UNSA – Compl´ements d’alg`ebre et d’analyse– L2 2009-2010 Examen du 25 janvier 2010
Dur´ee : 2h00. Tous documents interdits.
Barˆeme indicatif : 6 + 6 + 6 + 6 (not´e sur 20)
1. Projecteurs. SoitE unR-espace vectoriel de dimensionn. Soitp:E→E une application R-lin´eaire. On d´esignera par Ker(p) = {v ∈ E|p(v) = 0} le noyau dep, et par Im(p) ={v∈E| ∃w∈E:v=p(w)} l’image dep.
1.a. Montrer quepest injective si et seulement si Ker(p) ={0}.
On suppose dor´enavant que p◦p=p.
1.b. Montrer que Ker(p)∩Im(p) ={0}.
1.c. Montrer qu’on a v−p(v) ∈ Ker(p) pour v ∈ E. En d´eduire l’existence d’une d´ecomposition uniquev=v1+v2avecv1∈Ker(p) etv2∈Im(p).
1.d. On se donne une base (v1, . . . , vn) de E telle que (v1, . . . , vk) soit une base de Ker(p) et (vk+1, . . . , vn) = (p(wk+1), . . . , p(wn)) soit une base de Im(p).
Quelle est la matrice depdans cette base ? Quelles sont les valeurs propres de p? Comment caract´eriser les cas extr´emauxk= 0 etk=n?
2. S´eries formelles et s´eries num´eriques. On pose s(X) =
∞
X
n=0
snXn poursn=
((−1)m sin= 2m (m∈N);
(−1)m sin= 2m+ 1 (m∈N).
2.a. Montrer que s(X) s’identifie `a une fraction rationnelle dansR[[X]] qu’on explicitera. On pourra ´ecrires(X) =a(X)+b(X) aveca(X) =P
m≥0(−1)mX2m etb(X) =P
m≥0(−1)mX2m+1, puis traitera(X) etb(X) s´epar´ement.
2.b. D´eterminer la primitive des(X) qui s’annule enX= 0, d’abord sous forme de s´erie formelle, ensuite sous forme de fonction de classe C∞. En d´eduire la somme de la s´erie num´erique
∞
X
n=0
sn
n+ 1 = 1 +1 2 −1
3−1 4 +1
5 +1 6−1
7 −1 8 ± · · ·
= 1 + 1 2·3− 1
4·5 + 1 6·7− 1
8·9 ± · · ·.
2.c. Soit la fraction rationnelle u(X) = 1−X+4X1+X3 2 ∈ R[[X]]. Expliciter les coefficients du d´eveloppement en s´erie formelleP
n≥0unXn deu(X).
2.d.Ecrireu(X) sous forme 1+Xα +1−X+Xβ+γX2 pour des coefficientsα, β, γ∈R. En d´eduire une primitive deu(X), puis la somme de la s´erie num´eriqueP
n≥0 un n+1.
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3. Equations diff´erentielles du second ordre.
3.a. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivablesR→R:x7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley00(x) +y0(x)−2y(x) = (1 +x+x2)ex. 3.b. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivables R→R : x7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley00(x)−4y(x) = 0 (∗).
On rappelle que ch(x) = ex+e2−x et sh(x) = ex−e2−x. Les fonctions ch(2x) et sh(2x) font-elles partie des solutions de (*)? Une solution quelconque de (*) s’´ecrit-elle comme combinaison lin´eaire de ch(2x) et de sh(2x) ?
3.c. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivables R→ R: x 7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley00(x)−4y(x) = e2x2 .
Idem poury00(x)−4y(x) = e−2x2 et poury00(x)−4y(x) = ch(2x).
4. Exponentielle de matrice et ´equation diff´erentielle lin´eaire.
On consid`ere la matriceA=
−3 2 2
−4 3 4
0 0 −1
∈M3(R).
4.a. D´eterminer les valeurs propres deA. En d´eduire une matrice de change- ment de baseP∈Gln(R) telle queP−1AP soit diagonale.
4.b. CalculerP−1 ainsi queexp(tA) pourt∈R.
4.c. Trouver l’unique fonction d´erivableφ:R→R3:t7→
x(t) y(t) z(t)
qui v´erifie
φ(0) =
1 1 1
et
x0(t) =−3x(t) + 2y(t) + 2z(t) y0(t) =−4x(t) + 3y(t) + 4z(t) z0(t) =−z(t).
Que peut-on dire de la trajectoireφ(t) quandt→ ±∞?
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