Equations diff´erentielles

Universit´e Paul Sabatier J.M. Roquejoffre Pr´epa Agreg 2019-2020

Equations diff´erentielles

Exercice 1. R´esoudre le probl`eme de Cauchy

u⁰ =|u|, u(0) =u₀.

Exercice 2. R´esoudre le probl`eme de Cauchy

u⁰ =u², u(0) =u0.

Discuter selon le signe deu₀.

Exercice 3. R´esoudre le probl`eme de Cauchy

u⁰= 1−u², u(0) =u0 ∈[0,1].

Exercice 4. Trouver toutes les solutions au probl`eme de Cauchy u⁰ =√

u, u(0) = 0.

Exercice 5. Soita >0etf une fonction continue surR, on consid`ere le probl`eme de Cauchy u⁰+au=f(t), u(0) =u0.

1. Montrer queu(t) =e^−atu0+ Z t

0

e^−a(t−s)f(s)ds.

2. On suppose lim

t→+∞f(t) = 0. Montrer que lim

t→+∞u(t) = 0.

3. On suppose lim

t→+∞f(t) =l. Montrer que lim

t→+∞u(t) = l a.

4. On supposef 1-p´eriodique ent. Montrer l’existence d’une fonction 1-p´eriodiquel(t)telle quelim(u(t)− l(t)) = 0.

Exercice 6. R´esoudre le probl`eme de Cauchy

u⁰+a(t)u=f(t), u(0) =u₀.

Exercice 7. 1. Montrer que, siuv´erifie l’´equation

u⁰+a(t)u= 0,

alorsune peut s’annuler nulle part sauf siuest identiquement nulle.

2. Montrer que, siaest continue etuv´erifie l’in´equation, pour toutt >0:

u⁰+a(t)u >0, u(0) = 0, alorsuest strictement positive surR^∗+.

1

Exercice 8. Soitu(t)la solution du probl`eme

u⁰+u² =t, u(0) = 0

dont on suppose qu’elle existe.

1. Montrer queu(t)>0pour toutt >0.

2. En consid´erantv(t) =√

t−u(t), montrer queu(t)≤√ t.

Exercice 9. R´esoudre le probl`eme de Cauchy

−u⁰⁰+αu= 0, u(0) =u0, u⁰(0) =u1.

Discuter le comportementt→+∞des solutions en fonction deα.

Exercice 10. Consid´erons une solution de l’´equationu⁰⁰+a(t)u= 0. Soitt₀ un z´ero deu.

1. Supposons qu’il existe(t_n)_n, suite de z´eros deutendant verst₀avect_n6=t₀pour toutn.

Montrer queu⁰(t₀) = 0.

2. En d´eduire que, siuest non nulle, alorst0est un z´ero isol´e.

Exercice 11. R´esoudre le syst`eme diff´erentiel

X⁰ =AX, X(0) =X₀, pour les matrices

A=

1 −1 0 2

, A=

1 −1 0 1

, A=

1 2 1 1

.

Exercice 12. Soit I un intervalle de R et H : I ×I → R une fonction r´eguli`ere. On consid`ere le syst`eme diff´erentiel d’inconnues(γ, p):

γ⁰ = ∂_pH(γ, p), p⁰ = −∂_γH(γ, p).

Montrer que, si(γ, p)est une solution, alors la fonctiont7→H(γ(t), p(t))est constante.

Applications: ´ecrire le syst`eme diff´erentiel dans les deux cas suivants et donner une cons´equence de la propri´et´e ci-dessus.

• H(γ, p) =γ−lnγ+p−lnp−2.Reconnaissez-vous ce syst`eme ?

• H(γ, p) = p²

2 −cosγ. Quelle ´equation simple de la physique reconnaˆıt-on?

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