Equations diff´ ´ erentielles

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Licence 2 cours de Calcul Diff´erentiel

Universit´e de Paris 8 Feuille n^◦3

Equations diff´ ´ erentielles

Exercice 1 (Partiel de Novembre 1994) On se propose d’int´egrer sur l’intervalle le plus grand possible contenu dans ]0,∞[ l’´equation diff´erentielle :

(E) y⁰(x)− y(x)

x −y(x)² =−9x².

1. D´eterminer a ∈]0,∞[ tel que y(x) =ax soit une solution particuli`ere y₀ de (E).

2. Montrer que le changement de fonction inconnue :y(x) = y₀(x)−_z(x)¹ transforme l’´equation (E) en l’´equation diff´erentielle

(E1) z⁰(x) + (6x+ 1

x)z(x) = 1.

3. Int´egrer (E1) sur ]0,∞[.

4. Donner toutes les solutions de (E) d´efinies sur ]0,∞[.

Exercice 2 R´esoudre l’´equation suivante :

y⁰⁰−3y⁰+ 2y=e^x. Exercice 3 R´esoudre l’´equation suivante :

y⁰⁰−y=−6 cosx+ 2xsinx.

Exercice 4 R´esoudre l’´equation suivante :

4y⁰⁰+ 4y⁰+ 5y= sinxe^−x/2. Exercice 5 On consid`ere l’´equation :

y⁰⁰+ 2y⁰+ 4y=xe^x (E) 1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle homog`ene associ´ee `a (E).

2. Trouver une solution particuli`ere de (E) (expliquer votre d´emarche), puis donner l’en- semble de toutes les solutions de (E).

3. D´eterminer l’unique solution h de (E) v´erifiant h(0) = 1 et h(1) = 0.

4. Soit f :]0,∞[−→Rune fonction deux fois d´erivable sur ]0,∞[ et qui v´erifie : t²f⁰⁰(t) + 3tf⁰(t) + 4f(t) =tlogt.

(a) On pose g(x) = f(e^x), v´erifier queg est solution de (E).

(b) En d´eduire une expression de f.

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Exercice 6 (Partiel Novembre 96) On consid`ere l’´equation diff´erentielle suivante : (E.D.) y⁰⁰−4y⁰+ 4y=d(x),

o`ud est une fonction qui sera pr´ecis´ee plus loin.

1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle homog`ene (ou sans second membre) associ´ee `a (E.D.).

2. Trouver une solution particuli`ere de (E.D.) lorsque d(x) = e^−2x et lorsque d(x) = e^2x respectivement.

3. Donner la forme g´en´erale des solutions de (E.D) lorsque d(x) = e^−2x+e^2x

4 .

Exercice 7 R´esoudre : y⁰⁰(x) + 2y⁰(x) +y(x) = 2xcosxcoshx.

Exercice 8 D´eterminer les f ∈C²(R,R) telles que :

∀x∈R, f⁰⁰(x) +f(−x) =xcosx.

Exercice 9 En posant t= arctanx,r´esoudre : y⁰⁰(x) + 2x

1 +x²y⁰(x) + y(x)

(1 +x²)² = 0.

Exercice 10 R´esoudre par le changement de fonction z = ^y_x l’´equation diff´erentielle : x⁰⁰²(x)−2xy⁰(x) + (2−x²)y(x) = 0.

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