AMPHI 7
EQUILIBRE DES STRUCTURES EN TOILES ´
Objectifs
Etude d’un probl`eme de mod´elisation ni trop trivial, ni trop difficile. Ce probl`eme sert d’introduction au cours. Il est pos´e de fa¸con un peu informelle pour garder le cˆot´e ouvert d’un probl`eme r´eel. Les hypoth`eses seront dicut´ees en cours
Figure 1: Une toile tendue
Le probl` eme
Etude de la position d’´equilibre d’une toile tendue, comme on en utilise en architecture (auvent, tentes. . . , mais pas les structures gonfl´ees qui sont un peu diff´erentes). Ces toiles sont r´ealis´ees par assemblage de pi`eces de tissus plastifi´es ; elles sont tendues par leur bord par des cˆables, des ressorts ou des tendeurs de mani`ere `a mettre la toile en tension en tous
points pour ´eviter les plis et les flottements. Un exemple tr`es simple de toile tendue est un trampoline. Pour fixer les id´ees on suppose donc que :
• La position de la toile est d´efinie par une surface param´etr´ee, i.e. par une fonction u(x) = (u1(x), u2(x), u3(x)) `a valeur dans R3 o`u x = (x1, x2) varie dans un domaine Ω ⊂ R2 de bord Γ0, (En fait le domaine Ω est d´efini par recollement des diff´erentes pi`eces de tissus qui composent la toile, c’est donc une r´eunion de domaines plans)
• La toile est fix´ee sur son bord, d’une mani`ere `a pr´eciser, en exer¸cant une tension sur ce bord.
• La toile est soumise `a une densit´e de force verticale f(x).
• On cherche la position d’´equilibre de la toile.
1 Mod` ele physique
1.1 Hypoth`eses
On fait l’hypoth`ese que les d´eformations ´elastiques de membrane restent n´egligeables de mˆeme que les efforts de flexion (pourquoi ?). Les propri´et´es g´eom´etriques de la toile et les efforts appliqu´es d´eterminent donc compl`etement sa position d’´equilibre. Les seuls efforts dans la toile sont les contraintes tangentielles provenant de la tension de la toile (on peut se demander si elles sont toujours bien d´efinies). Les liaisons entre la toile et son support sont simul´ees par des ressorts (hypoth`ese `a discuter).
Quelques propri´et´es g´eom´etriques
La surface form´ee par une pi`ece de toile plane ind´eformable est isom´etrique `a une partie du plan (i.e. il n’y a aucun changement de longueur). Une telle surface, est r´eunion de morceaux de surfaces “d´eveloppables” dont on montre qu’elles ont les propri´et´es suivantes : par tout point d’une surface d´eveloppable passe une droite contenue dans cette surface et le long de cette droite, la normale `a la surface est constante.
Premi`ere formulation du probl`eme
On peut consid´erer que la position d’´equilibre est d´etermin´ee par les ´equations d’´equilibre liant les contraintes et des efforts externes. Savez vous les ´ecrire (choisir un rep`ere dont un vecteur est le long de la droite g´en´eratrice) ? Quelle est la nature math´ematique du probl`eme ainsi obtenu ? Etes vous sˆur que le probl`eme est bien pos´e (i.e. qu’il admet une solution unique). Cette mani`ere de poser le probl`eme conduit `a un syst`eme d’´equations compliqu´ees m´elangeant des efforts et des d´eplacements.
Deuxi`eme formulation du probl`eme
On peut utiliser le principe du minimum de l’´energie : la position d’´equilibre de la toile r´ealise le minimum de l’´energie potentielle totale parmi toutes les positions cin´ematiquement admissibles de la toile. En l’absence de d´eformations ´elastiques l’´energie potentielle est la somme des ´energies de d´eformation des ressorts de liaison et du travail de la densit´e de forces.
L’ensemble des positions admissibles est l’ensemble des positions de la toile telles qu’il n’y ait pas de changement de longueur. La nature du probl`eme est alors plus claire : c’est un probl`eme d’optimisation avec contraintes, que nous allons pr´eciser.
2 Mod` ele math´ ematique
2.1 Le probl`eme continu
On note paru.v le produit scalaire de deux vecteurs de R3 et on suppose que les ressorts de liaison, index´es par j, sont de constante k, et sont fix´es au pointu(xj) `a la toile et au point vj du support. Montrer que l’´energie potentielle est, `a une constante pr`es :
E(u) = Z
Ω
f(x).u(x)dΩ +X
j
k
2(u(xj)−vj)2 (1)
On note J(u(x)) la matrice jacobienne deu(x) :
J(u(x)) =
∂u1
∂x1
∂u1
∂x2
∂u2
∂x1
∂u2
∂x2
∂u3
∂x1
∂u3
∂x2
(2)
Montrer que l’hypoth`ese que la toile est ind´eformable se traduit par :
∀x∈Ω J(u(x))tJ(u(x)) =Id
Soit V l’espace des fonctions continues sur Ω, qui sont C1 par morceaux (notion pas tr`es claire, `a pr´eciser), et Vad le sous-espace des fonctions de V qui d´efinissent des toiles non d´eform´ees :
Vad ={u∈V |J(u)tJ(u) =Id} (3) La position d’´equilibre u∈Vad est solution du probl`eme :
∀v∈Vad E(u)≤ E(v) (4)
C’est un probl`eme d’optimisation d’une fonction quadratique sur un ensemble d´efini par des contraintes quadratiques d’´egalit´e. Il ne peut cependant pas ˆetre trait´e directement sur ordinateur parce qu’il a un nombre infini d’inconnues ( l’espace V est de dimension infinie).
2.2 L’approximation du probl`eme
On doit faire une approximation pour remplacer le probl`eme (4) par un probl`eme qui n’a qu’un nombre fini d’inconnues. Nous ´etudierons ult´erieurement une m´ethode g´en´erale pour faire cette approximation : la m´ethode des ´el´ements finis. Nous suivront une id´ee tr`es intuitive : on remplace la toile par un filet. Pour cela on repr´esente la position de la toile par N points ui qui d´efinissent par un vecteur U = (u1,· · ·, ui,· · ·, uN) ∈ R3N ; on construit un filet `a mailles triangulaires (pourquoi ?) dont les pointsui sont les noeuds. On peut consid´erer que les points reli´es `a des ressorts sont les n premiers. La densit´e de force f(x) est concentr´ee aux noeuds (comment ?), ce qui d´efinit des forces Fi appliqu´ees aux noeuds ui. L’´energie potentielle d’une position du filet est alors :
Ef(u) =
N
X
i=1
Fi.ui+
n
X
j=1
k
2(uj−vj)2 (5)
Il reste `a mod´eliser l’ind´eformabilit´e du filet : pour des mailles triangulaires cela ´equivaut
`a l’absence de changement de longueur des brins du filet. On note E l’ensemble des couples de noeuds reli´es par un brin etli,j la longueur d’un brin e= (i, j). L’ind´eformabilit´e du filet s’´ecrit donc :
∀e= (i, j)∈E (ui−uj)2=l2i,j (6) On note V fad l’ensemble des vecteurs qui d´efinissent une position admissible du filet :
V fad={V∈R3N | ∀e= (i, j)∈E (vi−vj)2 =l2i,j} (7) La position d’´equilibre U du filet est solution du probl`eme :
∀V∈V fad Ef(U)≤ Ef(V) (8) C’est un probl`eme d’optimisation d’une fonction quadratique sur un domaine d´efini par des contraintes quadratiques d’´egalit´e. On pourrait remplacer les contraintes d’´egalit´e par des contraintes d’in´egalit´e, les solutions seraient en g´en´eral les mˆemes et le domaine devient alors convexe, c’est une piste `a explorer.
3 Mod` ele num´ erique
3.1 Difficult´es
Il y a de nombreuses des biblioth`eques de programmes d’optimisation (NAG, Toolbox de MatLab. . . ). Il ne faut pas en d´eduire que tout probl`eme d’optimisation est a priori r´esolu.
Certains probl`emes ´echappent aux m´ethodes existantes et pour beaucoup de probl`emes le choix de la m´ethode `a utiliser n’est pas facile. Les circonstances favorables sont ici :
• La fonction `a optimiser est quadratique et convexe.
• Les contraintes ont une expression simple.
Mais :
• La dimension du probl`eme peut ˆetre tr`es grande (3N).
• Seules les contraintes lin´eaires se traitent directement par des algorithmes efficaces.
• Les contraintes sont tr`es nombreuses et l’ensemble admissible est de dimension assez petite.
3.2 R´esolution par p´enalisation
On choisit une m´ethode simple et robuste : la transformation du probl`eme par p´enalisation.
On introduit les d´eformations :
ei,j = 1
2 ((ui−uj)2 li,j2 −1) d’un brin e= (i, j). On pose :
E²(U) =Ef(U) + X
e=(i,j)
C
2² e2i,j (9)
La constante C est une constante d’homog´en´eisation que l’on pourra choisr de l’ordre de la constante de raideur des ressorts. La constante ² est choisi tr`es petite, pour que la fonction E²(U) soit tr`es grande d`es que la position du filet ne respecte plus les conditions d’ind´eformabilit´e. La fonction E²(U) est `a peu de chose pr`es l’´energie potentielle d’un filet dont les brins seraient d´eformables. On remplace le probl`eme d’optimisation avec contraintes (8) par le probl`eme d’optimisation sans contrainte, trouverU ∈R3N solution de :
∀V ∈R3N E²(U)≤ E²(V) (10)
L’interpr´etation intuitive de ce probl`eme sugg`ere que sa solution est proche de la solution du probl`eme (8).
3.3 Derni`eres difficult´es
Le probl`eme (10) est un probl`eme d’optimisation d’une fonction de degr´e 4 par rapport aux variables, cette fonction n’est pas convexe et la pr´esence de minimum n’ayant pas de sens physique ou diff´erent du minimum d´esir´e n’est pas `a exclure. C’est un probl`eme mal con- ditionn´e (i.e. tel qu’une petite variation de la variable peut entrainer une forte variation de la fonction), surtout pour les valeurs petites de ². Il faut donc utiliser une m´ethode d’optimisation qui n’est pas trop sensible au conditionnement, ce qui exclut les m´ethodes simples (gradient ou relaxation). On prendra la m´ethode du gradient conjugu´e dont le prin- cipal d´efaut est d’exiger des minimisations tr`es pr´ecises sur les droites de descente : mais la restriction de la fonction E²(U) `a une droite est ici est polynˆome de degr´e 4, son minimum peut ˆetre calcul´e sans exc`es de calculs.
3.4 Conclusion provisoire
Il reste `a analyser la solution obtenue : est-elle compatible avec les hypoth`eses faites ? Est- elle satisfaisante ? Peut-on int´egrer dans cette formulation les difficult´es du probl`eme r´eel (par exemple pour ce qui est des fixations ?
S.L