Probl` eme 3 : Comportement asymptotique de la suite Z

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir surveill´ e n˚1

Dur´ee : 3 heures

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme est sur 18, les deux points restants correspon- dront `a une note portant sur les qualit´es suivantes.

• Pr´esentation

• Clart´e des explications

• Justesse du vocabulaire et des symboles employ´es

• Conclusion correctement formul´ee `a chaque question

Probl` eme 1 : Valeurs exactes de cosinus et sinus, ´ equations trigonom´ etriques

Les deux parties de ce probl`eme sont ind´ependantes.

Partie A

1. Soient les nombres complexesz₁=

√6−i√ 2

2 etz₂= 1−i. Mettre sous forme trigonom´etrique les nombres complexesz₁,z₂ etZ =z₁

z2

. 2. En d´eduire que cosπ

12

=

√ 6 +√

2

4 et sinπ 12

=

√ 6−√

2

4 .

3. On consid`ere l’´equation d’inconnue r´eelle x (E) : (√

6 +√

2) cos(x) + (√ 6−√

2) sin(x) = 2.

(a) R´esoudre l’´equation (E) dansR.

(b) Placer les points images des solutions de (E) sur le cercle trigonom´etrique.

Partie B

1. Rappeler les formules d’Euler.

2. (a) Soitθ∈R. Lin´eariser cos²(θ).

(b) Montrer que cosπ 8

= r1

2 +

√ 2

4 et sinπ 8

= r1

2 −

√ 2 4 . (c) Montrer que cosπ

16

= s

1 2+1

2 r1

2 +

√2 4 .

3. Question ouverte : Comment peut-on calculerde proche en proche les valeurs de cosπ 2ⁿ

pour tout n∈N^∗?

1

Probl` eme 2 : Approximations du nombre d’or

La calculatrice ´etant interdite, on fournit l’encadrement suivant : 2,2<√

5<2,3.

Partie A

1. On donne la fonction f d´efinie sur R^∗ parf(x) = 1 + 1

x. Montrer que l’´equation f(x) = x d’inconnue x ∈ R^∗ admet deux solutions que l’on pr´ecisera : α et β de signes contraires. On notera αla solution positive (αest appel´e nombre d’or).

2. SoitI l’intervalle 3

2; 2

. D´emontrer que pour tout x∈I,f(x)∈I.

3. (a) Justifier succinctement quef est d´erivable surR^∗. (b) Calculerf⁰(x) pour toutx∈R^∗.

(c) Montrer que pour toutx∈I,|f⁰(x)| ≤ 4 9.

Partie B

Soit (u_n)_n∈Nla suite d´efinie paru₀= 3

2 etu_n+1 =f(u_n) pour toutn∈N. D’apr`es la question 2. de la partie A, la suite (un) est bien d´efinie et on a pour toutn∈N, un∈I.

1. (a) V´erifier que α∈Iet que un+1−α=f(un)−f(α) pour toutn∈N.

(b) En appliquant le th´eor`eme des accroissements finis, que l’on citera avec pr´ecision, d´emontrer, par r´ecurrence, que pour toutn∈N,|u_n−α| ≤

4 9

ⁿ

|u₀−α|.

2. En d´eduire que la suite (un) est convergente et pr´eciser sa limite.

Partie C

Soit (v_n)_n∈Nla suite d´efinie parv_n= un−α

u_n−β pour toutn∈N. 1. Justifier bri`evement que la suite (vn) est bien d´efinie.

2. Montrer que la suite (vn) est g´eom´etrique. Pr´eciser sa raisonqet montrer que−1< q <1.

3. D´eduire de la question pr´ec´edente que la suite (u_n) converge et donner sa limite. V´erifier la coh´erence de votre r´esultat avec celui obtenu `a la question 2. de la partie B.

Probl` eme 3 : Comportement asymptotique de la suite Z

0

(sin θ)

dθ

n∈N

Partie A

On consid`ere les suites (uk)_k∈N^∗ et (vk)_k∈N^∗ d´efinies par uk= 1

k et vk =

Z k+1

k

1 xdx pour toutk∈N^∗.

2

1. (a) Apr`es une ´etude succincte de la fonction f d´efinie sur [1; +∞[ par f(x) = 1

x, tracer la courbe repr´esentativeC_f de cette fonction dans le plan muni d’un rep`ere orthonorm´e (0;−→

i ,−→ j).

(b) Montrer que pour toutk∈N^∗, pour toutx∈[k;k+ 1], 1 k+ 1 ≤ 1

x ≤ 1 k. (c) En d´eduire que pour toutk∈N^∗,u_k+1≤v_k≤u_k.

2. (a) Calculerv₁et v₂.

(b) Donner une interpr´etation g´eom´etrique dev₁,v₂, puis de l’in´egalit´eu₂≤v₁≤u₁. (c) Donner une interpr´etation g´eom´etrique dev_k pour un entierk∈N^∗quelconque.

(d) Calculerv_k pour toutk∈N^∗. 3. Pour toutn∈N^∗, on note :

U_n=u₁+u₂+. . .+u_n=

n

X

k=1

u_k et V_n =v₁+v₂+. . .+v_n=

n

X

k=1

v_k.

(a) D´eduire de la question 2.(d) queVn= ln(n+ 1) pour toutn∈N^∗. (b) Montrer queV_n=

Z n+1

1

1

x dxet donner une interpr´etation g´eom´etrique deV_n, pour toutn∈N^∗. (c) CalculerVngrˆace `a la question pr´ec´edente. V´erifier que le r´esultat trouv´e est le mˆeme qu’`a la question

3.(a).

(d) D´emontrer que pour toutn∈N^∗,

n

X

k=1

vk ≤

n

X

k=1

uk, c’est-`a-dire queVn≤Un.

(e) En d´eduire que lim

n→+∞ Un= +∞, c’est-`a-dire que lim

n→+∞

n

X

k=1

1

k = +∞.

Partie B

On pose pour toutn∈N, In= 1 π

Z π

0

(sinθ)²ⁿdθetJn= 1 π

Z π

0

(sinθ)²ⁿ(cosθ)²dθ.

1. CalculerI₀ etI₁.

2. (a) Montrer que pour toutn∈N^∗,I_n−1−I_n=J_n−1.

(b) Avec une int´egration par parties, montrer que pour toutn∈N^∗,J_n−1= 1 2n−1I_n.

On pourra utiliser le fait que (sinθ)²ⁿ⁻²(cosθ)²= (cos(θ)(sinθ)²ⁿ⁻²)×cosθ pour toutθ∈[0;π] et pour toutn∈N^∗.

(c) En d´eduire la relation de r´ecurrence (R) :In= 2n−1

2n I_n−1, pour toutn∈N^∗. 3. D´emontrer par r´ecurrence que pour toutn∈N^∗,In= (2n)!

4ⁿ(n!)². 4. On posewn= ln(In) pour toutn∈N.

(a) D´emontrer, `a partir de la relation de r´ecurrence (R), que pour tout entiern∈N^∗, wn=w_n−1+ ln

1− 1

2n

.

(b) En d´eduire, `a l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence, quew_n=

n

X

k=1

ln

1− 1 2k

pour toutn∈N^∗.

5. (a) ´Etudier la fonctiongd´efinie parg(x) = ln(1 +x)−xsur ]−1,0].

(b) En d´eduire le signe deg sur ]−1,0].

3

(c) Montrer que pour tout entierk∈N^∗, ln

1− 1 2k

≤ −1 2k.

6. (a) D´eduire des questions 4.(b) et 5.(c) que pour tout n ∈ N^∗, w_n ≤ −1

2 U_n (cf. Partie A pour la d´efinition deU_n).

(b) Donner alors la valeur de lim

n→+∞w_n. (c) En d´eduire la valeur de lim

n→+∞In, puis celle de lim

n→+∞

Z π

0

(sinθ)²ⁿdθ.

4