le 2 F´evrier 2011 UTBM MT26
M´edian automne 2010
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Chaque partie doit ˆ etre r´ edig´ ee sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
PREMIERE PARTIE.
Exercice 1 - 10 points On pose :
In=
∫ π/2
0
sin((2n+ 1)t)
sin(t) dt, Jn=
∫ π/2
0
(sin(nt) sin(t)
)2
dt, Kn=
∫ π/2
0
(sin(nt) t
)2
dt.
1. Montrer que In+1−In= 0, et que Jn+1−Jn=In. En d´eduire la valeur deJn. 2. Montrer que l= lim
t→0
( 1
sin2(t)− 1 t2
)
existe, et calculer sa valeur.
3. Montrer qu’il existe une constanteA telle que pour tout t∈]0,π2], 0≤
(sin(nt) sin(t)
)2
−
(sin(nt) t
)2
≤A.
4. En d´eduire que la suite(Kn−Jn)n est born´ee.
5. Soit un =
∫ nπ/2
0
(sin(x) x
)2
dx. Exprimer un en fonction de Kn. D´eduire de 1. et 4.
l’existence, et la valeur de lim
n→∞un, puis celle de
∫ ∞
0
(sin(x) x
)2
dx.
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DEUXIEME PARTIE : NOUVELLE FEUILLE.
Exercice 2 - 10 points
1. Les s´eries ci-dessous sont-elles convergentes ? un=√
n!.
∏n k=1
sin( 2
√k) vn= 1−cos(1 n).
2. a) Montrer, pour a̸= 1, la formule 1 1−a =
N−1∑
k=0
ak+ aN 1−a. b) Montrer que limn→+∞∫1
0 tn
1+tdt= 0.
c) En d´eduire que la s´erie ∑(−1)n
2n+1 converge et vaut ∫1
0 dx 1+x2.
3. a) D´emontrer le crit`ere de Cauchy pour les s´eries `a terme g´en´eral positif.
b) Montrer que ∑ 1
nn+n converge et d´eterminer N ∈N∗ tel queSN =∑N
n=0 1
nn+n soit une estimation a 10−3 pr`es de S=∑+∞
n=0 1 nn+n.
4. D´eterminer pour tout couple de r´eels(a, b) la convergence de la s´erie
∑
n≥1
(−1)n+nb na . On pourra distinguer les cas b <0, b= 0 etb >0.
Exercice 3 - 2 points
Soit la suite de fonctions (fn)n d´efinies sur Rpar fn(x) = nx3
1 +nx2. 1) D´eterminer la limite simple de cette suite.
2) La convergence est-elle uniforme ?
RAPPEL :
ln(1 +X)∼X→0X−X2
2 +o(X2).
cos(X)∼X→0 1−X2
2 +o(X3).
sin(X)∼X→0 X−X3
6 +o(X3).
2
