Image d’une application lin´ eaire
D´edou
Mai 2012
Le s´ equent initial
Le s´equent initial, c’est
` ∀E,F :EspVec,∀u :E →F,u lin´eaire ⇒u(E) est un sev de F. On fait tout ce qui est gratuit :
La premi` ere salve
Le s´equent initial, c’est
` ∀E,F :EspVec,∀u :E →F,u lin´eaire ⇒u(E) est un sev de F.
On fait tout ce qui est gratuit :
ForallB, ForallB, ForallB, ImpB, ReecB, EtB, ReecB Et le nouveau s´equent, c’est quoi ?
La premi` ere salve
Le s´equent initial, c’est
` ∀E,F :EspVec,∀u :E →F,u lin´eaire ⇒u(E) est un sev de F.
On fait tout ce qui est gratuit :
ForallB, ForallB, ForallB, ImpB, ReecB, EtB, ReecB Le nouveau s´equent, c’est
E,F :EspVec;u :E →F;u lin´eaire ` ∃x :E,u(x) = 0.
La deuxi` eme salve
Le nouveau s´equent, c’est
E,F :EspVec;u :E →F;u lin´eaire ` ∃x :E,u(x) = 0.
On prend 0 `a t´emoin : ExistB (0)
∀E,F :EspVec;∀u :E →F;u lin´eaire `u(0) = 0.
Et on invoque :
∀E,F :EspVec;∀u :E →F;u lin´eaire ⇒u(0) = 0.
InvoC, ForallC, ForallC, ForallC, ImpC, Hyp, Hyp
La troisi` eme salve
Le nouveau s´equent, c’est
E,F :EspVec;u:E →F;u lin´eaire
` ∀y,y0 :F,∀a,a0 :R,y ∈u(E) et y0 ∈u(E)⇒ay +a0y0∈u(E).
On fait presque tout ce qui est gratuit :
ForallB, ForallB, ForallB, ForallB, ImpB, EtC, ReecC, ReecC, ExistC, ExistC
Le nouveau s´equent, c’est
E,F :EspVec;u:E →F;u lin´eaire ;
y,y0 :F;a,b :R;x,x0 :E;u(x) =y;u(x0) =y0
`ay+a0y0 ∈u(E).
Le coup de grˆ ace
Le s´equent courant, c’est
E,F :EspVec;u:E →F;u lin´eaire ;
y,y0 :F;a,b :R;x,x0 :E;u(x) =y;u(x0) =y0
`ay+a0y0 ∈u(E).
On prendax+a0x0 `a t´emoin, et le but devient
`u(ax +a0x0) =ay+a0y0.
On le r´e´ecrit :
`u(ax+a0x0) =au(x) +a0u(x0).
Et on applique la lin´earit´e :
ExistB, ReecB, ReecB, ReecC, 4ForallC, Hyp.
