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le 2 F´evrier 2010 UTBM MT26
Final automne 2009
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´ e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque partie doit ˆ etre r´ edig´ ee sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
PREMIERE PARTIE.
Exercice 1 - 10 points
Dans cet exercice, les questions sont ind´ependantes.
1. D´eterminer la convergence simple et uniforme sur R de la suite de fonctions (gn)n∈N
o`u, pour n ∈N,
gn: R −→ R x 7→ eenxnx+2+1
2. D´eterminer le rayon de convergence des s´eries enti`ere suivantes :
S1(x) = X
n≥1
ln(n).xn et S2(x) =X
n≥2
x2n 2n .
3. D´eterminer le domaine (regarder au bord) de convergence et la somme des s´eries enti`ere suivantes sur l’intervalle ouvert :
S3(x) =X
n≥0
(n+ 1).xn et S4(n) = X
n≥2
xn (n−1).n.
4. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere des fonctions suivante avec un rayon de convergence qu’on d´eterminera.
f1(x) = 1
(1−2x).(1−x) et f2(x) = (1 +x).ln(1 +x)
5. Determiner sur quel ensemble les fonctions complexes suivantes sont d´erivables ou holomorphes. Justifier.
f3(z) = ¯z f4(x+iy) = (x2−y2+x) +i(2xy+y).
z ∈C, x, y ∈R.
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DEUXIEME PARTIE : NOUVELLE FEUILLE.
Exercice 2 - 8 points
1. Calculer les coefficients de Fourier des fonctions ”cr´eneau” et ”dents-de-scie” repr´esent´ees ci-dessous :
2. Ecrire les d´eveloppement en s´eries de Fourier des deux fonctions 2π-p´eriodiques ci- dessus et d´eterminer leur limite. Quel est le type de convergence ?
3. En d´eduire les sommes des s´eries suivantes :
S1 =
+∞
X
n=0
(−1)n
2n+ 1, S2 =
+∞
X
n=0
1
(2n+ 1)2 S3 =
+∞
X
n=0
1 (2n+ 1)4.
4. En d´eduire, par manipulation des s´eries convergentes, les sommes des s´eries sui- vantes :
S4 =
+∞
X
n=1
1
n2, S5 =
+∞
X
n=1
(−1)n n2 .
Exercice 3 - 4 points.
On consid´ere l’´equation diff´erentielle suivante, l`a ou elle est d´efinie : (E) x.y”(x) + 2.y0(x) +x.y(x) = 0.
1. On pose y(x) = P
n≥o
an.xn.
Ecrire la relation de r´ecurence v´erifi´ee par an pour que y v´erifie (E) (on distinguera les coefficient d’indice pair avec ceux d’indice impair).
2. D´eterminer la s´erie enti`ere solution de (E) v´erifiant f(0) = 1.
3. Ecrire explicitement (sous forme de fonctions usuelles) les solutions de (E) d´eveloppables en s´erie entiere.
RAPPEL :
∀x∈]−1,1[, 1 1−x =
+∞
X
n=0
xn.
∀x∈R, sin(x) =
+∞
X
p=0
(−1)p
(2p+ 1)!x2p+1.
PARSEVAL : f :R−→R une fonction continue par morceaux, T p´eriodique. Alors 1
T Z T
0
(f(x))2dx=a20+
+∞
X
n=1
a2n+b2n 2 .
