3` eme ann´ee MIC

INSA TOULOUSE Ann´ ee 2013-2014 D´ epartement STPI

3` eme ann´ee MIC

Examen (14/03/2014) – 1h UV Mod´ elisation

Partie - Probl` emes inverses

Documents autoris´ es, bar` eme indicatif.

Exercice 1 - Quelques propri´ et´ es ´ el´ ementaires de la SVD [10 pts]

Dans cet exercice, on consid` ere une matrice A ∈ R ^m×n . On note sa SVD A = U ΣV ^T avec U = [u ₁ , · · · , u _m ] et V = [v ₁ , · · · , v _n ].

1. Montrer que le nombre de valeurs singuli` eres de A est inf´ erieur ou ´ egal ` a min(m, n).

2. Dans cette question, on pose

A = 3 1

1 3

.

On rappelle que la SVD de A est donn´ ee par

A = U ΣV ^T =

√ 1

2 − ^{√ 1} ₂

√ 1 2

√ 1 2

! 4 0 0 2

√ 1

2 − ^{√ 1} ₂

√ 1 2

√ 1 2

! ^T .

On consid` ere la fonction

J : R ² → R

x 7→ ¹ ₄ hAx, Axi

o` u h·, ·i est le produit scalaire usuel. Sur un mˆ eme sch´ ema, dessiner, les lignes de niveau 1 et 2 de J ainsi que les vecteurs singuliers v 1 et v 2 . Pour une matrice A quelconque, comment pouvez retrouver les valeurs singuli` eres en tra¸ cant les lignes de niveau de J (x) ?

3. Montrer que si σ est une valeur singuli` ere de A alors il existe deux vecteurs v ∈ R ⁿ et u ∈ R ^m tels que Av = σu, A ^∗ u = σv et kuk 2 = kvk 2 = 1.

Exercice 2 - Tykhonov et norme de la solution [12 pts]

Soit A ∈ R ^m×n . On pose J α (x) = ¹ ₂ kAx − zk ² ₂ + ^α ₂ kxk ² ₂ o` u α ≥ 0 et z ∈ R <sup>m</sup> est une donn´ ee. On consid` ere le probl` eme suivant :

Trouver x(α) ∈ arg min

x∈ R

J α (x). (1)

1. Calculer ∇J α (x).

2. On pose α > 0. A quelle(s) condition(s) existe-t-il une solution ? Une solution unique ? 3. On pose α = 0. A quelle(s) condition(s) existe-t-il une solution ? Une solution unique ? 4. On d´ efinit le projecteur sur l’image de A par :

P _Im(A) (z 0 ) = arg min

z∈Im(A)

kz − z 0 k 2 .

On suppose que A est une matrice de rang r dont la SVD s’´ ecrit A = U ΣV ^T o` u U = [u ₁ , . . . , u _m ] ∈ R ^m×m et V = [v ₁ , . . . , v _n ] ∈ R ^n×n sont orthogonales. Donner l’expression de P _Im(A) (z) et de P _Im(A)

(z) en fonction de (u _i ) i∈{1,...,m} et (v _i ) i∈{1,...,n} .

5. Montrer que le probl` eme 1 est ´ equivalent ` a : Trouver x(α) ∈ arg min

x∈R

1

2 kAx − P _Im(A) (z)k ² ₂ + α 2 kxk ² ₂ .

1

6. On suppose α > 0. Montrer que x(α) = V (Σ ^T Σ + αI ) ⁻¹ Σ ^T U ^T z.

7. On pose x(α) = P n

i=1 λ i (α)v i et z = P m

i=1 γ i u i . D´ eterminer les valeurs λ i (α) en fonction de σ i et γ i . 8. Montrer que kλ(α)k 2 ≤ |||A|||·kzk

α .

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