1 Notion d’application lin´ eaire

(1)

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre XV Applications lin´ eaires

Table des mati` eres

1 Notion d’application lin´eaire 1

2 Op´erations sur les applications lin´eaires 2

3 Noyau d’une application lin´eaire 4

4 Equations lin´´ eaires homog`enes 5

5 Equations lin´´ eaires 6

6 Image d’une application lin´eaire 7

7 Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme 7

8 Applications lin´eaires remarquables 9

8.1 Homoth´eties . . . 9

8.2 Rappels sur les suppl´ementaires . . . 9

8.3 Projections . . . 10

8.4 Sym´etries . . . 11

Notations

• La lettreKd´esigneRouC.

• Les lettresE,F etGd´esignent desK-espaces vectoriels.

1 Notion d’application lin´ eaire

D´efinition 1 (Application lin´eaire)

Soit ϕ:E→F une application. On dit queϕest lin´eaire si : 1. ϕrespecte les additions

∀(u1, u2)∈E² ϕ(u1+u2) =ϕ(u1) +ϕ(u2).

2. ϕrespecte les multiplications par un scalaire

∀λ∈K ∀u∈E ϕ(λu) =λϕ(u).

Théorème 1 (Condition nécessaire pour qu’une application soit linéaire) Soit ϕ:E→F une application.

ϕlin´eaire ⇒ ϕ(0E) = 0F.

(2)

✍

Preuve du th´eor`eme 1

✍

Exemple 1

1. Montrer que l’application

ϕ:R²→R³; (x, y)7→(x−y,2x−3y,5x+ 11y) est lin´eaire.

ϕ:R²→R²; (x, y)7→(x+y, x−y+ 2) n’est pas lin´eaire.

ϕ:R²→R; (x, y)7→xy n’est pas lin´eaire.

Théorème 2 (Critère pour qu’une application soit linéaire)

Une application ϕ:E →F est lin´eaire si et seulement si elle respecte les combinaisons lin´eaires, i.e. si et seulement si :

∀(λ1, λ2)∈K² ∀(u1, u2)∈E² ϕ(λ1u1+λ2u2) =λ1ϕ(u1) +λ2ϕ(u2).

✍

Définition 2 (Forme linéaire sur unK-espace vectoriel) Une forme linéaire surE est une application linéaire deE dans K.

✍

Exemple 2

T:C⁰([−1,1],R)→R; f 7→

Z 1

−1

xf(x)dx est une forme lin´eaire surC⁰([−1,1],R).

2. Donner un exemple de forme lin´eaire surR².

2 Op´ erations sur les applications lin´ eaires

D´efinition 3 (L’ensembleL(E, F))

L’ensemble des applications lin´eaires deE dansF est not´eL(E, F).

Théorème 3 (L’application nulle de E dans F est linéaire) L’application nulle de E dansF, notée0L(E,F), et définie par :

0L(E,F):E→F ; u7→0F

est lin´eaire.

(3)

✍

Théorème 4 (Addition de deux applications linéaires)

Soientf:E→F et g:E→F deux applications lin´eaires. Alors l’application f+g d´efinie par : f +g:E→F ; u7→f(u) +g(u)

est une application lin´eaire de E dansF.

✍

Théorème 5 (Multiplication d’une application linéaire par un scalaire)

Soit f:E→F une application lin´eaire et soitλ∈K. Alors l’application λ.f d´efinie par : λ.f:E→F ; u7→λ.f(u)

est lin´eaire.

✍

Th´eor`eme 6 (Structure de K-espace vectoriel sur L(E, F))

Sif:E→F etg:E→F sont deux applications linéaires, alors on a défini une applicationf+g:E→F qui est, elle aussi, linéaire (cf. Thm 4). Cela induit une l.c.i. surL(E, F):

+ :L(E, F)× L(E, F)→ L(E, F) ; (f, g)7→f +g

Si λ∈Ket sif: E →F est une application linéaire, alors on a défini une applicationλ.f:E→F qui est linéaire (cf. Thm 5). Cela induit une l.c.e. à domaine d’opérateurs dans K:

. :K× L(E, F)→ L(E, F) ; (λ, f)7→λ.f Le triplet :

(L(E, F),+, .)

est unK-espace vectoriel, dont le vecteur nul est l’application nulle 0L(E,F)de E dansF (cf. Thm 3).

✍

_{Exemple 3}

Appliquer le th´eor`eme 6 pour donner de nouveaux exemples deK-espaces vectoriels.

✍

_{Exemple 4}

1. Montrer que les applications

f:R³→R²; (x, y, z)7→(x+ 2y, x+y−z)

g:R³→R²; (x, y, z)7→(x+z,3x−5y) appartiennent `aL(R³,R²).

2. Calculer les applications f +g,3.f et−f.

Théorème 7 (Composition d’applications linéaires)

Soientf:E→F et g:F →Gdeux applications lin´eaires. Alors l’application : g ◦f:E→G; u7→g(f(u))

est lin´eaire.

(4)

✍

Exemple 5

On note C^∞(R,R)l’ensemble des fonctions deR dansRqui sont ind´efiniment d´erivables.

1. Montrer queC^∞(R,R)est un sous-espace vectoriel duR-espace vectoriel de fonctions F(R,R).

2. Justifier que l’application

d: C^∞(R,R)→ C^∞(R,R) ; f 7→f^′ est bien d´efinie et lin´eaire.

3. En d´eduire que l’application

ϕ:C^∞(R,R)→ C^∞(R,R) ; f 7→f^′′−7f^′+ 12f est lin´eaire.

3 Noyau d’une application lin´ eaire

D´efinition 4 (Noyau d’une application lin´eaire)

Soit ϕ:E →F une application linéaire. Le noyau deϕ, noté Ker(ϕ), est l’ensemble des éléments de E qui ont une image nulle par ϕ. Autrement dit :

Ker(ϕ) = {u∈E : ϕ(u) = 0F}

= ϕ⁻¹({0F}).

✍

Exemple 6

1. On consid`ere `a nouveau l’application

f:R³→R²; (x, y, z)7→(x+ 2y, x+y−z).

Cette application est linéaire (cf. exemple 4). Déterminer le noyau def. 2. On considère à nouveau l’application

ϕ:C^∞(R,R)→ C^∞(R,R) ; f 7→f^′′−7f^′+ 12f.

Cette application est lin´eaire (cf. exemple 5). D´eterminer le noyau deϕ.

Théorème 8 (Structure du noyau d’une application linéaire)

Soit ϕ: E→F une application lin´eaire . Alors Ker(ϕ) est un sous-espace vectoriel deE.

✍

Théorème 9 (Critère d’injectivité pour une application linéaire) Soit ϕ: E→F une application linéaire. On a :

ϕest injective ⇔ Ker(ϕ) ={0E}.

✍

Exemple 7

1. Soit l’application

ϕ:R²→R²; (x1, x2)7→(x1+x2, x1−x2).

Montrer que l’application ϕest lin´eaire et injective.

(5)

2. On considère à nouveau la forme linéaire

T:C⁰([−1,1],R)→R; f 7→

Z 1

−1

xf(x)dx introduite dans l’exemple 2.

(a) Interpréter géométriquement cette application linéaire.

(b) En d´eduire un exemple^≪simple^≫ de fonction f ∈ C⁰([−1,1],R)non identiquement nulle sur [−1,1]et telle que T(f) = 0.

(c) L’applicationT est-elle injective ?

4 Equations lin´ ´ eaires homog` enes

Définition 5 (Équation linéaire homogène)

Une équation linéaire homogène est une équation ^≪de la forme^≫ (E) : ϕ(u) = 0 où :

1. ϕest une application lin´eaire ; 2. 0est le vecteur nul du but de ϕ;

3. u, inconnue de (E), est un vecteur de la source de ϕ.

Observation 1

On conserve les notation de la précédente définition. L’ensemble solutionSol(E)de(E)est, par définition de Ker(ϕ), le noyau deϕ, i.e. :

Sol_(E)=Ker(ϕ).

Tout ensemble solution d’une équation linéaire homogène est donc le noyau d’une application linéaire.

✍

Exemple 8

1. Donner un exemple de système linéaire homogène et montrer que c’est une équation linéaire ho- mogène au sens de la définition 5.

2. Donner un exemple d’équation différentielle linéaire homogène et montrer que c’est une équation linéaire homogène au sens de la définition 5.

Théorème 10 (Propriétés de l’ensemble solution d’une équation linéaire homogène) Soit ϕ:E→F une application linéaire. On considère l’équation linéaire

(E) : ϕ(u) = 0F

d’inconnueu∈E.

1. Structure de l’ensemble solutionSol_(E) de (E) L’ensembleSol_(E)est un sous-espace vectoriel de E.

2. Nombre de solutions de(E)

L’équation(E)possède 1 ou une infinité de solutions. En particulier, l’équation(E)possède toujours au moins une solution.

✍

_{Exemple 9}

Soit a∈K. Résoudre le système linéaire homogène

ß x + y = 0

2x − ay = 0

d’inconnue(x, y)∈K² et commenter l’ensemble solution à la lumière du théorème 10.

(6)

5 Equations lin´ ´ eaires

D´efinition 6 (Sous-espace affine d’unK-espace vectoriel) On appelle sous-espace affine du K-espace vectoriel E toute partie

u+F :={u+v : v∈F}

de E, o`u :

• uest un ´el´ement deE;

• F est un sous-espace vectoriel deE.

✍

Exemple 10 Montrer que

ß

(x, y)∈R² :

ß x + 2y = 1

2x + 3y = 5

™

est un sous-espace affine de R².

Définition 7 (Équation linéaire)

Une équation linéaire est une équation ^≪de la forme^≫ (E) : ϕ(u) =v où :

1. ϕest une application lin´eaire ; 2. v est un vecteur fix´e du but deϕ;

3. u, inconnue de (E), est un vecteur de la source de ϕ.

✍

Exemple 11 1. L’´equation

ß x + 2y = 1

2x + 3y = 5

d’inconnue(x, y)∈R² est une équation linéaire (au sens de la définition 7).

2. L’´equation

y^′′−7y^′+ 12y=x

d’inconnue une fonction y∈ C^∞(R,R)est une équation linéaire (au sens de la définition 7).

Théorème 11 (Propriétés de l’ensemble solution d’une équation linéaire) Soit ϕ: E→F une application linéaire et soit v∈F. On considère l’équation linéaire

(E) : ϕ(u) =v d’inconnueu∈E. On lui associe l’équation linéaire homogène

(EH) : ϕ(u) = 0F. 1. Structure de l’ensemble solutionSol_(E) de (E)

On a la dichotomie suivante pour l’ensembleSol_(E) :

• soitSol(E)=∅;

• soitSol(E) est le sous-espace affine

u0+Sol(E_H)

o`u u0 est une solution particuli`ere de(E)etSol_(E_H₎est l’ensemble solution de(EH), qui est un sous-espace vectoriel de(E)(cf. observation 2).

(7)

2. Nombre de solutions de(E)

L’équation(E)possède 0, 1 ou une infinité de solutions.

✍

_{Exemple 12}

1. Résoudre les deux équations linéaires introduites dans l’exemple 11 et commenter les ensembles solutions à la lumière du théorème 11.

2. Donner un exemple d’équation linéaire ne possédant aucune solution.

6 Image d’une application lin´ eaire

Théorème 12 (Structure de l’image d’une application linéaire) Soit ϕ: E→F une application linéaire. Alors

Im(ϕ) = {ϕ(u) : u∈E}

est un sous-espace vectoriel de F.

✍

Exemple 13

On consid`ere `a nouveau l’application

ϕ:R²→R³; (x, y)7→(x−y,2x−3y,5x+ 11y)

Cette application est lin´eaire (cf. exemple 1). D´eterminer deux vecteurs v1 et v2 de R³ tels que : Im(ϕ) =Vect(v1, v2).

Théorème 13 (Critère de surjectivité pour les applications linéaires) Soit ϕ: E→F une application linéaire. On a :

ϕest surjective ⇔ Im(ϕ) =F.

Preuve du théorème 13 :L’assertion résulte de la définition de l’image Im(ϕ) deϕainsi que de celle de la surjectivité.

7 Endomorphisme, isomorphisme, automorphisme

D´efinition 8 (Endomorphisme)

1. Un endomorphisme de E est une application lin´eaire deE dans E.

2. L’ensemble des endomorphismes deE est not´eL(E).

Théorème 14 (L’application identité d’unK-espace vectoriel est un endomorphisme) L’application

idE:E→E; u7→u est lin´eaire.

(8)

✍

Exemple 14

ϕ: R²→R²; (x, y)7→(y, x) est un endomorphisme deR².

2. Interpréter géométriquement l’applicationϕ précédente.

D´efinition 9 (Isomorphisme)

Un isomorphisme de E dansF est une application lin´eaire et bijective.

✍

_{Exemple 15}

1. Justifier que

F ={(x, y, z)∈R³ : x+y−z= 0}

est un sous-espace vectoriel deR³. 2. Montrer que l’application

ϕ:R²→F ; (α, β)7→(α, β, α+β) est bien d´efinie.

3. Montrer queϕest un isomorphisme.

Théorème 15 (L’application réciproque d’une application linéaire et bijective est linéaire) Soit ϕ: E → F un isomorphisme. L’application ϕ étant bijective, on peut considérer son application réciproque :

ϕ⁻¹: F → E

v 7→ l’unique solution de l’´equation ϕ(u) =v d’inconnueu∈E.

Alors l’application ϕ⁻¹:F →E est lin´eaire (l’applicationϕ⁻¹est donc un isomorphisme, car on sait par ailleurs que ϕ⁻¹ est bijective).

✍

D´efinition 10 (Automorphisme)

1. Un automorphisme deE est un endomorphisme de E qui est bijectif, en d’autres termes une appli- cation lin´eaire deE dansE qui est bijective.

2. L’ensemble des automorphismes de E dansE est not´eGL(E). On a donc : GL(E) ={f ∈S(E) : f est lin´eaire}

o`u S(E) est l’ensemble des bijections de E dansE.

✍

_{Exemple 16}

On consid`ere `a nouveau

ϕ:R²→R²; (x, y)7→(y, x).

1. L’application ϕest donc un endomorphisme deR² (cf. exemple 14).

(9)

2. On remarque que

ϕ²=id_R2.

L’applicationϕest donc involutive. Elle est donc bijective etϕ⁻¹=ϕ(cf. exercice 108 de la feuille d’exercices n˚12 Ensembles et applications).

3. De 1. et 2., on d´eduit que ϕest un automorphisme de E.

Th´eor`eme 16 (Le groupe des automorphismes d’un K-espace vectoriel)

L’ensemble GL(E) des automorphismes de E est un sous-groupe de (S(E),◦).GL(E)muni de la loi de composition interne donnée par la composition est donc un groupe, appelé groupe linéaire de E (d’où la notation GL(E)).

✍

8 Applications lin´ eaires remarquables

8.1 Homoth´ eties

Dans cette partie, on suppose que le K-espace vectorielE n’est pas r´eduit au singleton vecteur nul.

D´efinition 11 (Homoth´etie)

Une application ϕ: E→E est appel´ee homoth´etie deE si :

∃λ∈K ∀u∈ E ϕ(u) =λ.u

Théorème 17 (Propriétés des homothéties)

1. Siϕ:E→E est une homoth´etie deE, alors le scalaireλintroduit dans la d´efinition 11 est unique.

Il est appel´e rapport de l’homoth´etie ϕ.

2. Une homoth´etie de E est un endomorphisme deE.

✍

Exemple 17 1. L’application

0L(E): E→E; u7→0E

est une homoth´etie deE. Son rapport est0.

2. L’application

idE:E→E; u7→u est une homoth´etie deE. Son rapport est1.

3. Donner un exemple d’homoth´etie de R³. 4. Donner un exemple d’homoth´etie de F(R,R).

8.2 Rappels sur les suppl´ ementaires

D´efinition 12 (Sous-espaces vectoriels suppl´ementaires dans un K-espace vectoriel)

SoientF1 etF2deux sous-espaces vectoriels de E. On dit queF1 etF2 sont suppl´ementaires dans E si :

∀u∈E ∃! (u1, u2)∈F1×F2 u=u1+u2

i.e. si tout vecteur de E s’´ecrit de mani`ere unique comme somme d’un vecteur deF1 et d’un vecteur de F2.

(10)

Théorème 18 (Critère pour que deux s.e.v. d’unK-e.v. soient supplémentaires) SoientF1 etF2 deux sous-espaces vectoriels deE. On a :

F1 etF2 sont suppl´ementaires dans E ⇔ F1⊕F2=E

⇔







F1+F2=E et

F1 ∩ F2={0E}.

✍

Exemple 18 (Exemple fil´e − 1^`^ere partie)

On fixe un rep`ere (O;~i,~j)du plan P usuel. On peut ainsi identifier le planP etR². 1. Justifier que

F1=Vect((1,0)) et F2=Vect((1,1)) sont deux sous-espaces vectoriels deR².

2. Déterminer les natures géométriques deF1 etF2, en donner des éléments caractéristiques, puis les représenter graphiquement.

3. Montrer queF1 etF2 sont suppl´ementaires dansR².

4. Soient u= (x, y)∈R². D´ecomposer le vecteurusuivant la d´ecomposition R²=F1⊕F2.

5. Illustrer géométriquement la décomposition d’un vecteur ude R² suivant la décomposition R² = F1⊕F2.

8.3 Projections

D´efinition 13 (Projection)

Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires de E. On appelle projection de E surF1

parallèlement àF2 l’application pdéfinie par :

p: E → E

u= u1

|{z}

∈F₁

+ u2

|{z}

∈F₂

7→ u1

✍

_{Remarque 1}

L’application pde la d´efinition 13 est bien d´efinie.

Théorème 19 (Propriétés des projections)

Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires de E. Soit p la projection de E sur F1

parall`element `aF2.

1. L’application pest un endomorphisme de E.

2. On a de plus : (a) p²=p;

(b) Les éléments caractéristiques depsont donnés par :

F1=Im(p) et F2=Ker(p).

✍

Exemple 19 (Exemple fil´e − 2^`^emepartie)

On se place `a nouveau dans le contexte de l’exemple 18.

(11)

1. Expliciter la projection pdeR² surF1 parall`element `aF2.

2. Étant donné un vecteur u de R², représenter graphiquement le vecteur p(u), image de u par la projectionp.

Théorème 20 (Caractérisation des projections) Soit pest un endomorphisme deE tel que

p²=p.

Alorspest une projection.

Plus précisément, on a les propriétés suivantes.

1. Les sous-espaces vectoriels Im(p)et Ker(p)sont suppl´ementaires dansE.

2. La décomposition d’un vecteur u de E suivant la décomposition E =Im(p)⊕Ker(p) est donnée par :

u= p(u)

|{z}

∈Im(p)

+u−p(u)

| {z }

∈Ker(p)

.

3. L’application pest la projection de E sur Im(p)parral`element `a Ker(p).

✍

_{Exemple 20}

Montrer que l’application

p:R²→R²; (x, y)7→(3x−2y,3x−2y) est une projection et préciser ses éléments caractéristiques.

8.4 Sym´ etries

D´efinition 14 (Sym´etries)

SoientF1etF2 deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires deE. On appelle sym´etrie deE par rapport

`

aF1 parallèlement àF2 l’application sdéfinie par :

s: E → E

u= u1

|{z}

∈F₁

+ u2

|{z}

∈F₂

7→ u1−u2

✍

Remarque 2

L’application s de la d´efinition 14 est bien d´efinie.

Théorème 21 (Propriétés des symétries)

SoientF1 etF2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires deE. Soitsla symétrie de Epar rapport à F1 parallèlement àF2.

1. L’application sest un automorphisme de E.

2. On a de plus : (a) s²=idE; (b) s⁻¹=s;

(c) Les éléments caractéristiques des sont donnés par :

F1=Ker(s−idE) et F2=Ker(s+idE).

(12)

✍

Exemple 21 (Exemple fil´e − 3^`^emepartie)

On se place `a nouveau dans le contexte de l’exemple 18.

1. Expliciter la symétriesde R² par rapport àF1 parallèlement àF2.

2. Étant donné un vecteur u de R², représenter graphiquement le vecteur s(u), image de u par la symétries.

Théorème 22 (Caractérisation des symétries) Soit s est un endomorphisme deE tel que

s²=idE. Alorss est une sym´etrie.

Plus précisément, on a les propriétés suivantes.

1. Les sous-espaces vectoriels Ker(s−idE)et Ker(s+idE)sont suppl´ementaires dans E.

2. La décomposition d’un vecteurude E suivant la décomposition E=Ker(s−idE)⊕Ker(s+idE) est donnée par :

u=1

2(u+s(u))

| {z }

∈Ker(s−id_E)

+1

2(u−s(u))

| {z }

∈Ker(s+id_E)

.

3. L’application sest la symétrie deE par rapport à Ker(s−idE)parralèlement à Ker(s+idE).

✍

_{Exemple 22}

1. L’application

ϕ: R²→R²; (x, y)7→(y, x)

est un endomorphisme deR²(cf. exemple 14), qui vérifie ϕ²=id_R2 (cf. exemple 16). L’application ϕest donc une symétrie deR². En donner les éléments caractéristiques en appliquant le théorème 22, puis comparer les résultats avec l’interprétation géométrique deϕdonnée dans l’exemple 14.

s:R²→R²; (x, y)7→(5x−3y,8x−5y) est une symétrie deR² et préciser ses éléments caractéristiques.