D2901. La toile d’araign´ ee (2` eme ´ episode)

D2901. La toile d’araign´ ee (2` eme ´ episode)

Dans le triangle ABC, les pieds des hauteurs issues des sommets A, B, C sont hA,hB ethC. K etL sont les projections droites surAB dehB ethA

respectivement; et de fa¸con similaire pourM etN surBC, etOetP surAC.

Q1 : montrer que K,L,M,N,OetP sont co-cycliques.

Q2 : montrer que si 3 droites parmiCK, CL, AM, AN, BO et BP sont simultan´ement c´eviennes, les 3 autres le sont aussi.

Q3 : Deux des sommets du triangle ´etant fixes, quel est le lieu du 3`eme sommet pour que les droites de la question 2 restent c´eviennes.

•Q1: par projection de BC surBhC, puis deBhC surBM, on a : BM = BC cos²B.b

Par projection deBC surBhB, puis deBhB surBN, on a : BN =BC sin²C.b

DoncBM×BN =BC²×cos²Bb ×sin²Cb =Bh_B²×cos²Bb et BK×BL = BA²×cos²Bb×sin²Ab=Bh_B²×cos²Bb

K,L,M et N sont co-cycliques, et la propri´et´e s’´etend facilement `aOet P.

•Q2: (rappel du r´esultat du 1er ´episode) les 6 droitesAM, BO, CL, AN, BP etCK sont tangentes `a une conique.

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Quand 3 des droites sont c´eviennes, la conique d´eg´en`ere en une droite double.

Les 3 autres droites sont alors n´ecessairement c´eviennes.

•Q3: les cˆot´es deABC´etant appel´esa,betcsuivant le sommet oppos´e, on rep`ere les pieds des c´eviennes par Hij,i le cˆot´e de projection deH, j le cˆot´e de projection deHi.

Remarque 1 : le lieu deAest sym´etrique par rapport `a BCd’une part, et `a la m´ediatrice deBC d’autre part.

Remarque 2 : si Aest une solution, ses inverses A⁰ par rapport au cercle (B, BC) etA⁰⁰par rapport au cercle (C,BC) sont aussi des solutions puisque les trianglesABC,A⁰BC etA⁰⁰BC sont semblables.

On peut donc se limiter au quart de cercle ”nord-est” de (B,BC).

Deux cas sont `a consid´erer suivant la fa¸con d’associer les droitesIHij par 3.

Premier cas: groupes circulairesij/jk/kiet ji/ik/kj

Dans Q1 nous avons ´etabli la relationBH_ca=BC cos²B. et doncb CHca=BC sin²Bb ⇒ HcaC

BH_ca =−tg²Bb Les droites sont concourantes si tg²Ab×tg²Bb×tg²Cb = 1,

soit tgAb×tgBb ×tgCb =−1pour tenir compte de l’angle obtus enA.

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Par comparaison avec le triangle rectangleBDC, avecα=DCB,\ t=tg(α)etk=AH_a/DH_a: tgBb ×tgCb =k²

tgAb=tg(π−Bb −C) =b −tg(Bb+Cb) =−k(t+ 1/t)

Le lieu deAdans la bande ”nord” deBCest d´efini par l’´equation param´etrique x= t²−1

1 +t² y= 2kt

1 +t² (origine au milieu deBC,BC = 2) o`ukest la racine positive de l’´equationk³(1 +t²) +t(k²−1) = 0.

La courbe a vaguement la forme d’une demi-ellipse. Ses images dans les inver- sions (B,BC) et (C,CB) sont 2 branches infinies `a tangente perpendiculaire

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a BC enC et enB. Jean Moreau de Saint-Martin a ´etabli que l’ensemble est une quartique circulaire.

Deuxi`eme cas: groupes sym´etriquesij/ji/kiet jk/kj/ik

Dans le cas pr´esent, les groupes sont ab/ba/ac et cb/bc/ca. Pour le 1er groupe, les cˆot´esACetBCsont partag´es dans le mˆeme rapport, doncHacest milieu de AB. Pour le 2`eme groupe, les cˆot´esAB et AC sont partag´es dans le mˆeme rapport, doncHca est milieu deBC.

Les triangles BHaHac et BHcHca sont rectangles isoc`eles, et l’angle en B vaut45^o.

Le lieu deAest la demi-droite de pente 1 issue deB. Son image dans l’inversion (C,BC) ou (B,CB) est l’arc capable de l’angleAb= 45^o.

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