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(d) Donner des exemples de sous-ensembles de R tels que : (i) la borne sup´ erieure n’existe pas ;

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Academic year: 2022

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Universit´ e Paris-Diderot Ann´ ee 2017-2018 MIAN - Alg` ebre et analyse ´ el´ ementaires

Feuille de TD - Propri´ et´ es de R

Questions de cours. (a) Donner la d´ efinition de valeur absolue d’un nombre r´ eel x ∈ R . (b) ´ Enoncer l’in´ egalit´ e triangulaire de la valeur absolue.

(c) Soient E un ensemble ordonn´ e et F ⊆ E un sous-ensemble de E. Donner la d´ efinition de la borne inf´ erieure de F et de minimum de F .

(d) Donner des exemples de sous-ensembles de R tels que : (i) la borne sup´ erieure n’existe pas ;

(ii) le sous-ensemble n’admet pas de minorant ; (iii) le sous-ensemble n’admet pas de majorant ;

(iv) le sous-ensemble admet une majorant, mais n’a pas de maximum ; (v) la borne inf´ erieure existe, mais n’a pas de minimum.

(e) ´ Enoncer la propri´ et´ e de la borne sup´ erieure pour les sous-ensembles de R . (f) ´ Enoncer la propri´ et´ e archim´ edienne des nombres r´ eels.

Exercice 1. Soient α, β, γ et δ quatre nombres r´ eels. Montrer que si α < β et γ < δ alors αδ + βγ < αγ + βδ.

Exercice 2. Soient α et β deux nombres r´ eels. Simplifier l’in´ egalit´ e α 2 < αβ < β 2 . Exercice 3. Soit γ nombre r´ eel.

(a) Montrer que si 0 < γ < 1, alors 0 < γ 2 < γ < 1.

(b) Montrer que si 1 < γ, alors 1 < γ < γ 2 .

Exercice 4. Soit n dans N r {0}. Montrer que n 2 ≥ n ; en d´ eduire que n 1

2

1 n .

Exercice 5. Soient α et β dans R . Montrer que |α + β| = |α| + |β| si, et seulement si, αβ ≥ 0.

Exercice 6. Soient α, β, γ ∈ R tels que α ≤ γ. Montrer que α ≤ β ≤ γ si, et seulement si,

|α − β| + |β − γ| = |α − γ|. Interpr´ eter g´ eom´ etriquement ce r´ esultat.

Exercice 7. Hachurez la r´ egion du plan Oxy d´ efinie par l’´ equation ou par les in´ egalit´ es suivantes : (a) |x| = |y|, (b) |x| + |y| = 1, (c) |x| − |y| = 2, (d) |xy| = 2,

(e) |x| ≤ |y|, (f) |x| + |y| ≤ 1, (g) |x| − |y| ≤ 2, (h) |xy| ≥ 2.

Exercice 8. Soient α, β, x et y quatre nombres r´ eels tels que α < x < β et α < y < β. Montrer que |x − y| < |β − α|. Interpr´ eter graphiquement ce r´ esultat.

Exercice 9. R´ esoudre dans R les in´ equations suivantes :

(a) x < |x − 1|, (b) x < −|x − 1|, (c) x 2 < |x − 1|, (d) x 2 < −|x − 1|, (e) x 2 < |x − 1 4 |, (f) |x − 5| < |x − 1|, (g) 1 < |x − 2| ≤ 3, (h) |x + 2| |x − 2| > 4, (i) |x − 1| < |x|, (j) |x| + |x + 1| < 2.

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Exercice 10. D´ eterminer les intervalles que d´ efinissent les ensembles suivants : (a) {x ∈ R | x 2 + x + 1 ≥ 0}, (b) {x ∈ R | x 2 + x < 2}, (c) {x ∈ R | x < 0 et x 2 + x − 6 < 0}, (d) {x ∈ R | x < x 2 − 12 < 4x}, (e) {x ∈ R r {−1, 1} |

q x

2

+1

x

2

−1 ∈ R }, (f) {x ∈ R r {−3} | x−2 x+3 < 0}, (g) {x ∈ R r {−2} | 2x+1 x+2 < 1}, (h) {x ∈ R | (2x + 1) 6 (x − 1) ≥ 0}.

Exercice 11. Dessiner le graphe de la fonction x 7→ |x + 1| − |x| + |x − 1|.

Exercice 12. Soient f et g les fonctions d´ efinies sur R par : f (x) = 3 −2x et g(x) = x 2 . Dessiner les graphes de u et v o` u

u: R → R , x 7→ max (f (x), g(x)) v : R → R , x 7→ min (f (x), g(x)).

Exercice 13. Si E := {1 − 3 n | n ∈ N } d´ eterminer inf E et sup E.

Exercice 14. Si E ⊆ R contient un de ses majorants, montrer que ce majorant est la borne sup´ erieure de E.

Exercice 15. Soit E ⊆ R un ensemble non vide et major´ e. Montrer que u = sup E si, et seulement si,

(a) ∀ n ∈ N , u − n 1 n’est pas un majorant de E, et (b) ∀ n ∈ N , u + n 1 est un majorant de E.

Exercice 16. Soit y un r´ eel strictement positif. Montrer qu’il existe n ∈ N tel que 2 1

n

< y.

Exercice 17. Montrer que les nombres r´ eels suivants sont irrationnels : (a) √

3, (b) √

6, (c) √

2 + 1, (d) 3 √

2, (e) √

2 + √ 3.

Exercice 18. Montrer que si y ∈ R est irrationnel et si r est un rationnel non nul, alors r + y et ry sont irrationnels.

Exercice 19. Montrer qu’il existe un nombre r´ eel positif u tel que u 3 = 2.

Exercice 20. Pour tout r´ eel x, on d´ efinit la partie enti` ere inf´ erieure (resp. sup´ erieure) de x comme

bxc := max

n ∈ Z | n ≤ x , dxe := min

n ∈ Z | n ≥ x .

(a) Montrer que pour tout x ∈ R , les quantit´ es bxc et dxe sont bien d´ efinies et appartiennent

` a Z .

(b) Montrer que bxc ≤ x ≤ dxe ; puis montrer ` a l’aide d’exemples que les in´ egalit´ es peuvent ˆ etre strictes.

(c) Dessiner les graphes de x 7→ bxc et x 7→ dxe.

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