le 6 F´evrier 2013 UTBM MT26
M´edian automne 2012
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´edig´ee `a la main
Chaque partie doit ˆ etre r´ edig´ ee sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
PREMIERE PARTIE.
Exercice 1 - 4 points
D´eterminer si les int´egrales g´en´eralis´ees ci-dessous sont convergentes :
I = Z +∞
0
e−√x
√x dx, J = Z +∞
1
ln
1 + 1 x
dx et K = Z +∞
0
ln(x) 1 +x2dx.
Exercice 2 - 3 points
Soitf etg deux fonctions continues deRdansR. On suppose que l’int´egrale g´en´eralis´ee R+∞
1 g(x)dx converge. On rappelle que cela signifie que la limite ci-dessous existe :
t→+∞lim Z t
1
g(x)dx
D´emontrer le r´esultat du cours disant que si 0 6 f 6 g, alors l’int´egrale g´en´eralis´ee R+∞
1 f(x)dx converge.
Exercice 3 - 3 points
Soit β ∈R. A quelles conditions n´ecessaires et suffisantes sur β l’int´egrale g´en´eralis´ee ci-dessous est-elle convergente ?
Iβ = Z +∞
0
1
xβ(1 +x2)dx.
TOURNER LA PAGE SVP
1
DEUXIEME PARTIE : NOUVELLE FEUILLE.
Exercice 4 - 8 points
Etudier la convergence des s´eries suivantes : 1. S1 =P
(1− pn n
n+1), 2. S2 =P(n!)2
2n2 , 3. S3 =P
√ n2+1 sin(√1
n).√ n5+n, 4. S4 =Pln(n)
n2 , 5. S4 =P (−1)n
n−ln(n). Cette s´erie est-elle absolument convergente ?
Exercice 5 - 3 points
1. Montrer que la s´erie suivante est convergente :
X 1 nn.
2. D´eterminer n0 ∈N tel que Sn0 soit une approximation a 10−3 pr`es de la limite S de la s´erie pr´ec´edente.
RAPPEL :
ln(1 +X) =X− X22 +o(X2).
cos(X) = 1− X22 +o(X3).
sin(X) =X− X63 +o(X3).
arctan(X) = X−13X3+o(X3).
∀k∈]−1,1[,P+∞
n=Nkn= 1−kkN . e= exp(1)'2.718.
2
