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le 2 Juillet 2013 UTBM MT21
M´edian Printemps 2013
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Exercice 1 (4 points)
Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R3? Justifier.
1. F ={
x+ 2y y+z x+y+z
;x, y, z ∈R}.
2. G={
x y z
∈R3;x2.y = 0}.
Exercice 2 (8 points) Soit E =R3. Soit C ={
1 0 0
,
0 1 0
,
0 0 1
} la base canonique de R3.
Soit F ={
1 0 1
,
1
−1 0
,
−1 1 1
}.
1. Montrer que F est une base de R3.
2. D´eterminer les coordonn´ees du vecteur V =
0 1 4
dans la base F.
3. Soit V0 =
x0 y0 z0
∈R3. D´eterminer les coordonn´ees de V0 dans la base F en fonction de x0, y0 et z0.
4. En d´eduire la matrice de passage de la base F `a la base canonique C, PF,C telle que
∀V ∈R3, VF =PF,C.VC.
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Exercice 3 (8 points) 1. Montrer que F ={
x y z
∈R3, x+ 2z =y} est un sous-espace vectoriel de R3. 2. Donner deux vecteurs V1 et V2 de F qui forment une famille libre.
3. Justifier le fait que B={V1, V2} est une base de F.
4. Trouver un vecteur V3 ∈R3 tel que F ={V1, V2, V3} soit une base de R3. Justifier.
