3` eme ann´ee MIC

INSA TOULOUSE Ann´ ee 2015-2016 D´ epartement STPI

3` eme ann´ee MIC

Correction Examen

UV Des donn´ ees aux mod` eles Partie - Probl` emes inverses

I/ Exercices de chauffe

1. Rappelez au moins deux caract´ erisations des matrices sym´ etriques d´ efinies positives (SDP).

Correction : Les matrices SDP r´ eelles de taille n sont les matrices sym´ etriques A ∈ R

^n×n

qui satisfont une des quatres conditions suivantes :

– hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ R

ⁿ

.

– Toutes les valeurs propres de A sont strictement positives.

– L’application (x, y) 7→ hAx, yi d´ efinit un produit scalaire.

– Il existe une matrice B ∈ R

^n×n

inversible (souvent not´ ee A

^1/2

ou √

A) telle que A = B

²

. 2. Soit J (x) = hAx, xi o` u A ∈ R

^n×n

est une matrice arbitraire. D´ eterminez ∇J (x).

Correction : On a

J (x + h) = hA(x + h), (x + h)i

= hAx, xi + hAx, hi + hAh, xi + hAh, hi

= J(x) + hAx, hi + hh, A

^∗

xi + o(khk

²₂

).

Par identification de la partie lin´ eaire en h, on obtient ∇J (x) = Ax + A

^∗

x.

3. Soit A ∈ R

^m×n

une matrice arbitraire. Calculez les valeurs singuli` eres de la matrice B suivante en fonction de celles de A.

B =

0

m,m

A A

^∗

0

n,n

Correction : On a B

^∗

= B, d’o` u : B

^∗

B =

0 U ΣV

^T

V Σ

^T

U 0

0 UΣV

^T

V Σ

^T

U 0

=

U ΣΣ

^T

U

^T

0 0 V Σ

^T

ΣV

^T

=

U 0

0 V

ΣΣ

^T

0 0 Σ

^T

Σ

U

^T

0 0 V

^T

.

La matrix W =

U 0 0 V

est une matrice orthogonale. Dans la derni` ere ´ egalit´ e, on a donc obtenu une diagonalisation de B

^∗

B. Les valeurs propres de B

^∗

B se lisent sur la matrice diagonale

ΣΣ

^T

0 0 Σ

^T

Σ.

Elles sont ´ egales ` a σ

²_k

, le carr´ e des valeurs singuli` eres de A. Les valeurs singuli` eres de B sont ´ egales ` a la racine des valeurs propres de B

^∗

B. Donc les valeurs propres de B ordonn´ ees sont donc : (σ

₁

, σ

₁

, σ

₂

, σ

₂

, . . . , σ

_n

≥ σ

_n

).

II/ Probl` eme inverse

On pose

A =









3 1 2 1 0 0 2 1 2 4 0 0









1

1. D´ eterminez l’image de A.

Correction : On a Im(A) = vect















 3 1 2 4







 ,







 1 0 1 0















 .

2. D´ eterminez le rang de A.

Correction : On a rang(A) = dim(Im(A)) = 2, car les deux derni` eres colonnes sont lin´ eairement d´ ependantes.

3. On pose E = R

³

et F = vect















 3 1 2 4







 ,







 1 0 1 0

















. On consid` ere le probl` eme inverse suivant :

“Etant donn´ e b ∈ F , trouver x ∈ E tel que Ax = b”.

Est-ce que le probl` eme suivant est bien pos´ e pour des perturbations du second membre dans F ? Correction : Non. La solution n’est pas unique car deux colonnes sont lin´ eairement d´ ependantes.

4. Est-ce que le probl` eme suivant est bien pos´ e pour des perturbations du second membre dans R

⁴

?

Correction : Le probl` eme n’est pas bien pos´ e car pour des perturbations dans R

⁴

, la solution du probl` eme perturb´ e peut ne pas exister.

III/ Courant-Fischer

Le th´ eor` eme de Courant-Fischer est un r´ esultat fondamental qui caract´ erise les valeurs propres d’une matrice sym´ etrique. Soit A ∈ R

^n×n

une matrice sym´ etrique et soit S

_k

l’ensemble de tous les sous-espaces vectoriels de R

ⁿ

de dimension k. Comme A est sym´ etrique, elle est diagonalisable et on note λ

₁

≥ λ

₂

≥ . . . ≥ λ

_n

ses valeurs propres. Le th´ eor` eme de Courant-Fischer est le suivant :

∀k ∈ {1, . . . , n}, λ

k

= sup

V∈Sk

inf

x∈V,kxk2=1

hAx, xi. (1)

L’´ equation (1) devient ainsi

λ

1

= sup

V=vect(x),kxk2=1

hAx, xi. (2)

1. V´ erifiez la formule pour k = 1.

Correction : Si V est un sous-espace de dimension 1, il s’´ ecrit V = {αx, α ∈ R } pour un certain x 6= 0 de norme 1. Ainsi,

inf

x∈V,kxk2=1

hAx, xi = hAx, xi. (3)

et

sup

x∈Rⁿ,kxk2=1

hAx, xi. (4)

qui est une caract´ erisation des valeurs propres.

2. Soit M ∈ R

^m×n

une matrice arbitraire dont la k-i` eme valeur singuli` ere est not´ ee σ

k

. Montrez que : σ

k

= sup

V∈Sk

inf

x∈Sk,kxk2=1

kM xk

2

.

Correction : On pose

α

_k

= sup

V∈S_k

inf

x∈Sk,kxk2=1

kM xk

²₂

sup

V∈S_k

inf

x∈S_k,kxk2=1

hM x, M xi sup

V∈Sk

x∈S_k

inf

,kxk₂=1

hM

^∗

M x, xi.

La matrice M

^∗

M est une matrice sym´ etrique, donc α

_k

= λ

_k

(M

^∗

M ) = σ

_k²

(M ).

2