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le 29 Juin 2010 UTBM MT12
M´edian Printemps 2010
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Exercice 1 - 6 points
1) Montrer que l’image directe d’un sous-espace vectoriel par une application lin´eaire est un sous-espace vectoriel.
2) D´eterminer, dans R[X], le rang de la famille {X+ 1, X2+X−1, X2−2}.
3) D´eterminer tous les a, b∈R tels que {
a 1 1
,
a b 1
,
1 1 a
} soit une base de R3.
Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) - 8 points
Soit E un R-espace vectoriel. Soit B ={e1, e2, e3} une base de E.
Pour tout r´eel a, on d´efinit l’endomorphisme fa de E d´efini par fa(e2) = 0 et fa(e1) =fa(e3) = a.e1+e2−a.e3.
1) a - D´eterminer une base de Im(fa).
b - Montrer que {e2, e1−e3} est une base de Ker(fa).
2) Ecrire la matrice A de fa dans B et calculer A2. En d´eduire sans calcul fa◦fa. 3) On pose e01 =fa(e1), e02 =e1−e3, e03 =e3.
a - Montrer que {e01, e02, e03} est une base deE.
b - Donner la matrice A0 de fa dans cette base.
4) Pour tout r´eel x non nul, on pose B(x) =A−x.I3, I3 d´esignant la matrice identit´e de M3(R).
a - Montrer que B(x) est inversible (x6= 0).
b - Calculer (A−x.I3).(A+x.I3). En d´eduire l’inverse de B(x) en fonction de A, I3 et x.
c - Pour tout n∈N, d´eterminer B(x)n en fonction de A, I3, n et x.
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Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) - 8 points
Soient les suites (xn)n∈N, (yn)n∈N et (zn)n∈N d´efinies par
xn+1 = 2xn +3yn −zn yn+1 = −xn −2yn +zn zn+1 = xn +yn o`u x0, y0 et z0 sont trois r´eels fix´es.
1) On pose Xn =
xn yn zn
. Exprimer Xn+1 en fonction de Xn `a l’aide d’une matrice A∈ M3(R), puisXn+1 en fonction de X0, A et n.
2) Soit fA l’endomorphisme deR3 qui admet A comme matrice dans la base canonique C. Quelle est la matrice A0 de fA dans la base B={
1 0 1
,
−1 1 0
,
1
−1
−1
}.
3) Quelles est la matrice de passage PBC de B `a C (i.e. PBC telle que coordB(V) =PBC.coordC(V)) ?
4) Exprimer A, puis A2, puis An (n ∈N∗) en fonction de A0, PBC, n.
5) En d´eduire An (n∈N∗) en fonction de n.
6) En d´eduire x99 et limn→∞zn pour x0 =y0 =z0 = 2.
