le 6 F´evrier 2013 UTBM MT26
Final automne 2012
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Chaque partie doit ˆ etre r´ edig´ ee sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
PREMIERE PARTIE.
Exercice 1 - 10 points
Soit f : R → R la fonction impaire, 2π p´eriodique, qui vaut 1 sur ]0, π[, et telle que f(0) = 0.
1. Tracer le graphe de la fonction f sur l’intervalle [−2π,2π].
2. Calculer son d´eveloppement en s´erie de Fourier fb(x).
3. ´Etudier la convergence simple et uniforme sur R de la s´erie de Fourier fbvers f. 4. En d´eduire
+∞
X
p=0
(−1)p 2p+ 1 et
+∞
X
p=0
1 (2p+ 1)2
5. Calculer
+∞
X
n=1
1
n2 et X
n>1
(−1)n n2
TOURNER LA PAGE SVP 1
DEUXIEME PARTIE : NOUVELLE FEUILLE.
Exercice 2 - 6 points
D´eterminer le rayon de convergence des s´eries suivantes : 1. S1(x) =Pnn+1
n! xn, 2. S2(x) =P
(an+bn+c)nxn(a, b, c∈R∗), 3. S3(x) =P(n!)2
(2n)!xn, 4. S4(x) =Px2n
2n.
Exercice 3 - 2 points
D´eterminer le domaine de convergence de la s´erie suivante : S5(x) =X xn
√n.
Exercice 4 - 5 points
1. Factoriser le polynˆome P(n) = n2+ 3n+ 2.
2. Chercher la fonction d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0,y(x) =P
n≥0an.xn, solution de l’´equation diff´erentielle
(E) x2.y00+ 4x.y0 + 2.y =ex. 3. Donner une forme explicite de cette solution pour x6= 0.
(On pourra multiplier l’expression trouv´ee par x2)
RAPPEL :
∀x∈]−1,1[, 1 1−x =
+∞
X
n=0
xn.
∀x∈R, ex=
+∞
X
n=0
xn n!.
Egalit´e de Parseval :
f :R−→R une fonction continue par morceaux,T p´eriodique. Alors 1
T Z T
0
(f(x))2dx=a20+
+∞
X
n=1
a2n+b2n 2 .
2
