Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚7
Primitives et ´ equations diff´ erentielles
Exercice 64 (Calcul de primitives)
Pour chacune des fonctions suivantes, donner une primitive de la fonction sur son intervalle de d´efinition.
1. f1:R→R; x7→ch(x) 2. f2: ]1,+∞[→R; t7→ 2
1−t 3. f3:R→R; u7→sin(u)ecos(u) 4. f4: ]0,+∞[→R; x7→ (ln(x))2
x 5. f5: i
−π 2,π
2 h
→R; t7→tan(t) 6. f6:R→R; x7→xex
7. f7:R→R; t7→arctan(t)
Exercice 65 (Caract´erisation det7→eat (a∈C) par un probl`eme de Cauchy) La lettreKd´esigneRouC. Soita∈K. D´emontrer que la fonction
f:R→K; t7→eat est l’unique solution du probl`eme de Cauchy
y′=ay y(0) = 1 surR.
Exercice 66 (´Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 1) 1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y′+ 4y= 0 surR.
2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y′−(1−i)y= 0 surR.
3. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(1−x)y′+y= 0 sur ]1,+∞[.
4. R´esoudre le probl`eme de Cauchy
y′+ 2y= 1 y(0) = 2 surR.
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5. R´esoudre le probl`eme de Cauchy
y′−1
xy=x2 y(1) = 0 sur ]0,+∞[.
6. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y′−2xy=ex2sin(x) surR.
7. R´esoudre le probl`eme de Cauchy
(1 +x2)y′−2xy= 1 +x2 y(1) = 0
surR.
8. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
xy′−y= x2
√1 +x2 surR.
Exercice 67 (R´esolution d’une ´equation fonctionnelle)
On se propose de d´eterminer toutes les fonctionsf:R→Rtelles que : (A) f n’est pas la fonction nulle ;
(B) f est d´erivable surR;
(C) pour tout (x, y)∈R2, f(x+y) =f(x)f(y).
1. Soitaune constante r´eelle et soitf la fonction d´efinie par : f:R→R; x7→eax. Montrer quef v´erifie les conditions (A), (B) et (C).
2. Soitf:R→Rune fonction v´erifiant les conditions (A), (B) et (C).
(a) Ici,xd´esigne un nombre r´eelfix´e. On introduit la fonctionfxd´efinie par : fx:R→R; y7→fx(y) =f(x+y).
i. Justifier que fx est d´erivable surR.
ii. Soity∈R. Calculerfx′(y) de deux mani`eres.
iii. En d´eduire quef′(x) =f′(0)f(x).
(b) Prouver qu’il existe deux constantes r´eellesaetK telles que : f:R→R; x7→Keax. (c) Montrer que :f(0) = 0 ou f(0) = 1.
(d) En d´eduire que :
f:R→R; x7→eax. 3. Conclure.
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Exercice 68 (´Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 2 `a coefficients constants) 1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y′′+y= 0 surR.
2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y′′−5y′+ 6y= 0 surR.
3. R´esoudre le probl`eme de Cauchy
y′′−4y′+ 4y= 0 y′(0) = 0
y(0) = 1 surR.
4. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y′′+ (−3 + 2i)y′+ (5−i)y= 0 surR.
5. R´esoudre le probl`eme de Cauchy
y′′−4y′+ 3y=e2t y′(0) = 1
y(0) = 0 surR.
6. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y′′−y= (4x+ 2)ex surR.
7. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y′′+y= cos(t) surR.
8. R´esoudre le probl`eme de Cauchy
y′′−3y′+ 2y=ex+ sin(x) y′(0) = 0
y(0) = 0 surR.
9. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
y′′−7y′+ 10y= sh(2t) surR.
Exercice 69 (´Equations diff´erentielles lin´eaires issues des Sciences Physiques1)
1. SoientCetRdes constantes r´eelles strictement positives. SoitEune constante r´eelle. R´esoudre le probl`eme de Cauchy
du
dt + 1 RCu= 0 u(0) =E surR.
Cette ´equation r´egit l’´evolution de la tensionuaux bornes du condensateur en fonction du temps t dans un circuit ´electrique RC. La constante C repr´esente la capacit´e du condensateur, R est la r´esistance du circuit etE est la tension `a l’instant t= 0.
1. Ces ´equations diff´erentielles sont apparues ou apparaˆıtront dans le cours de M. Mollier.
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2. Soient met g des constantes r´eelles strictement positives. Soientλet v0 des constantes r´eelles positives.
R´esoudre le probl`eme de Cauchy
dv dt + λ
mv=−g v(0) =v0
surR.
Cette ´equation r´egit l’´evolution de la vitesse verticale de chute v d’un syst`eme en fonction du temps t.
La constante m repr´esente la masse du syst`eme, λest le coefficient de frottement,g est l’acc´el´eration de pesanteur et v0 est la vitesse `a laquelle est intialement lanc´e le syst`eme.
3. Soientletgdeux constantes r´eelles strictement positives. Soitθ0une constante r´eelle. R´esoudre le probl`eme de Cauchy
d2θ dt2 +g
lθ= 0 θ(0) =θ0
dθ dt(0) = 0 surR.
Cette ´equation r´egit l’´evolution de l’angle θ que fait un pendule avec la verticale en fonction du temps t. La constante l repr´esente la longueur du fil, g est l’acc´el´eration de pesanteur, θ0 est l’angle que fait initialement le pendule avec la verticale. Enfin la condition dθ
dt(0) = 0 signifie que le pendule est lˆach´e sans vitesse initiale.
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