Equations diff´ ´ erentielles

(1)

Equations diff´ ´ erentielles

I Questions de cours

1Pourquoi une hypothèse aussi compliquée que “continue, localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable” dans le théorème de Cauchy-Lipschitz?

2 Résoudre l’équation différentiellex⁰(t) + (t²+ 1)x(t) =t²e^−t. 3Montrer que le problème de Cauchy

x⁰ =p

|x|

x(0) = 0 poss`ede une infinit´e de solutions maximales.

4 Soit f : R×R → R de classe C¹, et soit ϕ : ]a;b[→ R une solution de l’équation différentielle x⁰ = f(t, x). On supppose qu’on a b < +∞ et que ϕ⁰ est bornée au voisinage de b. Montrer que ϕn’est pas maximale.

5 Résoudre le système d’équations différentielles

x⁰ =x+y

y⁰ =−x+ 3y avec comme con- dition initiale x(0) = 1, y(0) = 3.

6 Résoudre l’équation différentiellex⁰⁰(t)−x(t) = 2 1 +e^t.

7 Soit ϕ:R →R une solution de l’´equation diff´erentielle x⁰ = 4x²−1. On suppose qu’on a ϕ(3) > ¹₂. Montrer qu’on a ϕ(t)> ¹₂ pour tout t∈R.

8 Soit f : R → R de classe C¹, et soit ϕ : R → R une solution de l’´equation diff´erentielle x⁰ = f(x). On suppose qu’on a ϕ(1) = ϕ(√

3). Montrer que ϕ est p´eriodique.

9 Soit g : R → R continue 2π-périodique. Montrer que l’équation différentielle x⁰⁰(t)−x(t) =g(t) possède une unique solution 2π-périodique.

10 Soient a₀, . . . , an−1 :R →R continues, et soit ϕ: R→R une solution non nulle de l’équation différentielle x⁽ⁿ⁾(t) +an−1(t)x⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +· · ·+a₀(t)x(t) = 0. Montrer que tous les zéros de ϕsont isolés.

II Exercices

Exercice 1 Soit Ω un ouvert de R×Rⁿ, et soit f : Ω → Rⁿ. Montrer que toute solution de l’´equation diff´erentiellex⁰ =f(t, x) se prolonge en une solution maximale.

1

(2)

Exercice 2 (lemme de Gronwall)

Soit I un intervalle de R, et soient w, ϕ :I → R⁺ deux fonctions continues. Soient

´

egalementt₀ ∈I etA≥0.

1 On suppose qu’on a

w(t)≤A+ Z t

t0

ϕ(s)w(s)ds pour toutt ≥t₀. Montrer que pour t ≥t₀, on a

(1) w(t)≤A e

Rt t0ϕ(s)ds

. 2Que devient (1) si on suppose qu’on aw(t)≤A+|Rt

t0ϕ(s)w(s)ds|pour toutt∈I? 3 Quelle in´egalit´e obtient-on si on suppose qu’on a w(t) ≤ A+B|Rt

t0w(s)ds| pour tout t∈I? En déduire la partie “unicité” du théorème de Cauchy-Lipschitz.

Exercice 3 Soit I un intervalle ouvert de R. On considère l’équation différentielle (E) : x⁰ =f(t, x), où f :I×Rⁿ →Rⁿ vérifie les conditions de Cauchy-Lipschitz.

1 On suppose qu’il existe deux applications continuesa, b:I →R⁺ telles que

∀(t, x)∈I×Rⁿ : kf(t, x)k ≤a(t)kxk+b(t).

a Soient x: J → Rⁿ une solution de (E), t₀ ∈J etx₀ =x(t₀). Montrer que pour tout t∈J, on a

kx(t)k ≤ kx₀k+ Z t

t0

b(s)ds+ Z t

t0

a(s)kx(s)kds .

En d´eduire que si K est un compact de I, alors il existe deux constantes A et B telles que kx(t)k ≤Ae^B|t−t⁰^| pour toutt ∈J∩K.

b Montrer que les solutions maximales de (E) sont d´efinies sur I tout entier.

2 V´erifier que 1s’applique dans les cas suivants:

a la fonction f est born´ee;

b la fonction f est lipschitzienne surI ×Rⁿ

c f est de la formef(t, x) =A(t)x+B(t), o`uA:I →M_n(R) et B :I →Rⁿ sont continues.

Exercice 4 (continuit´e par rapport aux conditions initiales)

Soit Ω un ouvert de Rⁿ, et soit f : I×Ω →Rⁿ vérifiant les conditions de Cauchy- Lipschitz (Iintervalle ouvert deR). On note (E) l’équation différentiellex⁰ =f(t, x), et on suppose que toutes les solutions maximales de (E) sont globales, i.e. définies surI tout entier. Pour (t₀, x₀)∈I×Ω, on note Φ_t₀_,x₀ :I →Ω la solution maximale de (E) valant x₀ au point t₀, et on pose Φ(t, t₀, x₀) = Φ_t₀_,x₀(t).

(3)

1 Soit ϕ= Φt0,x0 une solution maximale de (E), et soit J ⊂I un intervalle compact contenant t₀ .

a Montrer qu’il existe r >0 tel queϕ(t) +u∈Ω pour tout u∈B(0, r).

b Montrer qu’il existe une constante k telle que la fonction f estk-lipschitzienne par rapport `a x surJ×B(0, r).

cSoitψ une solution maximale de (E). En utilisant le lemme de Gronwall, montrer que si J⁰ ⊂J est un intervalle tel que ψ(s)−ϕ(s)∈B(0, r) pour tout s ∈J⁰, alors

∀τ, t∈J⁰ : kψ(t)−ϕ(t)k ≤ kψ(τ)−ϕ(τ)ke^k|t−s|.

d Soit ε > 0 fixé, ε < r. En utilisant c, montrer qu’il existe un nombre α > 0 vérifiant la propriété suivante : si ψ est une solution maximale de (E) telle que l’ensemble {τ ∈J; kψ(τ)−ϕ(τ)k< α)} est non vide, alors kψ(t)−ϕ(t)k< ε pour tout t∈J.

2 Montrer que l’application (t, t₀, x₀, t)7→Φ(t, t₀, x₀) est continue sur I×I×Ω.

Exercice 5 Soit I un intervalle ouvert de R, et soit f : I ×Rⁿ → Rⁿ vérifiant les conditions de Cauchy-Lipschitz. On note (E) l’équation différentielle x⁰ =f(t, x). A On suppose qu’il existe une fonction continue F : R⁺ → R strictement positive telle que kf(t, x)k ≤ F(kxk) pour tout x ∈ Rⁿ et R∞

0 ds

F(s) = ∞. Ici, k . k est la norme euclidienne sur Rⁿ.

1 Soit ϕ: J → Rⁿ une solution de (E). On pose r(t) = kϕ(t)k. Montrer que r est d´erivable en tout point t o`u ϕ(t)6= 0, avec r⁰(t)≤F(r(t)).

2 Montrer que les solutions maximales de (E) sont d´efinies sur I tout entier.

B Dans cette partie, on prend n = 1. On suppose que f est de la forme f(t, x) = F(x), o`uF :R→Rest de classeC¹, strictement positive, etR+∞

−∞

ds

F(s) <∞. Montrer que si (t₀, x₀) ∈ R×R, alors l’intervalle de définition de la solution maximale du problème de Cauchy associé à (t0, x0) est J = ]T∗;T^∗[, où

T∗ =t₀− Z x0

−∞

ds

F(s) , T^∗ =t₀+ Z +∞

x0

ds F(s).

Exercice 6 Soit f : Rⁿ → Rⁿ de classe C¹. On suppose qu’il existe une constante C < ∞ et un entier k ∈ N tels que kf(x)k ≤ Ckxk^k pour tout x ∈ Rⁿ. On fixe x₀ ∈Rⁿ, et on consid`ere le probl`eme de Cauchy

x⁰ =f(x) , x(0) =x₀.

1 Montrer que si k ∈ {0; 1}, alors la solution maximale est d´efinie sur R. On supposera d´esormais k ≥2.

2a Pour a >0, déterminer M(a) := sup_r>0 _(r+a)^r k et préciser pour quelle valeur r(a) cette borne supérieure est atteinte.

(4)

2b Soit (s, ξ)∈R×Rⁿ, et soit l >0. Montrer que sil ≤ _C¹ M(kξk), alors l’équation différentiellex⁰ =f(x) possède une solutionϕdéfinie sur [s;s+l] vérifiant ϕ(s) =ξ etkϕ(s+l)k ≤ kξk+r(kξk).

3 Montrer que la solution maximale x est d´efinie au moins sur l’intervalle [0;L[, o`u L= _C¹ ^k−1_k ^k−1 ₁

kx₀k^k−1.

Exercice 7 Soit f : ]A;B[→ R de classe C¹. Pour x₀ ∈]A;B[, on note P(x₀) le probl`eme de Cauchy

x⁰ =f(x) , x(0) =x₀. A Quelle est la solution maximale de P(x₀) si f(x₀) = 0?

B Soit a∈]A;B[ tel quef(a) = 0.

1 On suppose qu’on a x₀ > a et f(x)> 0 pour tout x > a. Soit x: ]T_∗;T^∗[→]A;B[

la solution maximale de P(x₀).

a Montrer qu’on a x(t)> apour tout t et que x est strictement croissante.

b Montrer que limt→T^∗x(t) = B, et qu’on a l’´equivalence T^∗ <+∞ ⇔

Z B

x0

ds

f(s) <∞. c Montrer qu’on a T∗ =−∞ et limt→−∞x(t) = a.

d Dessiner la courbe repr´esentative de x.

2 Traiter rapidement les trois autres cas analogues.

B Soient a₁, a₂ ∈]A;B[ tels que a₁ < a₂ et f(a₁) = 0 = f(a₂). On suppose que f ne s’annule pas dans l’intervalle ]a₁;a₂[. D´ecrire le comportement de la solution maximale de P(x₀) lorsque a₁ < x₀ < a₂.

C Etudier les cas suivants :´ f(x) = x(1−x) ; f(x) = tanx ;f(x) = Logx ;f(x) = arctanx;f(x) = (x²−1) shx.

Exercice 8 Soit f : Rⁿ → Rⁿ localement lipschitzienne, et soit ϕ : I → Rⁿ une solution maximale de l’équation différentielle x⁰ = f(t, x). On suppose qu’il existe deux points distincts t₁, t₂ ∈ I tels que ϕ(t₁) =ϕ(t₂). Montrer que I =R, et que ϕ est périodique.

Exercice 9Soientp(t) =P∞

0 p_ntⁿetq(t) =P∞

0 q_ntⁿdeux fonctions réelles développables en série entière dans un intervalle ]−R;R[. On considère l’équation différentielle

(E) x⁰⁰+px⁰+qx= 0.

1 Soient a0, a1 ∈R. Montrer qu’il existe une unique suite (an)n≥2 telle que la s´erie enti`ere P∞

0 a_ntⁿ soit formellement solution de l’équation (E), et déterminer une relation de récurrence vérifiée par les coefficients a_n.

(5)

2 Montrer que pour toutr ∈]0;R[, il existe une constanteC =Cr <∞telle que (n+ 2)(n+ 1)|p_n| ≤ C

rⁿ⁻¹ , |q_n| ≤ C rⁿ pour tout n∈N.

3 Soient r ∈]0;R[, n ∈ N et M > 0. On suppose qu’on a |a_i| ≤ M r⁻ⁱ pour tout i∈ {0;. . .;n+ 1}. Montrer que si _n+2^2C^r ≤ _r¹2, alors |a_n+2| ≤M r⁻ⁿ⁻².

4 Montrer que pour a₀, a₁ ∈ R donnés, l’équation (E) possède une unique solution ϕ: ]−R;R[→Rvérifiantϕ(0) =a₀,ϕ⁰(0) =a₁, et que cette solution est développable en série entière dans ]−R;R[.

Exercice 10 (Séries majorantes) On considère l’équation différentielle

2xy⁰ =y²+g(x)y−1, (E)

où x(t) est une fonction définie par la série entière g(x) = a₂x²+a₃x³+· · ·a_nxⁿ+

· · · convergente dans le disque {|x| < R}. Montrer qu’il existe une solution de (E), telle que y(0) = 1, y⁰(0) = b, (b étant un nombre arbitraire), et qui soit développable en série entière convergente dans un voisinage de 0. On comparera l’équation différentielle (E) à l’équation algébrique :

2y=y²+G(x)(1 +y²).

Exercice 11SoitA:R→M_n(C) une application continue, p´eriodique de p´eriodeω.

Montrer qu’il existe un nombre complexeλtel que l’équation différentiellex⁰ =A(t)x possède une solution non nulle ϕ : R → Cⁿ vérifiant ϕ(t+ω) = λ ϕ(t) pour tout t∈R.

Exercice 12 Soit A : R → M₂(C) une application continue et 2π-périodique. Soit (Y₁, Y₂) une base de solutions (à valeurs complexes) de l’équation différentielleY⁰(t) = A(t)Y(t). Montrer qu’il existe B ∈M₂(C) telle que l’application

ψ :t→(Y₁(t), Y₂(t)) exp(tB) est 2π–p´eriodique.

Exercice 13 (exponentielles-polynˆomes)

A Soient a₀, . . . , a_n ∈ C avec a_n 6= 0. Soit également P un polynôme à coefficients complexes, et soit λ∈C. On considère l’equation différentielle

(2) a_nx⁽ⁿ⁾+· · ·+a₁x⁰+a₀x=P(t)e^λt.

(6)

1 Soit u :R → C de classe Cⁿ. Montrer que ϕ(t) = u(t)e^λt est solution de (2) si et seulement si

n

X

i=0

R⁽ⁱ⁾(λ)

i! u⁽ⁱ⁾ =P , o`uR(t) = Pn

0 a_kt^k.

2 On suppose que λ est racine de R(t) =Pn

0 a_kt^k avec multiplicit´e m ∈ {0;. . .;n}.

Montrer que l’équation (2) possède une solution de la forme ϕ(t) = t^mQ(t)e^λt, où Q est un polynôme et deg(Q)≤deg(P).

B1 Déterminer les solutions réelles de l’équation différentielle x⁰⁰⁰−x⁰⁰+ 4x⁰ −4x= (t²+ 1)cht.+ sin(3t).

B2 Déterminer la solution de l’équation différentielle x⁰⁰⁰−3x⁰+ 2x=te^−2tvérifiant les conditions initiales x(0) =x⁰(0) =x⁰⁰(0) = 1.

Exercice 14 Soit a >0. Résoudre sur ]−1; 1[ l’équation différentielle (1−t²)x⁰⁰−tx⁰−a²x= 0.

Exercice 15 Soit g :R→Rcontinue. On d´efinitϕ:R→Rpar ϕ(x) =

Z x

0

sin(x−t)g(t)dt .

Montrer que g est solution de l’´equation diff´erentielle y⁰⁰+y=g.

Exercice 16 Pour x∈R, on pose u(x) =

Z ∞

0

e^−tsintxdt

√t, v(x) = Z ∞

0

e^−tcostxdt

√t.

Montrer que u et v sont solutions de classe C¹ d’un système différentiel de premier ordre. En déduire les valeurs de uet v.

Exercice 17 Soit ω > 0. Résoudre sur ]0;∞[ l’équation différentielle tx⁰⁰+ 2x⁰ + ω²tx= 0.

Exercice 18 Montrer que l’´equation diff´erentielle x⁰⁰−2x⁰+x = ^√¹

πt poss`ede une unique solution sur ]0;∞[ qui se prolonge en une application de classeC¹ sur [0;∞[

v´erifiant x(0) =x⁰(0) = 0.

Exercice 19 (Bernoulli, Riccati)

(7)

A Soient p, q : I → R continues, et soit α ∈ R\ {1}. Montrer que si x est une solution strictement positive de l’´equation de Bernoulli

x⁰ =p(t)x+q(t)x^α

alors z =x^1−α est solution d’une équation différentielle linéaire à expliciter.

B On considère une équation de Riccati, i.e. une équation différentielle du type y⁰ =a(t)y²+b(t)y+c(t),

où a, b, c : I → R sont des fonctions continues. On suppose qu’on connait une solution particulière ϕ₀. Montrer qu’une fonction du typey =ϕ₀+xest solution de cette même équation si et seulement si x est solution d’une équation de Bernoulli à expliciter.

CRésoudre l’équation différentielle (1−t³)y⁰+y²+t²y−2t= 0. On pourra commencer par chercher une solution polynomiale de degré 2.

Exercice 20 On consid`ere l’ ´equation:

t²(1−t)x⁰⁰+ 2t(2−t)x⁰+ 2(1 +t)x=t²

1 Intégrer cette équation dans chacun des intervalles où t²(1−t) ne s’annule pas.

On remarquera que t⁻² est solution de l’ équation homogène associée.

2 Y a-t-il des solutions d´efinies sur tout R?.

Exercice 21 Résoudre l’équation différentielle 3y⁰⁰(z) +zy(z) = 0 (z ∈ C). On cherchera par exemple des solutions sous forme d’intégrales de contours

y(z) = Z

γ

e^zξu(ξ)dξ L’´equation admet-elle des solutions fonctions enti`eres?.

Exercice 22 (Wronskien)

Soit I un intervalle de R, et soit A : I → M_n(C) une application continue. Soient

´

egalement x₁, . . . , x_n des solutions de l’équation différentielle x⁰ = A(t)x. On pose w(t) = det(x₁(t), . . . , x_n(t)). Montrer que w est solution de l’équation différentielle w⁰(t) = [trA(t)]w(t) et en déduire l’expression dew.

Exercice 23 Soit q :R⁺→R une fonction continue telle que R∞

0 |q(t)|dt < ∞. On note (E) l’´equation diff´erentiellex⁰⁰+q(t)x= 0.

1Montrer que si ϕ:R⁺ →Rest une solution born´ee de (E), alors lim_t→∞ϕ⁰(t) = 0.

(8)

2 Montrer que si ϕ1 etϕ2 sont deux solutions de (E), alors leur Wronskienw(t) est constant.

3 Montrer que (E) poss`ede des solutions non born´ees.

Exercice 24 Soit (f, g) une base de solutions de l’équation différentielle homogène:

x⁰⁰(t) +p(t)x⁰(t) +q(t)x(t) = 0

oùp, q sont des fonctions continues sur un intervalle ouvert I =]a, b[ de R. 1 Prouver que les zéros de f sont isolés.

2 en considérant le wronskien W(t) = f(t)g⁰(t)−f⁰(t)g(t), prouver qu’entre deux zéros consécutifs de f, il y a un zéro unique deg.

Exercice 25 Soient r, s deux fonctions continues à valeurs réelles définies sur un intervalle I de R. On suppose qu’on a s(t) ≥ r(t) pour tout t ∈ I. Soient x une solution non nulle de l’équation x⁰⁰ + r(t)x = 0, et y une solution non nulle de l’équationy⁰⁰+s(t)y= 0.

1 Soient t1, t2 deux zéros consécutifs de x. prouver qu’il existe dans ]t1;t2[ un zéro dey sauf si dans ]t1, t2[ les fonctions x et y sont proportionnelles.

2 On suppose que r(t)≤0 pour tout t∈I. prouver que toute solution non nulle de x⁰⁰+r(t)x= 0 a au plus un z´ero dans I.

3 Soit µ > 0. On suppose que pour tout t ∈ I, r(t) ≤ µ². Soient t₁, t₂ deux zéros consécutifs d’ une solution non nulle de x⁰⁰+r(t)x= 0. Prouver que t₂ ≥t₁+ ^π_µ. On suppose que pour tout t ∈I, r(t)≥ λ², λ >0. Soit t₁ ∈I tel quet₁+ ^π_λ ∈ I, prouver que toute solution de x⁰⁰+r(t)x= 0 a au moins un zéro dans ]t1, t1 +^π_λ[.

3 Etudier les z´´ eros des solutions de l’´equation:

x⁰⁰+ 1 tx⁰+

1− α²

t²

x= 0 d´efinies sur ]0; +∞[.

Exercice 26 Soit I un intervalle de R et soitq :I →Rde classe C²

1 Montrer que si x :I → R est solution de x⁰⁰ =q(t)x, alors z =x² est solution de l’´equation diff´erentielle

(3) z⁰⁰⁰ = 4q(t)z⁰+ 2q⁰(t)z .

2 Montrer que si (x₁, x₂) est une base de solutions de x⁰⁰ =q(t)x, alors (x²₁, x₁x₂, x²₂) est une base de solutions de (3).

Exercice 27 (champ magn´etique)

(9)

Une particule de masse m et de charge electrique q se déplace dans un champ magnétique constant B. En notant~ V~ le vecteur vitesse de la particule et ~γ = ^d~_dt^V son accélération, on sait bien (...) que V~ et~γ sont reliés par l’equation

m~γ =q ~V ∧B .~

1Soit A:R³ →R³ l’application linéaire définie parA ~X = _m^qX~ ∧B. V´~ erifier que A² est donnée par

A²X~ =−q m

2

kBk~ ²pB(X)~ ,

o`uk.k est la norme euclidienne et p_B est la projection orthogonale sur le plan B~^⊥. En d´eduire A^2p et A^2p+1 pourp∈N.

2 En notant M0 la position de la particule à l’instant t= 0, V~0 sa vitesse initiale et M sa position à l’instant t, déterminer l’expression du vecteur −−−→

M₀M. 3 D´ecrire le mouvement de la particule.

Exercice 28SoitE un espace de Banach etA :R→ L(E) une application continue, telle que

Z ∞

0

kA(u)kdu < ∞. Montrer que toute solution du syst`eme diff´erentiel dx

dt =A(t)x est born´ee sur R⁺ et a une limite en +∞.

Exercice 29 Soit E un espace vectoriel de dimension n et soit A : R → L(E), continue et born´ee sur R. On note M = sup_t∈_RkA(t)k. Soitϕ: R→E solution de x⁰ =A(t)x etλ∈R.

1 Ecrire l’équation différentielle linéaire vérifiée par ψ_λ :t →e^−λtφ(t).

2 Montrer que ν(t) =kψ_λ(t)k² est d´erivable en tout point et que

∀t∈R : −(M +λ)ν(t)≤ 1

2ν⁰(t)≤(M −λ)ν(t).

3 Montrer que

I ={λ; lim

t→∞ψ_λ(t) = 0} et J ={λ; lim

t→∞kψ_λ(t)k=∞}

sont non vides et sont des intervalles de R.

Exercice 30Soit A:R→Mn(R) une application continue, et soitM :R→Mn(R) une solution de l’´equation diff´erentielleX⁰ =A(t)X. On suppose que la matriceA(t) est orthogonale pour tout t ∈ R, et que la matrice M(0) est orthogonale. Montrer que M(t) est orthogonale pour tout t∈R.

(10)

Exercice 31 (r´esolvante)

Soit E un espace de Banach, et soit A :I → L(E) une application continue sur un intervalle I ⊂R. A l’équation différentielle linéaire

dx

dt =A(t)x

d’inconnue x:I −→E on associe une autre ´equation diff´erentielle dX

dt =A(t)◦X

définissant X : I −→ L(E). Si t₀ ∈ I, la résolvante de la première équation au point t₀ est la solution maximale R(t, t₀) de la seconde vérifiant R(t₀, t₀) = Id_E. Si x₀ ∈ E, la solution maximale x(t) de la première équation vérifiant x(t₀) = x₀ est alors donnée par

x(t) = R(t, t₀)·x₀.

1 V´erifier que pour tous t₁, t₂, t₃ ∈I, R(t₁, t₂)◦R(t₂, t₃) =R(t₁, t₃).

2 Montrer qu’ une solution de l’équation non homogène ^dx_dt = A(t)x+g(t), où g : I →E est continue, est

x(t) =R(t, t₀)·x₀+ Z t

t0

R(t, u)·g(u)du.

Donner alors la forme générale des solutions de l’équation.

3 Expliciter le cas o`u E =Rⁿ et o`u A:I →Mn(R) est constante.

Exercice 32 (exponentielles)

1 Soit Φ : R−→ M(C) de classeC¹, on suppose que Φ(t) et Φ⁰(t) commutent pour tout t∈R. Montrer que l’application t 7→exp Φ(t) est d´erivable, avec

d

dtexp Φ(t) = Φ⁰(t) exp Φ(t).

2 Soitϕ:R−→ M(C) continue , p´eriodique de p´eriode ω, on suppose que ϕadmet une primitive Φ :R−→ M(C) avec Φ(0) = 0, telle que Φ(t) etϕ(t) commutent pour tout t∈R. Montrer qu’ il existe A∈ M(C) telle que

exp Φ(t+ω) = exp Φ(t)×A.

3 Expliciter exp Φ(t) et A pour φ(t) =

cost 1 1 cost

4 Déterminer les solutions du système différentiel x⁰

y⁰

=φ(t) x

y

(11)

telles que x(t + 2π) = λx(t), y(t + 2π) = λy(t) et d´eterminer les valeurs de λ correspondantes.

Exercice 33 On munit Rⁿ de la norme kxk = Pn

1 |x_i|, et M_n(R) de la norme kAk= sup_j(P

i|a_ij|). SoitA(t) = (a_ij) une matrice `a coefficients fonctions continues d´efinie sur un intervalleI = [a, b], telle que

∀j, ∀t ∈I a_jj + X

1≤i≤n, i6=j

|a_ij(t)| ≤ −δ.

On consid`ere l’equation diff´erentielle (E) : dx

dt =A(t).x

1Montrer que toute solution de (E) satisfait, poura ≤s≤t≤b, l’in´egalit´e suivante:

kx(t)k ≤e−δ(t−s)kx(s)k

2 En déduire qu’une matrice résolvante associée à l’équation (E) vérifie

∀s, t, a≤s≤t≤b kX(t)X⁻¹(s)k ≤e^−δ(t−s).

Exercice 34 On consid`ere une matrice A₀ ∈ M_n(C) diagonalisable, de valeurs propres toutes imaginaires pures, et A : R⁺ −→ M_n(C) une application continue telle que l’int´egrale

Z ∞

0

kA(t)−A0kdt soit convergente.

Montrer que X(t), matrice r´esolvante solution de dX

dt = A0X avec X(0) = In, est born´ee surR⁺ et qu’`a toute solutionx:R⁺ −→Cⁿ de dx

dt =A(t)x on peut associer c∈Cⁿ tel que

t→+∞lim kx(t)−X(t)ck= 0.

Exercice 35 Soit a une fonction continue et bornée sur R, et soit k > 0. Montrer que l’équation différentielle x⁰−kx=a admet une unique solution bornée.

Exercice 36 D´eterminer f :R² −→Rde classe C¹ telle que x²+y²+f(x, y)

x∂f

∂x +y∂f

∂y

= 0.

Que dire de l’´equation

−(x²+y²) +f(x, y)

x∂f

∂x +y∂f

∂y

= 0?

(12)

Exercice 37 Soit q ∈ C¹(R, R). On suppose qu’ il existe t0 > 0 tel que q(x) >

0, q⁰(x) > 0 pour t ≥ t₀. Montrer que toute solution de l’´equation x⁰⁰+qx = 0 est born´ee au voisinage de l’infini.

Exercice 38 Soit f :R⁺ −→R de classeC¹ telle que

t→∞lim(f(t) +f⁰(t)) = 0.

1 Que dire de limt→∞f(t)?

2 Que se passe t-il si on supose plutot limt→∞(f(t)−f⁰(t)) = 0?

Exercice 39 Soient ]a, b[ un intervalle de R et f : ]a, b[×Rⁿ −→ Rⁿ, une fonction continue, localement Lipschitzienne enx. Soitϕune solution maximale de l’équation différentielle x⁰(t) =f(t, x(t)) définie dans l’intervalle ]u, v[. Prouver que

u6=a=⇒ lim

t→u,t>ukϕ(t)k= +∞, u6=b=⇒ lim

t→v,t<vkϕ(t)k= +∞, Exercice 39,5 (principe de comparaison)

A Soient f, g :R×R→R deux fonctions continues telles que f(t, x)< g(t, x) pour tout (t, x) ∈ R×R. Montrer que si ϕ : I → R et ψ : I → R sont respectivement solution de ϕ⁰ = f(t, ϕ) et ψ⁰ = g(t, ψ), et si ϕ(t₀) = ψ(t₀) pour un certain t₀ ∈ I, alors ϕ(t)< ψ(t) pour t > t₀ etϕ(t)> ψ(t) pour t < t₀.

B1 Soientt0 >0 etγ >0. D´eterminer la solution maximale du probl`eme de Cauchy x⁰ =γ²+x² , x(t₀) = 0.

B2 Soit t₀ >0, et soit ϕ: ]a;b[→R la solution maximale du probl`eme de Cauchy x⁰ =t+x² , x(t₀) = 0.

a En utilisantA, montrer qu’on a b <+∞.

b Montrer que si a >0, alors ϕ(t) tend vers −∞quand t →a⁺. c Montrer que sit₀ >3, alors a >0.

d Montrer que b−t₀ ett₀ −a sont ´equivalents `a π

2t^−1/2₀ quand t₀ →+∞.

Exercice 40 (barri`eres)

A Soit f : R×R → R continue. On note (E) l’´equation diff´erentielle x⁰ = f(t, x).

On dit qu’une fonction α : I → R de classe C¹ est une barrière inférieure (stricte) pour l’équation (E) si on aα⁰(t)< f(t, α(t)) pour toutt ∈I. On définit de même les barrières supérieures. Montrer que siαest une barrière inférieure pour (E) et siϕest

(13)

une solution de (E) telle queϕ(t0)≥α(t0) pour un certain t0 ∈R, alorsϕ(t)> α(t) pour tout t > t₀. Donner l’énoncé analogue pour les barrières inférieures.

BSoit ϕla solution maximale de l’équation différentiellex⁰ =x²−t vérifiantϕ(4) =

−2. Montrer que ϕ est d´efinie au moins sur [4;∞[ et que son graphe est asymptote au graphe de la fonction t7→ −√

t.

Exercice 41 On considère l’équation différentielle (E) :x⁰ =x²−t.

1 Soit (I, φ) une solution maximale de E d´efinie en 0. Montrer que φ(0) >1 =⇒ ∀t∈R⁺∩I : φ(t)>√

t+ 1 et

φ(0)<0 =⇒ ∀t∈R⁺∩I : φ(t)<√ t

2 Soit s > 0 et (I, φs),(J, θs) les solutions maximales de (E) telles que φs(s) =

√s+ 1, θ_s(s) =√

s. Montrer que 0∈I∩J. Etudier les variations des applications s→φ_s(0) et s→θ_s(0) .

Exercice 42 Soit Ω ={(t, x)∈R²; |tx|<1}. On considère l’équation différentielle (E) : x⁰ =f(t, x), où f : Ω→Rest définie par

f(t, x) = 1 1−x²t² .

1 Soit ϕ: I → R une solution de (E). Montrer que ϕ est strictement croissante et qu’on a |ϕ(t)| ≥ |t −t₀| − |ϕ(t₀)| pour t₀, t ∈ I. En d´eduire que l’intervalle I est born´e.

2 Soit ϕ: ]α;β[→R la solution maximale de (E) v´erifiant ϕ(0) = 0.

aMontrer que ϕpeut être prolongée par continuité au pointβ. En notant encore ϕ le prolongement, montrer que le graphe de ϕ possède une tangente verticale au point (β, ϕ(β)).

b En consid´erant ψ(t) = −ϕ(−t), montrer qu’on a α =−β et que la fonction ϕ est impaire.

c Montrer que ϕest convexe sur ]0;β[ et concave sur ]−β; 0[.

d Donner l’allure du graphe de ϕ.

3 Soit ϕ: ]α;β[→R une solution maximale de (E).

a Montrer que ϕs’annule en un unique pointt₀.

bSoitθ : [t₀; 0[→Rla fonction d´efinie parθ(t) = t^1/3−¹_t. Montrer que sit₀ ≥ −1, alors (t, θ(t))∈Ω pour tout t∈[t₀; 0[ et θ⁰(t)> f(t, θ(t)).

c Montrer que sit0 <−2√

2, alors β = 0 et limt→0⁻ϕ(t) = +∞.

Exercice 43 On considère le système différentiel (S) :

x⁰ =x(y−2) y⁰ =y(3−x)

(14)

On se donne un point M0(x0, y0) tel que 0 < x0 < 3 et y0 > 2. Soit t 7→ M(t) = (x(t), y(t)) la solution maximale de (S) telle que M(t₀) = M₀. On note α la borne supérieure de l’intervalle de définition de cette solution. Si pour tout t ∈ [t₀, α[, on a x(t) < 3 on pose t₁ = α, sinon on note t₁ la borne inférieure de l’ensemble des t∈[t₀, α[ tels quex(t)≥3.

1 Montrer que t₁ < α et que x(t₁) = 3.

2 Poursuivre l’´etude de la solution.

Exercice 44 (quicksort)

Soit (a_n)n∈N la suite d´efinie par a₀ = 0 et la r´ecurrence a_n=n−1 + 2

n

n−1

X

k=0

a_k.

1 Montrer que la s´erie enti`ere P

n≥0a_ntⁿ est formellement solution de l’´equation diff´erentielle

(4) x⁰(t) = 2t

(1−t)² + 2t²

(1−t)³ +2x(t) 1−t . 2 D´eterminer la solution maximale de (4) v´erifiant x(0) = 0.

3 D´eterminer l’expression de an en fonction deHn=Pn 1 1

k. Conclure qu’on a a_n =O(nLogn)

quand n → ∞.

Exercice 45 (pendule)

Soit θ₀ ∈]0;π[, et soit θ la solution maximale de l’´equation diff´erentielle θ⁰⁰(t) =−sinθ(t)

v´erifiant les conditions initiales θ(0) =θ₀, θ⁰(0) = 0.

1 Montrer que θ est d´efinie sur R.

2 Montrer que E(t) = ¹₂θ⁰(t)²−cosθ(t) est constante sur R. 3a Montrer qu’il existe unt >0 tel que |θ(t)|=θ0.

3b On pose T = inf{t > 0; |θ(t)| = θ₀}. Montrer qu’on a θ(T) =−θ₀, puis que θ est p´eriodique de p´eriode 2T.

4 Exprimer la p´eriode de θ en fonction de θ₀.

III Probl` emes

Probl`eme 1 (choses de base)

(15)

Soit Ω un ouvert de R× Rⁿ, et soit f : Ω −→ Rⁿ une application continue, localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable. On note (E) l’équation différentielle x⁰ = f(t, x), et pour (t₀, x₀) ∈ Ω, on note P(t₀, x₀) le problème de Cauchy correspondant.

A Montrer par l’absurde que pour tout compact L⊂ Ω, la restriction de f `a L est lipschitzienne par rapport `a la seconde variable.

B (Version pr´ecise de Cauchy-Lipschitz)

Soit (t₀, x₀)∈ Ω, et soientε > 0,r > 0 tels que C := [t₀−ε;t₀+ε]×B(x₀, r)⊂Ω.

On pose M = sup{kf(t, x)k; (t, x) ∈ C}. Enfin, on pose l = min(ε,_M^r ). En appliquant convenablement le théorème du point fixe, montrer que le problème de Cauchy P(t₀, x₀) possède une unique solutionx définie sur [t₀−l;t₀+l] et à valeurs dans B(x₀, r).

C (th´eor`eme des bouts)

Soitϕ: ]a;b[→Rⁿune solution maximale de (E). Dans cette partie, on veut montrer que “(t, ϕ(t)) finit par sortir de tout compact de Ω”. De fa¸con précise, on veut établir le résultat suivant : pour tout compact K ⊂Ω, l’ensemble {t∈]a;b[; (t, ϕ(t))∈ K}

est un compact de ]a;b[.

1 Soit K un compact de Ω. En utilisantB, montrer qu’il existe des constanter >0 et α >0 telles que pour tout (t₀, x₀)∈K, on a [t₀ −α;t₀+α]×B(x₀, r)⊆ Ω et le probl`eme de CauchyP(t₀, x₀) admet une solution d´efinie sur [t₀−α;t₀+α].

2 On raisonne par l’absurde en supposant que le r´esultat souhait´e est faux pour un certain compact K ⊂Ω.

a Montrer qu’il existe une suite (t_n) ⊂]a;b[ convergeant vers a ou b telle que (t_n, ϕ(t_n))∈K pour tout n∈N.

b En utilisant1, montrer que cela contredit la maximalit´e de x.

D1 On suppose que Ω est de la forme I×Rⁿ, o`uI = ]A;B[ est un intervalle ouvert deR. Soit ϕ: ]a;b[→Rⁿ une solution maximale de (E). Montrer que si b < B, alors limt→bkϕ(t)k= +∞, et si a > A, alors limt→akϕ(t)k= +∞.

D2On suppose qu’on a n= 1 et que Ω est de la forme R×]C;D[, oùC, D ∈R. On suppose également quef ne dépend pas de t et quef est strictement positive sur Ω.

D´ecrire le comportement des solutions maximales de (E).

Problème 2 (théorème de Böcher)

A Soit A ∈ M_n(C), et soit B : R⁺ → M_n(C) continue. Soit également a ∈ R⁺. Montrer qu’une application continue x:R⁺ est solution de l’équation différentielle

(5) x⁰ = (A+B(t))x

(16)

si et seulement si il existe un vecteur w∈Cⁿ tel que x(t) = e^tAw+

Z t

a

e^(t−s)AB(s)x(s)ds .

B On considère l’équation différentielle (5), la matrice Aétant supposée diagonalisable. On suppose également qu’on a R∞

0 kB(t)kdt <∞.

1 Soit λ une valeur propre de A, de partie réelle σ. On note V₁ le sous-espace de Cⁿ engendré par les vecteurs propres de A associés aux valeurs propres µ vérifiant Re(µ)< σ, et V₂ le sous-espace engendré par les autres vecteurs propres. Enfin, on note P₁ et P₂ les projecteurs associés.

a Montrer qu’il existe deux constantes δ >0 et C <∞ telles que kP₁e^tAk ≤Ce^(σ−δ)t , kP₂e^−tAk ≤Ce^−σt pour tout t∈R⁺.

b Soit v ∈Cⁿ un vecteur propre de A associé àλ, et soita ∈R⁺. On définit une suite d’applications x_k :R⁺→Cⁿ par x₀(t) =e^λtv et

x_k+1(t) =e^λtv+ Z t

a

P₁e^(t−s)AB(s)x_k(s)ds− Z ∞

t

P₂e^(t−s)AB(s)x_k(s)ds . Justifier la d´efinition et montrer que si a est assez grand, alors

kx_k+1(t)−x_k(t)k ≤ 1

2^k+1 e^σtkvk pour tout t≥a.

3 Soit v un vecteur propre de A, et soit λ la valeur propre associée. Montrer que l’équation (1) possède une solutionx telle que limt→∞e^−λtx(t) =v.

4Soit (v₁, . . . , v_n) une base de vecteurs propres pourA, et soientx₁, . . . , x_n associ´ees auxv_icomme dans3. Montrer que (x₁, . . . , x_n) est une base de solutions de l’´equation (5).

CSoit q :R⁺ →R une fonction continue telle queR∞

0 |q(t)|dt <∞. Montrer que si x est une solution de l’´equation diff´erentielle x⁰⁰+ (1 +q)x = 0, alors il existe deux constantesα, β ∈Rtels quex(t)−(αcost+βsint) admet une limite quand t→ ∞.

Problème 3 (inversion locale et équations différentielles)

Soit I un intervalle ouvert de R et soit p : I → R une application de classe C¹ strictement croissante et surjective. Le but du problème est de montrer que sig :R→ Rest une fonction continue, 2π-périodique, alors il existe une fonction y:R→Rde classe C¹, 2π-périodique, à valeurs dans I, telle que y⁰+p◦y =g.

Dans toute la suite, on noteraC_2π⁰ l’espace des fonctions continues 2π-périodiques de R dans R, muni de la norme || . ||_∞, etC_2π¹ l’espace des fonctions 2π-périodiques de classe C¹, muni de la norme définie par ||y||=||y||_∞+||y⁰||_∞.

(17)

0 Montrer que C_2π⁰ et C_2π¹ sont des espaces de Banach.

1 Montrer que U ={y∈ C_2π¹ ; y(t)∈ I pour toutt∈ R} est un ouvert deC_2π¹ . Dans la suite, on note Φ :U → C_2π⁰ l’application d´efinie par

Φ(y) = y⁰+p◦y .

2a Montrer que l’application Φ est différentiable en tout point et déterminer sa différentielle.

2b Soit α : R → R une fonction continue 2π-p´eriodique v´erifiant R2π

0 α(t)dt 6= 0.

Montrer que pour toute fonction v ∈ C_2π⁰ , il existe une unique fonction u ∈ C_2π¹ v´erifiant u⁰+αu=v.

2c D´eduire de a et b que Φ(U) est un ouvert deC_2π⁰ . 3a Montrer que siy ∈ U, alors kp◦yk∞ ≤ kΦ(y)k∞.

3bSoit (y_n) une suite d’éléments deU. On suppose que la suite (Φ(y_n)) converge dans C_2π⁰ vers une fonction g. En utilisant a, montrer que les fonctions y_n prennent leurs valeurs dans un compact fixe K ⊂I. En déduire que la suite (y_n⁰) est uniformément bornée.

3c D´eduire de b que Φ(U) est une partie ferm´ee de C_2π⁰ . 4 Conclure.

Problème 4 (zéros des polynômes de Legendre)

Pour n∈N^∗, on définit len-ième polynôme de Legendre Ln par la formule L_n = dⁿ

dXⁿ (X²−1)ⁿ .

A Par définition, le polynôme L_n est de degré n. Le but de cette partie est de montrer que L_n possède n racines distinctes dans l’intervalle ]−1 ; 1[.

1 Montrer qu’on aR1

−1P(t)L_n(t)dt= 0 pour tout polynôme P de degré strictement inférieur àn.

2SoitLun polynôme à coefficients réels, soitIun intervalle deR, et soitkle nombre de points deIoùLs’annule en changeant de signe. Montrer qu’il existe un polynôme P de degré k tel que P(t)L(t)≥0 pour tout t ∈I.

3 Conclure `a l’aide de 1 et2.

Dans la suite, on notera x_1,n < ... < x_n,n les zéros du polynôme L_n. Pour tout intervalle J ⊂ R, on notera Nn(J) le nombre de zéros de Ln appartenant à J. Le but de la suite du problème est d’étudier le comportement asymptotique de Nn(J) quand n tend vers l’infini.

(18)

B Soit I un intervalle deR. Si q :I →Rest une application continue, on note (Eq) l’´equation diff´erentielle

y⁰⁰+qy= 0.

1 Soient q₁, q₂ :I →Rcontinues. Pour i= 1,2, soit y_i une solution de (E_q_i).

a On poseW =y₁y₂⁰ −y₂y⁰₁. ExprimerW⁰ en fonction de q₁, q₂, y₁, y₂.

b Soient α , β ∈ I, α < β. On suppose qu’on a y₁(α) = y₁(β) = 0 et que y₁ et y₂ sont strictement positives sur ]α;β[.

(i) Montrer qu’on a W(α)≤0≤W(β).

(ii) En d´eduire que si q₁ ≤ q₂ sur ]α;β[, alors y₁ et y₂ sont proportionnelles sur [α;β].

c On suppose qu’on a q₁(t) ≤q₂(t) pour tout t ∈I. Montrer qu’entre deux zéros consécutifs de y1, il y a au moins un zéro de y2.

2 Soit q : I → R continue vérifiant m ≤ q ≤ M, où m et M sont des constantes strictement positives. En utilisant 1c, montrer que si y est une solution de (E_q) et si α, β sont deux zéros consécutifs de y, alors

√π

M ≤β−α≤ π

√m .

CSoit n∈N^∗.

1Montrer queL_nest solution de l’équation différentielle (1−t²)y⁰⁰−2t y⁰+n(n+1)y= 0. On pourra commencer par observer que le polynôme Q = (X² − 1)ⁿ vérifie (X²−1)Q⁰ = 2nXQ.

2 Pour t ∈]−1 ; 1[, on pose ˜L_n(t) = √

1−t²L_n(t). Montrer que ˜L_n est solution d’une équation différentielle du type (E_q_n), où la fonction q_n est à expliciter.

D Soit J = [a;b] un intervalle compact de R.

1Montrer qu’on aq_n(t)≥n(n+ 1) pour toutt ∈]−1 ; 1[ et pour toutn. En d´eduire,

`

a l’aide de B et C, qu’on a

n→∞lim Max{x_k+1,n−x_k,n; 1≤k ≤n−1}= 0.

2a Soit β₀ ∈[0 ; 1[. Montrer qu’il existe un entier N vérifiant la propriété suivante : si 0≤α ≤β≤β₀, alors

n²

1−α² ≤q_n(t)≤ (n+ 1)² 1−β² pour tout n≥N et pour tout t∈[α;β].

2b On suppose que J est contenu dans [0 ; 1[. Pour tout entier n ∈ N^∗, on pose Λ_n ={k; x_k,n ∈J}. D´eduire de a que si n est assez grand, alors

π

n N_n(J)≥ X

k∈Λn

x_k+1,n−x_k,n q1−x²_k,n

,

(19)

π

n+ 1N_n(J)≤ X

k∈Λn

x_k+1,n−x_k,n q

1−x²_k+1,n

·

3 Montrer qu’on a

n→∞lim

N_n(J)

n = 1

π(Arcsin(b)−Arcsin(a)). Problème 5 (théorème de Peano)

Dans tout l’exercice, X est un espace de Banach réel. On fixe un intervalle I = [t0;t0 + α] ⊂ R, un point x0 ∈ X, et un nombre r > 0. On note Br la boule B(x₀, r)⊂X, et on considère une application continue bornéef :I×B_r →X. On s’intéresse au problème de Cauchy suivant, noté (P) :

x⁰(t) = f(t, x(t)) x(t₀) =x₀

On rappelle qu’une fonction continue x:I →B_r est solution de (P) si et seulement si elle v´erifie

x(t) = x₀+ Z t

t0

f(s, x(s))ds pour tout t∈I.

ADans cette partie, on suppose queXest de dimension finie. On poseraM =kfk∞, et on supposera qu’on aM α≤r. On veut montrer que le problème (P) possède au moins une solution (théorème de Peano).

1 Soit n ∈ N^∗. Montrer qu’il existe une fonction continuex_n : [t₀− ^α_n;t₀+α]→ B_r vérifiant les propriétés suivantes :

(a) x_n(t) = x₀ pour toutt∈[t₀−^α_n;t₀];

(b) ∀t∈I x_n(t) =x₀+ Z t

t0

f s, x_n(s− ^α_n) ds.

2Montrer que pour toutn∈N^∗, la fonctionx_nestM-lipschitzienne sur [t₀−^α_n;t₀+α].

3 Démontrer le résultat souhaité.

B Y a-t-il toujours unicit´e au probl`eme de Cauchy (P)?

C Dans cette question, on prend X =c₀(N), l’espace des suites (x_n)∈ R^N tendant vers 0, muni de la norme k . k∞. Le point x₀ ∈ X se notera plutˆot a = (a_n), pour

´

eviter les confusions. Soit f : [0 ;α]× Br → X d´efinie par f(t,(xn)) = (p

|xn|).

Montrer que sia_n>0 pour une infinité d’indicesn, alors le problème de Cauchy (P) ne possède aucune solution.

(20)

Problème 6 On considère l’équation différentielle

x(1−x)y⁰⁰+ 3y⁰ −6y= 0, (1)

1 Montrer que (1) admet, au voisinage de l’origine, une solution polynˆome du trois`ıeme degr´e et la solution 1

(1−x)².

2 a Ecrire la résolvante R(x, x₀), pour x 6= x₀, du système différentiel du premier ordre:

y⁰ =u, u⁰ = 3u−6y

x(1−x) (2) associé à l’équation(1).

2 b Que devient cette r´esolvante pourx₀ →0?

2 c Etudier le comportement des solutions de l’´equation (1) au voisinage du point (0, y₀); on montrera en particulier que la diff´erence de deux telles solutions esto(x³).

3a Montrer, en utilisant la résolvante, que la solution de l’équation x(1−x)y⁰⁰+ 3y⁰ −6y= 20x⁴ (3) qui s’annule pour x=x₀ ainsi que sa dérivée première est

y(x, x₀) = 1 (1−x)²

Z x

x0

(4x⁵−5x⁴−4t³+ 5t⁴)dt

2 c Montrer que y(x,0) a encore un sens et que c’est une des solutions de (3) telles que f(0) =f⁰(0) = 0.

2 d Montrer que c’est l’unique solution de (3) telle que f⁽ⁱ⁾(0) = 0 pour i = 0,1,2,3,4.

Problème 7 On considère l’ équation différentielle x⁰ =λ+ x²

1 +λ² (E) o`uλ est un param`etre complexe.

A Dans cette partie, on suppose λ∈R.

1 Montrer qu’il existe un nombre k > 0, unique, tel que pour tout t ∈ R et tout λ≤ ¹₄, on ait l’in´egalit´e:

k > λ+ k²t²

1 +t² (1)

2 Soitx₀(t) la solution maximale de (E)passant par (0,0). Soit J l’intervalle positf d’origine 0 dans lequel x₀(t) est d´efinie. Montrer que si λ ≤ ¹₄, on a J = [0; +∞[.

Pour cela , on établit d’abord les inégalités: λt≤x₀(t)≤kt, en utilisant 1?.

(21)

3 On pose A = sh ^π

2√

λ et B = sh2π√

4λ−1, pour λ≥ ¹₄. Montrer que pour λ ≥ ¹₄, on a J = [0, a[, avec l’in´egalit´e

A < a < B. (2) Pour cela, on posera x₀ =y₀√

1 +t², puis, on utilisera, pour t ≥0, y ≥0, >0, les in´egalit´es strictes:

(y− ¹₂)²+λ−¹₄ −

√1 +t² < λ+y²

√1 +t² − ty

1 +t² < λ+y²+

√1 +t² . On en d´eduira d’abord que a∈]A, B[.

BOn suppose d´esormais queλ∈C, et on d´esigne parx(t) une fonction de la variable complexe t.

1 Montrer que si t0 6= ±i, il existe une fonction holomorphe unique f au voisinage de l’origine, telle que f(0) 6= 0 et que x(t) = f(t−t₀)

t−t₀ soit solution de (E) dans un ouvert 0<|t−t₀|< R. On posera:

u=t−t₀ et x(u) = a

u +a₀+φ(u);

on montrera que si φ(0) = 0, a et a₀ sont déterminés de manière unique et que φ(u) vérifie une équation différentielle satisfaisant aux conditions d’application du théorème de Cauchy.

2 On fait, dans (E), le changement de fonction, défini par l’égalité Y(t) = exp

− Z t

0

x(θ)−θ 1 +θ²

, (4)

l’intégrale étant prise sur un chemin de 0 à t sur lequel la fonction x(θ)−θ 1 +θ² est holomorphe. Montrer queY(t) vérifie une équation de la forme

Y⁰⁰+p(t)Y = 0, (F)

o`u p(t) est une fonction rationnelle. Montrer qu’il existe une solution de (F) de la forme

Y(t) = (t−i)^rg(t), (5)

où r est un nombre réel qu’on déterminera et g(t) une fonction holomorphe dans le disque |t−i|<2.