Sup PCSI 2 — Colles n◦9 et 10 — Quinzaine du 30/11 au 11/12
Les points marqu´es d’un • peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’un ◮ se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 Suites de r´ eels
◮R´evision
2 Groupes
•D´efinition d’un groupe ; exemples.
•Sous-groupes : d´efinition, exemples. Intersection de deux sous-groupes.
•Morphismes de groupes, isomorphismes, automorphismes : d´efinition, exemples.
• Noyau d’un morphisme de groupes ; c’est un sous-groupe ; CNS pour qu’un morphisme de groupes soit injectif.
3 ´ Equations diff´ erentielles du premier ordre
•D´efinition d’une solution sur un intervalleIdeRde l’´equation diff´erentielley′=ϕ(x, y) o`uϕ: I×R7→R.
Notion de condition initiale. Courbes int´egrales.
•◮R´esolution de l’´equation diff´erentielley′+a(x)y= 0, o`uaappartient `aC(I,R) ; structure de l’ensemble des solutions ; existence et unicit´e de la solution v´erifiant une condition initiale (x0, y0)∈I×R; ´ecriture de cette solution au moyen d’une int´egrale.
•◮R´esolution de l’´equation diff´erentielley′+a(x)y=b(x), o`uaetbappartiennent `aC(I,R) ; structure de l’ensemble des solutions. M´ethode dite devariation de la constante.
4 ´ Equations diff´ erentielles lin´ eaires du deuxi` eme ordre
• Equation diff´erentielle´ ay′′+by′+cy= 0, o`u a6= 0, b, csont des complexes : structure de l’ensemble des solutions. ´Etude du cas o`ua,bet csont r´eels.
•◮R´esolution de l’´equationay′′+by′+cy= P
16k6n
Pk(x)eλkxo`u lesPk sont des fonctions polynˆomes et les λk des scalaires : technique de recherche d’une solution particuli`ere.
