 3.4.1.1. ´equations

Fig. 15 – La plaque

Un autre cas ”simple” est celui de la plaque plane maintenue `a la temp´erature uniforme T w plong´ee dans un ´ecoulement uniforme de vitesse U et de temp´erature T au loin, on suppose que le r´egime stationnaire est obtenu. On d´efinit le nombre de Reynolds par R = U L/ν. Il est grand.

On se place `a la distance L du bord d’attaque. Le probl`eme thermique est alors :

u · ¯ ) ¯ T = 1

P e ¯ 2 T ¯ + 2 E

R D ¯ : ¯ D,

et T connue sur la paroi (T w ) et au loin en amont et au loin tout en haut (T )).

Si P e →∞ , `a P r fix´e, il ne reste que :

u · ¯ ) ¯ T = 0

La temp´erature de la paroi n’´echauffe pas le fluide. On avait le mˆeme probl`eme avec l’´equation de la dynamique, pour lever ce paradoxe, on avait introduit une couche limite δ = L/

Re. On garde toujours la mˆeme ´echelle en x, mais on agrandit l’´echelle transverse en y.

´equations dynamiques

Les ´equations de la dynamique devenaient :

u ˜

x ¯ + v ˜

y ˜ = 0,

˜ u u ˜

x ¯ + ˜ v u ˜

y ˜ = 2 u ˜

y ˜ 2

Avec pour conditions aux limites ˜ u(¯ x, 0) = 0, ˜ u(¯ x, ) = 1. On en trouvait une solution semblable :

ϕ = ¯ x 1/2 f (η), ξ = ¯ x, η = ˜ y/

¯ x.

- 3.16-

température imposés sur la paroi, à l’infini

(31)

Couche limite dynamique et thermique incompressible sur une plaque plane

Convection Forc´ee

Fig. 17 – vitesse longitudinale et transversale.

Comme on a pos´e T = T + ∆ T ˜ , et (∆T ) = T w T , l’´equation de l’´energie s’´ecrit avec les variables de couche limite dynamique :

˜ u T ˜

x ¯ + ˜ v T ˜

y ˜ = 1 P r

2 T ˜

y ˜ 2 + E ( u ˜

y ˜ ) 2 . T ˜ (¯ x, 0) = 1, T ˜ (¯ x, ) = 0.

Cette ´equation est en fait plus g´en´erale qu’il n’y paraˆıt. Elle peut ˆetre appliqu´ee pour un corps quelconque d`es lors que la courbure de la paroi n’est pas trop forte.

La coordonn´ee longitudinale x est alors l’abscisse curviligne s, la coordonn´ee y est prise le long de la normale locale (l’´equation dynamique est en revanche diff´erente, car il faut ajouter le terme de gradient de pression li´e `a la forme du profil).

3.4.1.2. r´esolution cas E=0 Les vitesses s’exprimant avec η, il est raisonnable de penser que s’exprime en fonction de η, posons ˜ T = g(η). On a alors :

2g "" + P rf g " + 2EP rf "" 2 = 0.

Une solution ´evidente de cette ´equation est obtenue pour le jeux de pa- ram`etres suivants : P r=1 et E = 0 ! Elle devient 2g "" + f g " = 0, qui est l’´equation de Blasius si g " = Kf "" , la solution est ´evidente :

g = 1 f " .

Si on garde encore E = 0, mais P r quelconque, 2g "" + P rf g " = 0, on int`egre, apr`es avoir remarqu´e que 2f """ /f " = f :

g "" /g " = P rf """ /f " donc g " = K (f "" ) P r .

une seconde int´egration, en tenant compte de la condition en 0 : g(η) =

!

η [f "" (ζ)] P r

!

0 [f "" (ζ)] P r

- 3.18-

(32)

Cas Pr=0.7 :     Cas Pr=7.0 :

(33)

Convection Forc´ee

Fig. 17 – vitesse longitudinale et transversale.

Comme on a pos´e T = T + ∆ T ˜ , et (∆T ) = T w T , l’´equation de l’´energie s’´ecrit avec les variables de couche limite dynamique :

˜

u T ˜

x ¯ + ˜ v T ˜

y ˜ = 1 P r

2 T ˜

y ˜ 2 + E ( u ˜

y ˜ ) 2 . T ˜ (¯ x, 0) = 1, T ˜ (¯ x, ) = 0.

Cette ´equation est en fait plus g´en´erale qu’il n’y paraˆıt. Elle peut ˆetre appliqu´ee pour un corps quelconque d`es lors que la courbure de la paroi n’est pas trop forte.

La coordonn´ee longitudinale x est alors l’abscisse curviligne s, la coordonn´ee y est prise le long de la normale locale (l’´equation dynamique est en revanche diff´erente, car il faut ajouter le terme de gradient de pression li´e `a la forme du profil).

3.4.1.2. r´esolution cas E=0 Les vitesses s’exprimant avec η, il est raisonnable de penser que s’exprime en fonction de η, posons ˜ T = g (η). On a alors :

2g "" + P rf g " + 2EP rf "" 2 = 0.

Une solution ´evidente de cette ´equation est obtenue pour le jeux de pa- ram`etres suivants : P r=1 et E = 0 ! Elle devient 2g "" + f g " = 0, qui est l’´equation de Blasius si g " = Kf "" , la solution est ´evidente :

g = 1 f " .

Si on garde encore E = 0, mais P r quelconque, 2g "" + P rf g " = 0, on int`egre, apr`es avoir remarqu´e que 2f """ /f " = f :

g "" /g " = P rf """ /f " donc g " = K (f "" ) P r .

une seconde int´egration, en tenant compte de la condition en 0 : g(η ) =

!

η [f "" (ζ )] P r

!

0 [f "" (ζ )] P r

- 3.18-

Convection Forc´ee

Fig. 17 – vitesse longitudinale et transversale.

Comme on a pos´e T = T + ∆ T ˜ , et (∆T ) = T w T , l’´equation de l’´energie s’´ecrit avec les variables de couche limite dynamique :

u ˜ T ˜

x ¯ + ˜ v T ˜

y ˜ = 1 P r

2 T ˜

y ˜ 2 + E ( u ˜

y ˜ ) 2 . T ˜ (¯ x, 0) = 1, T ˜ (¯ x, ) = 0.

Cette ´equation est en fait plus g´en´erale qu’il n’y paraˆıt. Elle peut ˆetre appliqu´ee pour un corps quelconque d`es lors que la courbure de la paroi n’est pas trop forte.

La coordonn´ee longitudinale x est alors l’abscisse curviligne s, la coordonn´ee y est prise le long de la normale locale (l’´equation dynamique est en revanche diff´erente, car il faut ajouter le terme de gradient de pression li´e `a la forme du profil).

3.4.1.2. r´esolution cas E=0 Les vitesses s’exprimant avec η, il est raisonnable de penser que s’exprime en fonction de η, posons ˜ T = g(η). On a alors :

2g "" + P rf g " + 2EP rf "" 2 = 0.

Une solution ´evidente de cette ´equation est obtenue pour le jeux de pa- ram`etres suivants : P r=1 et E = 0 ! Elle devient 2g "" +f g " = 0, qui est l’´equation de Blasius si g " = Kf "" , la solution est ´evidente :

g = 1 f " .

Si on garde encore E = 0, mais P r quelconque, 2g "" + P rf g " = 0, on int`egre, apr`es avoir remarqu´e que 2f """ /f " = f :

g "" /g " = P rf """ /f " donc g " = K (f "" ) P r .

une seconde int´egration, en tenant compte de la condition en 0 : g(η) =

!

η [f "" (ζ )] P r

!

0 [f "" (ζ )] P r

- 3.18-

Convection Forc´ee

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7

Pr=7 Pr=1 Pr=0.7

η

Τ

Fig. 18 – Profils g(η) `a diff´erents nombres de Prandtl.

Ce qui permet de tracer g pour diff´erents Prandtl P r `a E = 0 (en fait il est plus simple de r´esoudre directement que de faire ce calcul d’int´egrale !).

`a P

r

=0.7 g’(0)=-0.293

`a P

r

=1 g’(0)=-0.332

`a P

r

=7 g’(0)=-0.646 3.4.1.3. P r petit

Si le nombre de Prandtl est petit, l’´epaisseur thermique est plus grande que l’´epaisseur dynamique : le fluide est bon conducteur de la chaleur. Changeons l’´echelle de η en η=Y ζ, Y >>1, comme l’´equation est lin´eaire G(Y ) = g(η).

2g

!!

+ P rf g

!

= 0 devient 2Y

2

G

!!

+ Y

1

P rf G

!

= 0

mais attention loin de la paroi f η (η est grand) donc f Y ζ (ζ est d’ordre un). Par moindre d´eg´en´erescence Y = P r

1/2

. On peut ensuite montrer, apr`es r´esolution, que : g

!

(0) 0.564P r

1/2

.

3.4.1.4. Pr grand

Si le nombre de Prandtl est tr`es grand, l’´epaisseur thermique est plus petite que l’´epaisseur dynamique : le fluide est mauvais conducteur de la chaleur.

Changeons l’´echelle de η en η=Y ζ, Y <<1, comme l’´equation est lin´eaire G(Y ) = g(η).

2g

!!

+ P rf g

!

= 0 devient 2Y

2

G

!!

+ Y

1

P rf G

!

= 0

mais attention pr`es de la paroi f donc f (0.33/2)(ζ

2

)Y

2

. Par moindre d´eg´en´erescence Y = P r

1/3

. On peut alors montrer, apr`es r´esolution, que g

!

(0) = 0.332P r

1/3

3.4.1.5. Nusselt

Un grand miracle fait que cette expression (qui est normalement uniquement valide pour P r grand) est valide dans la plage ”utile” (eau - air).

Le flux `a la paroi est (compte tenu de l’approximation pr´ec´edente).

φ = 0.332P r

1/3

kL

1

R

1/2

T

w

T

x ¯

1/2

Le nombre de Nusselt est :

N u = φL k(T

w

T

) - 3.19-

Convection Forc´ee

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7

Pr=7 Pr=1 Pr=0.7

η

Τ

Fig. 18 – Profils g(η) `a diff´erents nombres de Prandtl.

Ce qui permet de tracer g pour diff´erents Prandtl P r `a E = 0 (en fait il est plus simple de r´esoudre directement que de faire ce calcul d’int´egrale !).

`a P r =0.7 g’(0)=-0.293

`a P r =1 g’(0)=-0.332

`a P r =7 g’(0)=-0.646 3.4.1.3. P r petit

Si le nombre de Prandtl est petit, l’´epaisseur thermique est plus grande que l’´epaisseur dynamique : le fluide est bon conducteur de la chaleur. Changeons l’´echelle de η en η=Y ζ , Y >>1, comme l’´equation est lin´eaire G(Y ) = g(η).

2g !! + P rf g ! = 0 devient 2Y 2 G !! + Y 1 P rf G ! = 0

mais attention loin de la paroi f η (η est grand) donc f Y ζ (ζ est d’ordre un). Par moindre d´eg´en´erescence Y = P r 1/2 . On peut ensuite montrer, apr`es r´esolution, que : g ! (0) 0.564P r 1/2 .

3.4.1.4. Pr grand

Si le nombre de Prandtl est tr`es grand, l’´epaisseur thermique est plus petite que l’´epaisseur dynamique : le fluide est mauvais conducteur de la chaleur.

Changeons l’´echelle de η en η=Y ζ , Y <<1, comme l’´equation est lin´eaire G(Y ) = g(η).

2g !! + P rf g ! = 0 devient 2Y 2 G !! + Y 1 P rf G ! = 0

mais attention pr`es de la paroi f donc f (0.33/2)(ζ 2 )Y 2 . Par moindre d´eg´en´erescence Y = P r 1/3 . On peut alors montrer, apr`es r´esolution, que g ! (0) = 0.332P r 1/3

3.4.1.5. Nusselt

Un grand miracle fait que cette expression (qui est normalement uniquement valide pour P r grand) est valide dans la plage ”utile” (eau - air).

Le flux `a la paroi est (compte tenu de l’approximation pr´ec´edente).

φ = 0.332P r 1/3 kL 1 R 1/2 T w T x ¯ 1/2 Le nombre de Nusselt est :

N u = φL

k(T w T ) - 3.19-

Cas Pr=0.7 :     Cas Pr=7.0 :

Convection Forc´ee

Fig. 17 – vitesse longitudinale et transversale.

Comme on a pos´e T = T + ∆ T ˜ , et (∆T ) = T w T , l’´equation de l’´energie s’´ecrit avec les variables de couche limite dynamique :

˜ u T ˜

x ¯ + ˜ v T ˜

y ˜ = 1 P r

2 T ˜

y ˜ 2 + E ( u ˜

y ˜ ) 2 . T ˜ (¯ x, 0) = 1, T ˜ (¯ x, ) = 0.

Cette ´equation est en fait plus g´en´erale qu’il n’y paraˆıt. Elle peut ˆetre appliqu´ee pour un corps quelconque d`es lors que la courbure de la paroi n’est pas trop forte.

La coordonn´ee longitudinale x est alors l’abscisse curviligne s, la coordonn´ee y est prise le long de la normale locale (l’´equation dynamique est en revanche diff´erente, car il faut ajouter le terme de gradient de pression li´e `a la forme du profil).

3.4.1.2. r´esolution cas E=0 Les vitesses s’exprimant avec η, il est raisonnable de penser que s’exprime en fonction de η, posons ˜ T = g(η). On a alors :

2g "" + P rf g " + 2EP rf "" 2 = 0.

Une solution ´evidente de cette ´equation est obtenue pour le jeux de pa- ram`etres suivants : P r=1 et E = 0 ! Elle devient 2g "" + f g " = 0, qui est l’´equation de Blasius si g " = Kf "" , la solution est ´evidente :

g = 1 f " .

Si on garde encore E = 0, mais P r quelconque, 2g "" + P rf g " = 0, on int`egre, apr`es avoir remarqu´e que 2f """ /f " = f :

g "" /g " = P rf """ /f " donc g " = K (f "" ) P r .

une seconde int´egration, en tenant compte de la condition en 0 : g(η) =

!

η [f "" (ζ )] P r

!

0 [f "" (ζ )] P r

- 3.18-

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