La toile d’araign´ee (3`eme ´episode) Le triangle

La toile d’araign´ ee (3` eme ´ episode)

Le triangle ABC pr´esente en C un angle de 45^o. Il est inscrit dans le cercle Γ1de centreO1. H est son orthocentre,hA,hB ethC les pieds des hauteurs, qui se projettent respectivement en L/O, K/N et M/P sur les autres cˆot´es deABC.

Rappel du 2`eme ´episode: K,L,M,N,O etP sont co-cycliques (cercleΓ₂).

O etN sont les milieux de AC et BC

Q1 :Enveloppe de la droite h_Ah_B quandC parcourt Γ.

Q2 :Lieux du centreO2deΓ2, et du sym´etrique deH par rapport `aO2, quand C parcourtΓ.

Solution

Q1 : Le cercle de diam`etre ChC coupe les droites AC et BC en P et M. A et P d’une part, B et M d’autre part, se correspondent dans l’inversion (C, ChC). DoncCA×CP =CB×CM. A,B,M etP sont co-cycliques;

les triangles ABCet P M C sont anti-similaires.

A,B,h_A eth_B sont surΓ₄ (cercle de diam`etreAB).

CA×Ch_B =CB×Ch_A ⇒(Thal`es) P M eth<sub>B</sub>h<sub>A</sub>sont parall`eles.

O₁est l’orthocentre de Ch_Ah_B ⇒ h_Ah_B etP M ⊥O₁C

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Sur Γ₄:

_

Ah_B+

_

h_AB= 45^o ⇒ h_A\O₃h_B = 90^o

Donch_Ah_B a une longueur constante et est tangent en son milieuD au cercle Γ3de centreO3d’un diam`etre ´egal `a hAhB = AB√

2 2 .

Q2 : O₂ est l’intersection des m´ediatrices deM N et de OP. Celles-ci sont

´

equidistantes des droitesM hC/N hB d’une part, et P hC/OhA d’autre part.

M hC etP hC se croisent enhC,N hB etOhA se croisent enO1.

DoncO2 est le milieu deO1hC et d´ecrit le segment port´e par la m´ediatrice de O1O3et limit´e en amplitude au diam`etre deΓ3.

J sym´etrique deHpar rapport `aO2d´ecrit le segment de la droiteO1O2limit´e par les positions extrˆemes deH sur cette droite.

Ces lieux sont les cas d´eg´en´er´es des ellipses d´ecrites parO2 etJ quand ACB\ 6= 45^o.

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