Cours de math´ematiques
Equations diff´erentielles ´
D´efinition 1. Une´equation diff´erentielledu premier ordre est une ´equation dont l’inconnue est une fonction f et dans laquelle apparaˆıt la d´eriv´ee f′ de la fonction f.
Exemple 1. La fonctionf(x) = 2
x2+ 1 est solution de l’´equation diff´erentiellef′(x) +x[f(x)]2 = 0.
Nous allons ´etudier de mani`ere g´en´erale les ´equations diff´erentielles du premier ordre `a coefficients constants, c’est `a dire les ´equations diff´erentielles de la formeaf′(x) +bf(x) +c= 0 aveca, b, c∈Reta6= 0.
On note souvent de mani`ere abusive ces ´equations sous la forme simplifi´eeaf′+bf +c= 0.
Th´eor`eme 1. Les solutions de l’´equation diff´erentielle f′ = kf o`u k ∈R sont les fonctions f(x) =Cekx avecC ∈R.
D´emonstration. au programme en ´etudiant la fonctiong(x) =f(x)e−kx.
Corollaire 1. Soit (x0;y0)∈R×R. L’´equation diff´erentiellef′ =kf o`uk∈R admet une solution unique v´erifiant la condition initiale f(x0) =y0.
D´emonstration. au programme.
Th´eor`eme 2. Les solutions de l’´equation diff´erentielle f′ =af +b o`u a, b∈Ret a6= 0 sont les fonctions f(x) =Ceax−ab avec C ∈R.
D´emonstration. au programme en ´etudiant la fonctiong(x) =f(x) +ab.
Corollaire 2. Soit (x0;y0)∈R×R. L’´equation diff´erentielle f′ =af+b o`u a, b∈R et a6= 0 admet une solution unique v´erifiant la condition initialef(x0) =y0.
D´emonstration. au programme.
Exercice 1. R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes :
f′+ 2f = 0
f′−2f+ 3 = 0
f′+ 3 = 0
f′−3f −15 = 0 f(0) = −92
www.emmanuelmorand.net 1/1 Ts0809Chap06Cours
