3` eme ann´ee MIC

INSA TOULOUSE Ann´ ee 2015-2016 D´ epartement STPI

3` eme ann´ee MIC

Examen – Dur´ ee 1h

UV Des donn´ ees aux mod` eles Partie - Probl` emes inverses

I/ Exercices de chauffe

1. Rappelez au moins deux caract´ erisations des matrices sym´ etriques d´ efinies positives (SDP).

2. Soit J (x) = hAx, xi o` u A ∈ R ^n×n est une matrice arbitraire. D´ eterminez ∇J (x).

3. Soit A = U ΣV ^T une matrice arbitraire dans R ^m×n . Calculez les valeurs singuli` eres de la matrice B suivante en fonction de celles de A. Indication : vous pourrez ´ evaluer B ^∗ B.

B =

0 m,m A A ^∗ 0 n,n

II/ Probl` eme inverse

On pose

A =









3 1 2 1 0 0 2 1 2 4 0 0









1. D´ eterminez l’image de A.

2. D´ eterminez le rang de A.

3. On pose E = R ³ et F = vect















 3 1 2 4







 ,







 1 0 1 0

















. On consid` ere le probl` eme inverse suivant :

“Etant donn´ e b ∈ F , trouver x ∈ E tel que Ax = b”.

Est-ce que le probl` eme suivant est bien pos´ e pour des perturbations du second membre dans F ? 4. Est-ce que le probl` eme suivant est bien pos´ e pour des perturbations du second membre dans R ⁴ ?

III/ Courant-Fischer

Le th´ eor` eme de Courant-Fischer est un r´ esultat fondamental qui caract´ erise les valeurs propres d’une matrice sym´ etrique. Soit A ∈ R <sup>n×n</sup> une matrice sym´ etrique et soit S k l’ensemble de tous les sous-espaces vectoriels de R <sup>n</sup> de dimension k. Comme A est sym´ etrique, elle est diagonalisable et on note λ 1 ≥ λ 2 ≥ . . . ≥ λ n ses valeurs propres. Le th´ eor` eme de Courant-Fischer est le suivant :

∀k ∈ {1, . . . , n}, λ k = sup

V ∈S

inf

x∈V,kxk

=1 hAx, xi.

1. V´ erifiez la formule pour k = 1.

2. Soit M ∈ R ^m×n une matrice arbitraire dont la k-i` eme valeur singuli` ere est not´ ee σ _k . Montrez que :

σ _k = sup

V ∈S

inf

x∈V,kxk

=1

kM xk ₂ .

1