Probl` eme :

Licence de Math´ematiques Universit´e de Grenoble

Topologie, MAT352 1^er semestre 2008/2009

Contrˆ ole continu n

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Dur´ee 2h, documents, calculettes et t´el´ephones interdits

Question de cours : SoitAune partie deR. Donner la d´efinition de la borne sup´erieure de A ainsi qu’une condition n´ecessaire et suffisante pour son existence. Donner une carac- t´erisation de la borne sup´erieure de A `a l’aide de suites.

Exercice 1 :

Soit (u_n)n∈Nune suite de nombres r´eels telle que pour toutn ∈N, on ait|u_n+1−u_n|<2⁻ⁿ. Montrer que (u_n)n∈N converge.

Indication: on pourra chercher une majoration de |un−u_n+p| .

Exercice 2 :

Soit A une partie non-vide et born´ee de R. Soit B la partie de R d´efinie par B ={x−y,(x, y)∈A×A}.

Montrer que B admet une borne sup´erieure s, et exprimer s le plus simplement possible (on justifiera la r´eponse).

Probl` eme :

Les deux parties du probl`eme sont ind´ependantes. En particulier, on peut faire la seconde partie en admettant les r´esultats de la premi`ere.

Partie I.

Soient a et b deux r´eels tels que a < b. Le but de cette partie est de d´emontrer le r´esultat suivant.

Tout point x de l’intervalle [a, b] est limite d’une suite de points de la forme a+ ₂^kp(b−a) o`u k et p sont entiers.

Soitx∈[a, b]. On d´efinit deux suites (u_n)n∈Net (v_n)n∈Npar r´ecurrence de la fa¸con suivante.

• u0 =a etv0 =b

• Siu_n etv_n sont connus, alors – si x > u_n+v_n

2 , on pose u_n+1 = u_n+v_n

2 etv_n+1 =v_n, – si x≤ u_n+v_n

2 , on poseu_n+1 =u_n etv_n= u_n+v_n

2 .

1) Montrer que (u_n)n∈N est croissante et que (v_n)n∈N est d´ecroissante.

2) Montrer que pour tout n∈N, |vn−u_n| ≤(b−a)2⁻ⁿ. 3) Montrer que pour tout entier n, on a u_n ≤x≤v_n.

4) En d´eduire que les deux suites (u_n)n∈N et (v_n)n∈N convergent et donner leur limite.

5) Montrer que pour tout n, les nombres u_n etv_n peuvent se mettre sous la forme a+ k

2^p(b−a) , o`up est un entier et k est un entier tel que 0≤k≤2^p. Indication: on pourra proc´eder par r´ecurrence surp.

Partie II.

On consid`ere l’ensemble E des fonctions continues f :R−→R qui v´erifient

∀(x, y)∈R×R f

x+y

2

= f(x) +f(y)

2 . (1)

6) Montrer que toute fonction affine appartient `aE.

Rappel : on dit qu’une fonction g :R−→R est affine s’il existe deux r´eels α et β tels que pour tout x r´eel, g(x) =αx+β.

7) Soitf une fonction appartenant `a E, et soient a etb deux r´eels tels que a < b.

a. Expliciter une fonction affine g telle que la fonction h=f −g s’annule en a et en b.

b. Montrer que h appartient `a E.

8) Soit x un point de l’intervalle [a, b]. Soient (un)n∈N et (vn)n∈N les suites construites comme dans la partie I.

a. Montrer que pout tout entier n, on a h(un) =h(vn) = 0.

b. En d´eduire queh(x) = 0.

9) Montrer que h est nulle sur tout R.

10) Montrer que E est l’ensemble des fonctions affines.