DM de MPSI2
Corrig´ e de devoir non surveill´ e
Probl` eme – Sur les fonctions continues p´ eriodiques, ou presque
Partie A – Pr´ eliminaires sur la partie fractionnaire d’un r´ eel
A.1On a x+y=bxc+byc+F(x) +F(y).
Si F(x) +F(y)<1, on a alorsbx+yc=bxc+bycet F(x+y) =F(x) +F(y).
Si F(x) +F(y)>1, on a, sachant queF(x) +F(y)<2 :
bxc+byc+ 16x+y <bxc+byc+ 2, doncbx+yc=bxc+byc+ 1, puis
F(x+y) =x+y−(bxc+byc+ 1) =F(x) +F(y)−1.
A.2Supposons qu’il existe k∈[[0, m−1]] tel que F(x+ (k+ 1)x0) =F(x+kx0) +F(x0)−1.
On a alors, puisqueF(x+kx0)−160 (et mˆeme<0) :F(x+ (k+ 1)x0)6F(x0).
Supposons maintenant qu’il n’existe pas de tel entierk, et donc que pour toutk∈[[0, m−1]],F(x+(k+1)x0) = F(x+kx0) +F(x0).
On observe que
F(x+mx0)−F(x) =
m−1
X
k=0
(F(x+ (k+ 1)x0)−F(x+kx0)) =mF(x0)>1,
ce qui est absurde puisqueF est `a valeurs dans [0,1[.
A.3On peut ´ecarter le cas ´evident o`uδ>1. Observons ´egalement que,α´etant irrationnel,F(uα)>0 pour tout entier non nulu.
Le r´eelα´etant irrationnel,αZ+Zest dense dansR: il existe donc des entiers relatifs tels que 0<|uα−v|6δ.
Siuα−v>0, alors 0< F(uα) =F(uα−v)6δ(carδ <1), et, sinon, alors 0< F(−uα)6δ: quitte `a changer uen son oppos´e, il existe bien un entier relatifutel que 0< F(uα)6δ.
Partie B – G´ en´ eralit´ es sur les fonctions p´ eriodiques
B.1Vue en TD.
B.2
a Ωf est une partie de R, comprenant 0, et stable par diff´erence (v´erifications imm´ediates) : c’est donc un sous-groupe additif deR.
b Ωf n’est pas r´eduit `a 0 (puisque f est p´eriodique), et n’est pas dense non plus dans R (dans le cas contraire, elle serait constante de valeurf(0) sur une partie dense deR, puis, ´etant en outre continue, elle serait constante surR) : Ωf est donc de la formeaZ, o`u aest un r´eel strictement positif, et Ωf ∩R∗+ admet alors a pour plus petit ´el´ement.
c La fonction caract´eristique de Q dans R admet tout rationnel pour p´eriode, n’est pas constante, et n’admet pas de plus petite p´eriode strictement positive.
B.3On peut v´erifier `a la main queCT est un sous-espace vectoriel deC(R). On peut aussi remarquer que c’est le noyau de l’endomorphisme1 f 7→f◦tT −f deRR, o`u tT est la translation de T (i.e.t7→t+T).
En v´erifiant en outre que l’application constante de valeur 1, et que le produit de deux fonctionsT-p´eriodiques le sont ´egalement, on en d´eduit queCT est aussi un sous-anneau deC(R).
1. cette application est lin´eaire car la composition `a droite par une fonction donn´ee est lin´eaire
B.4Soitf ∈ Cper, et soitT ∈R∗+une p´eriode def :f ´etantT-p´eriodique,f(R) =f([0, T]). En outre,f est continue –donc born´ee– sur le segment [0, T] :f est born´ee.
Ainsi :Cper⊂ B.
B.5
a SoitT ∈Rune p´eriode def =g+h, soit sla fonction r´eelle d’une variable r´eelle donn´ee, pour tout r´eelxpar
s(x) =g(x+T)−g(x)(=h(x)−h(x+T)).
Cette fonction est clairement continue, et admet Tg et Th pour p´eriodes. Par structure de groupe additif, Ωs
contient doncTgZ+ThZ. Or ce dernier sous-groupe n’est pas de la formeαZpour un certain r´eel α, carTg et Th sont incommensurables : il est donc dense dansR. Ωsle contenant, il est ´egalement dense dansR.
La fonctionsest donc constante (cf. B.2.b) : soitl sa valeur. Par une r´ecurrence imm´ediate, on ag(nT) = nl+g(0) pour toutn∈N. La fonctiong´etant born´ee (d’apr`es la question pr´ec´edente), ceci imposel= 0 :T est donc une p´eriode commune `ag et h,i.e.T = 0 (car Tg etTh, incommensurables, sontles p´eriodes respectives deget de h).
La fonction f n’est donc pas p´eriodique.
bLes fonctionsg= cos eth :x7→cos(√
2x) sont des ´elements deCper dont les p´eriodes sont 2πet √ 2π respectivement. Par irrationnalit´e de√
2, ces p´eriodes sont incommensurables : d’apr`es la question pr´ec´edente, g+h /∈ Cper.
Cper, non stable par somme, n’est pas un sous-espace vectoriel deRR.
Remarque : on aurait pu (plus ´el´ementairement) prouver la non p´eriodicit´e deg+hen observant qu’elle ne prend la valeur 2 qu’en 0.
Partie C – Fonctions quasi-p´ eriodiques
C.1Soitf ∈ Cper, T ∈R∗+ une p´eriode de f. Soitε∈R∗+. On constate ais´ement queEf,ε contient TZ, et rencontre donc tout segment de longueurT :f est quasi-p´eriodique.
C.2Soitf ∈Q. On fixeε= 1, et on choisitl∈R∗+ tel que tout segment de longueurl rencontreEf,1. Soit xun r´eel,T ∈Ef,1∩[x, x+l]. On a :|f(x)−f(x−T)|61, donc, par in´egalit´e triangulaire :
|f(x)|6|f(x−T)|+ 1.
Or|x−T|6l, et|f|est continue donc major´ee sur le segment [−l, l], mettons par M, ce qui fournit :
|f(x)|6M+ 1.
La fonction|f|est donc major´ee :f est born´ee.
D`es lors :Q⊂ B.
Partie D – La somme de deux fonctions continues p´ eriodiques est quasi-p´ eriodique
D.1Si g et hadmettent des p´eriodes strictement positivesTg et Th telles queTg/Th soit un rationnelp/q (o`u p, q ∈ N∗), alors qTg(= pTh > 0) est une p´eriode de g et de h, donc de g+h. D’apr`es C.1, g+h est quasi-p´eriodique.
D.2Soitxun r´eel :
|(g+h)(x+T)−(g+h)(x)| = |h(x+T)−h(x)| (g∈ CT)
= |h(x+T−vTh)−h(x)| (h∈ CTh) 6 ε (T−vTh∈Eh,ε),
doncT est bien uneε-quasi p´eriode deg+h.
D.3
a T est une p´eriode deg et en posant v=buTg/Thc, on remarque queT−vTh est uneε-quasi p´eriode deh, car, pour tout r´eelx:
|(x+T−vTh)−x|=|T−vTh|=F(T /Th)Th6η, donc
|h(x+T−vTh)−h(x)|6ε.
D’apr`es D.2,T est uneε-quasi p´eriode deg+h.
b Soit m un entier tel que mF(T /Th)> 1. D’apr`es A.2, parmi m+ 1 multiples entiers cons´ecutifs de T, l’un au moins, mettons kT, v´erifie 0 < F(kT /Th) 6 F(T /Th) 6 η/Th. Comme `a la question pr´ec´edente, on en d´eduit que kT est uneε-quasi p´eriode deg+h. Ainsi,Eg+h,ε∩TZrencontre tout segment de longueur l= (m+ 1)T(>0) : cet ensemble est bien r´eparti.
cPuisqueEg+h,ε∩TZest bien r´eparti, Eg+h,ε l’esta fortiori.
Ceci valant pour toutε∈R∗+ pr´ealablement fix´e,g+hest bien quasi-p´eriodique.
