UTBM - MT12 - le 13 Juillet 2006
M´edian
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (Questions de cours) - 6 points
Les questions suivantes ne n´ecessitent pas de calculs. La r´eponse tient en 2 lignes maximum.
i) Soient E et F, 2 espaces vectoriels sur R. A quelle condition sur dimRE et dimRF peut on trouver une application lin´eaire surjective E dans F qui ne soit pas injective ? Justifier.
ii) Justifier rapidement que F ={
a b c d
∈R4/a=c, b=d} est unR-espace vectoriel
et donner une base de F.
iii) Donner un suppl´ementaire G de F du ii) dans R4. Justifier.
iv) Calculer en fonction de m ∈R,
det
m2+ 1 m2 m2 m2 m2 m2+ 1 m2 m2
1 −1 1 −1
m2 m2 m2 m2
.
Exercice 2 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE)
SoitE un R-espace vectoriel de dimension 5. Soit B ={b1, b2, b3, b4, b5} une base deE.
1) Montrer que la familleB0 ={b01 =b1+b2, b02 =b2+b3, b03 =b3+b4, b04 =b4+b5, b05 =b5} est une base de E.
2) Soit x∈E avec xB =
x1 x2
x3 x4 x5
(coordonn´ees de x dans B).
Quelles sont les coordonn´ees de x dans la base B0?
3) D´eduire de la question 2) la matrice de passage de B0 `a B (c.`a.d. PB0;B telle que xB0 =PB0;B.xB) ?
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1
Exercice 3 (4 points) (NOUVELLE FEUILLE)
Soit C ={c1 =
1 0 0
, c2 =
0 1 0
, c3 =
0 0 1
} la base canonique de R3
Soit l’application lin´eaire donn´ee dans C par f : R3 −→ R3
x y z
7→
x+y 2y
−2x+ 2y+ 3z
On cherche `a d´eterminer une base B = {b1, b2, b3} dans laquelle la matrice de l’appli-
cation f sera
1 0 0 0 2 0 0 0 3
.
1) Que doivent v´erifier b1, b2 et b3 pour que la matrice de f dans {b1, b2, b3} soit celle que l’on cherche ?
2) En d´eduire des vecteurs b1, b2, et b3 qui satisfont `a notre recherche.
Exercice 4 (6 points) (NOUVELLE FEUILLE) Soit A=
µ 1
2 −16 0 13
¶
1. D´eterminer P ∈ M2(R), inversible, telle que A.P =P.D o`u D= µ1
2 0
0 13
¶
2. Exprimer A en fonction de P et D, puis A2. G´en´eraliser `a An (n∈N∗).
3. Soient (Un)n∈N et (Vn)n∈N deux suites telles que
∀n ∈N∗,
½ Un= 12Un−1 −16Vn−1
Vn= 13Vn−1 avec U0, V0 ∈R fix´es.
Exprimer µ U1
V1
¶ , puis
µ U2 V2
¶
, en fonction deAet µ U0
V0
¶
. G´en´eraliser `a µ Un
Vn
¶
en fonction de A, n et µ U0
V0
¶
4. D´eduire des questions pr´ec´edentes les limites des deux suites.
2
