La toile d’araign´ ee (4` eme ´ episode)
Le triangle ABC pr´esente en C un angle de 45o. Il est inscrit dans le cercle Γ de centre O. C se projette orthogonalement en hC sur AB, et le cercle Γc
de diam`etre ChC recoupe les droites CAet CB enD et en F.
K est le milieu deAB. E est le milieu deDF et G le sym´etrique de C par rapport `aE.
Quel est le lieu de GquandC parcourtΓ ? Solution
Montrons d’abord queCGcoupe la m´ediatrice deABau point fixeLsym´etrique deOpar rapport `a AB.
Rappel du 3`eme ´episode : hA et hB sont les pieds des hauteurs issues de A et deB. Mest le milieu dehAhB. KMest parall`ele `aOC, etKM =OC/2.
DF ethBhA sont parall`eles (et perpendiculaires `aOC), donc leurs milieuxE et M sont align´es avecC.
La parall`ele `a CB men´ee par hB passe parL (arc
_
AL= 45o sur le cercle de diam`etreAB); idem pour la parall`ele `a CAmen´ee parhA.
DoncCGpasse parL.
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N est le sym´etrique de M par rapport `a AB.
→
KN a la pente oppos´ee `a celle de
→
OC et la longueur moiti´e. Donc hCN, sym´etrique de KN par rapport `a M N, est parall`ele `aOC.
Par d´efinition,hCD⊥AC ethCF ⊥ BC et aussi : hCD⊥F Get hCF ⊥DG
⇒ hC est l’orthocentre deGDF.
N hC parall`ele `aOC est⊥`a DF : c’est la 3`eme hauteur deGDF.
⇒ la droitehCN passe parG.
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On peut maintenant simplifier la figure :
M homoth´etique deC (centre L, rapport1/2) d´ecrit le cercle (K,KM).
GN J est le triangle isoc`ele de baseGN et de sommet J surM N. LP Qest son homoth´etique (centreM, rapport P M
N M).
P M =LK N M = 2KM cos(θ) =√
2LK cos(θ)
LP = KM, doncP Q= KM 2cos(θ)
J N =P Q× N M
P M = LK 2 I ´etant le milieu deLK,
→
IJ =
→
KN
L’´equation polaire deGpar apport `a I est donc (en changeant le signe deθ) : IK(√
2ei θ+e−2i θ)
C’est une hypotrocho¨ıde `a 3 lobes.
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