Licence de Math´ematiques Universit´e de Grenoble
Topologie, MAT352 1er semestre 2008/2009
Contrˆ ole continu n
o1
Dur´ee 2h, documents, calculettes et t´el´ephones interdits
Question de cours : SoitAune partie deR. Donner la d´efinition de la borne sup´erieure de A ainsi qu’une condition n´ecessaire et suffisante pour son existence. Donner une carac- t´erisation de la borne sup´erieure de A `a l’aide de suites.
Exercice 1 :
Soit (un)n∈Nune suite de nombres r´eels telle que pour toutn ∈N, on ait|un+1−un|<2−n. Montrer que (un)n∈N converge.
Indication: on pourra chercher une majoration de |un−un+p| .
Exercice 2 :
Soit A une partie non-vide et born´ee de R. Soit B la partie de R d´efinie par B ={x−y,(x, y)∈A×A}.
Montrer que B admet une borne sup´erieure s, et exprimer s le plus simplement possible (on justifiera la r´eponse).
Probl` eme :
Les deux parties du probl`eme sont ind´ependantes. En particulier, on peut faire la seconde partie en admettant les r´esultats de la premi`ere.
Partie I.
Soient a et b deux r´eels tels que a < b. Le but de cette partie est de d´emontrer le r´esultat suivant.
Tout point x de l’intervalle [a, b] est limite d’une suite de points de la forme a+ 2kp(b−a) o`u k et p sont entiers.
Soitx∈[a, b]. On d´efinit deux suites (un)n∈Net (vn)n∈Npar r´ecurrence de la fa¸con suivante.
• u0 =a etv0 =b
• Siun etvn sont connus, alors – si x > un+vn
2 , on pose un+1 = un+vn
2 etvn+1 =vn, – si x≤ un+vn
2 , on poseun+1 =un etvn= un+vn
2 .
1) Montrer que (un)n∈N est croissante et que (vn)n∈N est d´ecroissante.
2) Montrer que pour tout n∈N, |vn−un| ≤(b−a)2−n. 3) Montrer que pour tout entier n, on a un ≤x≤vn.
4) En d´eduire que les deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N convergent et donner leur limite.
5) Montrer que pour tout n, les nombres un etvn peuvent se mettre sous la forme a+ k
2p(b−a) , o`up est un entier et k est un entier tel que 0≤k≤2p. Indication: on pourra proc´eder par r´ecurrence surp.
Partie II.
On consid`ere l’ensemble E des fonctions continues f :R−→R qui v´erifient
∀(x, y)∈R×R f
x+y
2
= f(x) +f(y)
2 . (1)
6) Montrer que toute fonction affine appartient `aE.
Rappel : on dit qu’une fonction g :R−→R est affine s’il existe deux r´eels α et β tels que pour tout x r´eel, g(x) =αx+β.
7) Soitf une fonction appartenant `a E, et soient a etb deux r´eels tels que a < b.
a. Expliciter une fonction affine g telle que la fonction h=f −g s’annule en a et en b.
b. Montrer que h appartient `a E.
8) Soit x un point de l’intervalle [a, b]. Soient (un)n∈N et (vn)n∈N les suites construites comme dans la partie I.
a. Montrer que pout tout entier n, on a h(un) =h(vn) = 0.
b. En d´eduire queh(x) = 0.
9) Montrer que h est nulle sur tout R.
10) Montrer que E est l’ensemble des fonctions affines.
