Soitp:E→E une application R-lin´eaire

UNSA – Compl´ements d’alg`ebre et d’analyse– L2 2009-2010 Examen du 25 janvier 2010

Dur´ee : 2h00. Tous documents interdits.

Barˆeme indicatif : 6 + 6 + 6 + 6 (not´e sur 20)

1. Projecteurs. SoitE unR-espace vectoriel de dimensionn. Soitp:E→E une application R-lin´eaire. On d´esignera par Ker(p) = {v ∈ E|p(v) = 0} le noyau dep, et par Im(p) ={v∈E| ∃w∈E:v=p(w)} l’image dep.

1.a. Montrer quepest injective si et seulement si Ker(p) ={0}.

On suppose dor´enavant que p◦p=p.

1.b. Montrer que Ker(p)∩Im(p) ={0}.

1.c. Montrer qu’on a v−p(v) ∈ Ker(p) pour v ∈ E. En d´eduire l’existence d’une d´ecomposition uniquev=v₁+v₂avecv₁∈Ker(p) etv₂∈Im(p).

1.d. On se donne une base (v1, . . . , vn) de E telle que (v1, . . . , vk) soit une base de Ker(p) et (vk+1, . . . , vn) = (p(wk+1), . . . , p(wn)) soit une base de Im(p).

Quelle est la matrice depdans cette base ? Quelles sont les valeurs propres de p? Comment caract´eriser les cas extr´emauxk= 0 etk=n?

2. S´eries formelles et s´eries num´eriques. On pose s(X) =

∞

X

n=0

s_nXⁿ pours_n=

((−1)^m sin= 2m (m∈N);

(−1)^m sin= 2m+ 1 (m∈N).

2.a. Montrer que s(X) s’identifie `a une fraction rationnelle dansR[[X]] qu’on explicitera. On pourra ´ecrires(X) =a(X)+b(X) aveca(X) =P

m≥0(−1)^mX^2m etb(X) =P

m≥0(−1)^mX^2m+1, puis traitera(X) etb(X) s´epar´ement.

2.b. D´eterminer la primitive des(X) qui s’annule enX= 0, d’abord sous forme de s´erie formelle, ensuite sous forme de fonction de classe C^∞. En d´eduire la somme de la s´erie num´erique

∞

X

n=0

sn

n+ 1 = 1 +1 2 −1

3−1 4 +1

5 +1 6−1

7 −1 8 ± · · ·

= 1 + 1 2·3− 1

4·5 + 1 6·7− 1

8·9 ± · · ·.

2.c. Soit la fraction rationnelle u(X) = ^1−X+4X_1+X3 ² ∈ R[[X]]. Expliciter les coefficients du d´eveloppement en s´erie formelleP

n≥0unXⁿ deu(X).

2.d.Ecrireu(X) sous forme _1+X^α +_1−X+X^β+γX2 pour des coefficientsα, β, γ∈R. En d´eduire une primitive deu(X), puis la somme de la s´erie num´eriqueP

n≥0 u_n n+1.

1

3. Equations diff´erentielles du second ordre.

3.a. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivablesR→R:x7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley⁰⁰(x) +y⁰(x)−2y(x) = (1 +x+x²)e^x. 3.b. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivables R→R : x7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley⁰⁰(x)−4y(x) = 0 (∗).

On rappelle que ch(x) = ^ex+e₂^−x et sh(x) = ^ex−e₂^−x. Les fonctions ch(2x) et sh(2x) font-elles partie des solutions de (*)? Une solution quelconque de (*) s’´ecrit-elle comme combinaison lin´eaire de ch(2x) et de sh(2x) ?

3.c. Donner l’ensemble des fonctions deux fois d´erivables R→ R: x 7→y(x) qui sont solutions de l’´equation diff´erentielley⁰⁰(x)−4y(x) = ^e2x₂ .

Idem poury⁰⁰(x)−4y(x) = ^e−2x₂ et poury⁰⁰(x)−4y(x) = ch(2x).

4. Exponentielle de matrice et ´equation diff´erentielle lin´eaire.

On consid`ere la matriceA=





−3 2 2

−4 3 4

0 0 −1



∈M3(R).

4.a. D´eterminer les valeurs propres deA. En d´eduire une matrice de change- ment de baseP∈Gln(R) telle queP⁻¹AP soit diagonale.

4.b. CalculerP⁻¹ ainsi queexp(tA) pourt∈R.

4.c. Trouver l’unique fonction d´erivableφ:R→R³:t7→



 x(t) y(t) z(t)



qui v´erifie

φ(0) =



 1 1 1



 et







x⁰(t) =−3x(t) + 2y(t) + 2z(t) y⁰(t) =−4x(t) + 3y(t) + 4z(t) z⁰(t) =−z(t).

Que peut-on dire de la trajectoireφ(t) quandt→ ±∞?

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