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le 29 Juin 2010 UTBM MT21
M´edian Printemps 2010
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Exercice 1 - 9 points
1) Les sous-ensembles suivants de R3 sont-ils des sous-espaces vectoriels de E? Si oui, donner leur dimension (justifier).
a) F ={
x y z
∈R3/x=y, x=y+z}
b) G={
x y z
∈R3/x2 =y}
c) F ={
x y z
∈R3/
x y z
.
1 2 3
= 0}
2) Peut-on trouver x∈R tel que vect(
1
−1 1
,
x 1 1
) =vect(
1 1 2
,
1 2 2
)?
3) Soit E un R-espace vectoriel. Soit B = {e1, e2, e3}, une base de E. Pour a ∈ R, on d´efinit fa ∈End(E) par fa(e1) = 0 et fa(e2) =fa(e3) =e2−a.e3.
D´eterminer une base de Ker(fa) et Im(fa).
4) a - Montrer que B ={1, X +X2, X3} est une base de
E ={a+b.X+c.X2+d.X3, a, b, c, d∈R/b−c= 0} ⊂R3[X].
b - Quelles sont les coordonn´ees de P(X) = 1 + 2X+ 2X2+ 3X3 dans B.
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Exercice 2 - 5 points Soit E =R3.
On consid`ere le sous-ensembleSdeE, form´e des vecteurs
x y z
∈Etels que2x−3y+z = 0. Soit, en abr´eg´e :
S ={
x y z
∈R3; 2x−3y+z = 0}.
1. Montrer que S est un sous-espace vectoriel de E. 2. Montrer que les vecteurs U =
−1 0 2
, V =
0 1 3
, W =
3 2 0
appartiennent `a S.
3. Montrer que S est engendr´e par {U, V, W}.
4. Est-ce que {U, V, W} est une base de S?
5. Donner un suppl´ementaire de S dans E (i.e. un sous-espace vectoriel T de E tel que T ⊕S =E).
Exercice 3 (6 points)
SoitR3 muni de sa base canoniqueβ ={e1, e2, e3}. soitV1, V2, V3 ∈R3 dont les coordonn´ees dans β sont (V1)β =
1 1 1
, (V2)β =
1 1 0
, (V3)β =
0 1 1
.
1. Montrer que β0 ={V1, V2, V3} est une base de R3. 2. Soit
f : R3 −→ R3
a.e1+b.e2+c.e3 7→ (a−b).e1+c.e3
Montrer que f est un endomorphisme de R3.
3. Donner les coordonn´ees de f(V1), f(V2), f(V3) dans la base β.
4. Donner les coordonn´ees de f(V1), f(V2), f(V3) dans la base β0.
