Exercice 1. En fonction du param` etre n ∈ N ∗ , donner la borne sup´ erieure et la borne inf´ erieure de l’ensemble D n =

MAT402 Ann´ ee 2018-2019 Feuille d’exercices 1 : r´ evisions, mise en jambe

Autour de la borne sup´ erieure

Comme dans le cours, si f est une fonction d’un ensemble A dans R , on note sup _A f la borne sup´ erieure de f(A) = {f (x), x ∈ A}, et inf _A f sa borne sup´ erieure.

Exercice 1. En fonction du param` etre n ∈ N ^∗ , donner la borne sup´ erieure et la borne inf´ erieure de l’ensemble D _n =

x ² − n ²

x ² + n ² , x ∈ R +

, si elles existent. Cet ensemble admet-il un plus grand ´ el´ ement, un plus petit ´ el´ ement ?

Exercice 2. Soit f et g deux fonctions de R dans R. Montrer que sup _R (f + g) 6 sup _R f + sup _R g.

Exercice 3. Soit A = {x ∈ Q |x < √

2} et f : R → R une fonction continue et croissante.

D´ eterminer sup _A f.

Exercice 4. Soit B = Q ∩ ]0, 1[. On consid` ere la fonction g de R dans R donn´ ee par g(x) = x − x ³ . D´ eterminer sup _B g et inf _B g.

Exercice 5. Soit (u i,j ) i,j∈ N une suite num´ erique d´ ependant de deux param` etres.

Montrer que sup

i∈ N

sup

j∈ N

(u _i,j )

= sup

j∈ N

sup

i∈ N

(u _i,j ) .

Exercice 6. Soit (u n ) n∈ N une suite num´ erique born´ ee.

Pour n ∈ N on note X _n = {u _k , k > n}, et s _n = sup X _n . 1. Montrer que (s n ) n∈ N est d´ ecroissante

2. Montrer que (s n ) n∈ N est convergente. On note sa limite lim sup u n . 3. D´ efinir par analogie la limite inf´ erieure lim inf u _n .

4. Montrer que, si u _n converge vers `, alors lim inf u <sub>n</sub> = lim sup u <sub>n</sub> = `.

5. Montrer que si lim inf u n = lim sup u n , alors u n converge vers leur valeur commune.

6. D´ eterminer lim sup u n et lim inf u n pour la suite u n = cos(2πn/3).

Exercice 7. Soit (u n ) n∈ N une suite born´ ee de r´ eels. On pose L = lim sup u n .

1. Soit une suite a n convergeant vers a. D´ eterminer lim sup(a n + u n ) en fonction de a et de L.

2. Si a _n est seulement born´ ee, a-t-on lim sup(a _n + u _n ) = lim sup a _n + lim sup u _n ? 3. D´ eterminer lim sup e ^u

en fonction de L.

Exercice 8. Soit une application f de [0, 1] dans [0, 1], croissante. On se propose de montrer qu’il existe un point fixe de f , c’est-` a-dire un x ∈ [0, 1] tel que f(x) = x. (Note : f n’est pas suppos´ ee continue. Un exercice classique est que le r´ esultat est vrai si on remplace le mot “croissante” par le mot “continue”

dans l’hypoth` ese.)

Pour d´ emontrer le r´ esultat, on consid` ere l’ensemble A des x ∈ [0, 1] tels que f (x) 6 x.

a) Montrer que l’ensemble A n’est pas vide et qu’il a une borne inf´ erieure, qu’on notera α, avec α ∈ [0, 1].

La suite de l’exercice consiste ` a montrer que α est un point fixe de f . b) Exploiter la croissance de f pour d´ emontrer :

i) Si x ∈ [0, 1] est un minorant de A, alors f (x) est aussi un minorant de A.

ii) Si x ∈ [0, 1] est un ´ el´ ement de A, alors f (x) est aussi un ´ el´ ement de A.

c) En appliquant le r´ esultat i) pr´ ec´ edent au cas x = α, montrer que f (α) 6 α, autrement dit, que α ∈ A.

En appliquant alors le ii) pr´ ec´ edent au cas x = α, montrer que f (α) > α, et conclure.

Sur les suites et les s´ eries

Exercice 9. Soit (a n ) n∈ N une suite r´ eelle. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie

ou fausse, et le justifier :

1. La suite (a _n ) n∈ N tend vers 0 si et seulement si la suite (|a _n |) _{n∈ N} tend vers 0.

2. Si la suite (|a _n |) _{n∈ N} tend vers une limite l, alors la suite (a n ) n∈ N tend vers l ou −l.

3. Si la suite (a _n ) n∈ N tend vers une limite l, alors la suite (|a _n |) _{n∈ N} tend vers |l|.

Exercice 10. D´ eterminer (´ eventuellement, en fonction du param` etre x ∈ R ou z ∈ C ) la nature de chacune des s´ eries de terme g´ en´ eral u n d´ efini par :

1) u _n = 1

(n + 1)! 2) u _n = 4 ⁿ

n! 3) u _n = n ⁿ

3 ¹⁺²ⁿ 4) u _n = e ⁻ⁿ

⁻ⁿ 5) u _n = n ⁿ⁺¹

n! ln 1 + 1

n

6) u _n = 1 + 1

n n

− e 7) u _n = (−1) ⁿ sin 1

n 8) u _n = 2 ⁿ (n + 2)3 ⁿ⁺¹ 9) u _n = x ²

x ² + n 10) u _n = x ²

x ² + n ² 11) u _n = e ^−nx 12) u _n = z ⁿ

Exercice 11. (Cesaro) Soit (a n ) n∈ N

une suite r´ eelle. On veut montrer que si la suite (a n ) n∈ N

converge, vers une limite l, alors la suite des moyennes arithm´ etiques (b n ) n∈ N

d´ efinie par

b _n = 1

n (a ₁ + ... + a _n ) converge ´ egalement, vers la mˆ eme limite l.

1. Pour tout n 0 ∈ N ^∗ , que peut-on dire de la suite ( 1

n (a 1 + ... + a n

)) n∈ N

? 2. Pour tout n ∈ N ^∗ , exprimer b _n − l en fonction des a _i − l, avec i = 1, ..., n.

3. Soit > 0 et des r´ eels x 1 ,..., x k tels que x 1 , ..., x k ∈] − , +[. Montrer pour tout entier m > k, on a 1

m (x 1 + ... + x _k ) ∈] − , +[.

4. Montrer que si la suite (a _n ) n∈ N converge vers une limite finie l, alors la suite (b _n ) n∈ N converge

´ egalement vers l.

5. La r´ eciproque est-elle vraie ?

6. Que peut-on dire si la suite (a n ) n∈ N

tend vers +∞ ?

Exercice 12. Soit (u n ) n∈ N une suite ` a valeurs dans l’ensemble D = {0, 1, . . . , 9}.

1. Montrer que la s´ erie de terme g´ en´ eral u _n · 10 ⁻ⁿ converge vers un r´ eel x ∈ [0, 10].

2. Montrer que si la suite (u n ) n∈ N converge, alors elle constante ` a partir d’un certain rang.

3. Montrer que si la suite (u _n ) n∈ N converge vers 9, alors il existe une suite (v _n ) n∈ N d’´ el´ ements de D convergeant vers 0 telle que P +∞

n=0 u n 10 ⁻ⁿ = P +∞

n=0 v n 10 ⁻ⁿ .

4. Pour tout x ∈ [0, 10[, montrer qu’il existe une unique suite (u _n ) n∈ N ne convergeant pas vers 9 telle que P +∞

n=0 u _n 10 ⁻ⁿ = x.

Exercice 13. On consid` ere la s´ erie X

n∈A

1

n o` u A est l’ensemble des entiers ne contenant pas le chiffre 2 dans leur ´ ecriture en base 10. En ´ evaluant pour tout entier n le nombre de termes dans A ∩ [10 ⁿ , 10 ⁿ⁺¹ [,

´ etudier la nature de cette s´ erie.

Exercice 14. Soit a > 0 fix´ e. On d´ efinit la suite de r´ eels (P _n (a)) n∈ N par

P ₀ (a) = 1, et P _n+1 (a) = (n + a)P _n (a) pour tout n ∈ N . Il s’agit de montrer que

L(a) = lim

n→∞

P _n (a) n! n ^a−1

existe et est un nombre strictement positif. Pour cela, on consid` ere la s´ erie de terme g´ en´ eral u n , avec u n = ln(n + a) − a ln(n + 1) + (a − 1) ln n.

1. Comparer la somme partielle d’ordre n − 1 de P

u _n avec ln P _n (a) n! n ^a−1 .

2. A l’aide d’un d´ eveloppement limit´ e en 1/n d’ordre convenable, montrer que P

n∈ N

u n converge.

3. Conclure.