Licence 2` eme ann´ ee Informatique

(1)

Universit´ e du Littoral Cˆ ote d’Opale Ann´ ee universitaire 2012–2013

Licence 2` eme ann´ ee Informatique

Calcul Formel & Courbes et Surfaces

Dur´ ee : 2 h le jeudi 20 juin

Documents et calculatrices personnelles autoris´ es

Les deux parties du devoir seront trait´ ees sur des copies diff´ erentes.

Calcul Formel

Exercice 1 (5 points). On pose p = 3 et q = 7 et e = 5 – 1) Calculer n = p · q puis φ(n).

– 2) Chercher d tel qu’on ait ed ≡ 1 mod φ(n).

– 3) Quels param` etres constituent la cl´ e publique ? Et la cl´ e priv´ ee ? – 4) Posons M = 3. Quel est le chiffr´ e C de M ?

– 5) Retrouver M ` a partir de C et de la cl´ e priv´ ee.

Exercice 2 (6 points). Notons E l’ensemble des polynˆ omes ` a coefficents sur Z de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal

`

a 9. On se propose de repr´ esenter un polynˆ ome de E par : struct{

int coeffs[10];

}Poly;

Le polynˆ ome 3x

⁸

+ 2x

²

− 1 aura alors le tableau [-1,0,2,0,0,0,0,0,3,0] comme coeffs.

– 1) Ecrire une fonction int degre(Poly P) qui retourne le degr´ e du polynome P.

– 2) Ecrire une fonction int eval(Poly P,int x) qui retourne le polynˆ ome P ´ evalu´ e en x.

– 3) Ecrire une fonction void racines(Poly P,int n) qui affiche toutes les racines enti` eres de P comprises entre -n et n.

– 4) Ecrire une fonction Poly deriv(Poly P) qui retourne le polynˆ ome d´ eriv´ e de P.

Exercice 3 (9 points). Les ´ el´ ements de F

ⁿ2

pourront ˆ etre not´ es sous forme de n-uplets ou de vecteurs colonnes. Soit φ le code correcteur d´ efini par

φ : F

²2

→ F

⁵2

(b

₁

, b

₂

, b

₃

) 7→ (b

₁

, b

₂

, b

₃

, b

₁

+ b

₂

, b

₁

+ b

₂

+ b

₃

) – 1) Quel est le param` etre du code φ ?

– 2) Quelle est l’image du code φ.

– 3) Quelle est la distance minimale de φ ?

– 4) Quelles sont les capacit´ es de d´ etection et de correction pour φ ? – 5) Le code φ est-il lin´ eaire ? syst´ ematique ?

– 6) Le code φ est-il MDS ?

– 7) Donner la matrice g´ en´ eratrice de φ.

– 8) Donner une matrice de contrˆ ole pour φ.

– 9) Calculer la table de d´ ecodage de φ.

– 10) D´ ecoder le mot 01010.

(2)

Courbe et Surfaces

Exercice 4 (10 points). Dans cet exercice on s’int´ etresse au tracet de demi-droites du deuxi` eme octant

`

a l’aide de l’algorithme de Bresenham. Soit D la demi-droite d’´ equation y = mx pour x > 0.

1 2 3 4

6 7

5 8

– 1) Pour quelles valeurs de m, la demi-droite D se trouve dans le second octant ?

Pour la suite on suppose que D est dans le second octant et que m est un entier. L’´ equation cart´ esienne de D est F

m

(x, y) = y −mx. Un point M = (x

M

, y

M

) appartient alors ` a D si et seulement si F

m

(x

M

, y

M

) vaut 0.

– 2) Quelle est le signe de F

_m

(x

_M

, y

_M

) pour un point M = (x

_M

, y

_M

) se trouvant en dessous de D.

Supposons que l’on trace ` a partir de x = 0 la demi-droite D. L’algorithme de Bresenham consiste alors ` a allumer successivement des points P

0

, P

1

, P

2

, .... On note (x

i

, y

i

) les coordonn´ ees du point P

i

.

– 3) Apr` es avoir allum´ e le point P

i

quels sont les deux pixels possibles parmi N, N E, E, SE, S, SO, O et N O pour P

i+1

? Faire un dessin peut ˆ etre tr` es utile.

NE

S SE SO O

NO N

Pi

E

On note M = (x

M

, y

M

) le point se trouvant au milieu du segment reliant les deux points possibles pour P

i+1

et Q l’intersection de ce mˆ eme segment avec la demi-droite D. On choisira alors pour P

i+1

le point du mˆ eme cˆ ot´ e que Q par rapport ` a M comme pour l’algorithme de trac´ e de segment vu en cours.

– 4) Calculer les coordonn´ ees (x

_M

, y

_M

) de M en fonction de (x

_i

, y

_i

).

– 5) En fonction du signe de F

m

(x

M

, y

M

) d´ eduire successivement, la position de M par rapport ` a la demi-droite D, la position de Q par rapport ` a M , les cordonn´ ees (x

i+1

, y

i+1

) du point P

i+1

.

– 6) Donner une expression δ

i

qui soit du mˆ eme signe que F

m

(x

M

, y

M

) mais n´ ecessitant uniquement des calculs sur les entiers. On cherchera une expression d´ evelopper de δ

i

de la forme K × F

m

(x

M

, y

M

) o` u K est un entier ne d´ ependant ni de m ni de i.

– 7) En fonction du choix pour P

_i+1

donner une formule liant δ

_i

` a δ

_i+1

.

Exercice 5 (10 points). Dans cet exercice, on calcule une courbe d’interpolation passant par les points P

0

= (−1, 0), P

1

= (0, 2) et P

2

= (1, 1). Le couple (x

i

, y

i

) d´ esigne les coordonn´ ees de P

i

pour i = 0, 1, 2.

Nous utilisons dans un premier temps un polynˆ ome d’interpolation de Lagrange

– 1) Calculer les polynˆ omes L

0

(X), L

1

(X) et L

2

(X) de Q [X ] tels que L

0

(−1) = 1, L

0

(0) = 0, L

0

(1) = 0, L

1

(−1) = 0, L

1

(0) = 1, L

1

(1) = 0, L

2

(−1) = 0, L

2

(0) = 0 et L

2

(1) = 1.

– 2) En d´ eduire le polynˆ ome P(X ) v´ erifiant P (−1) = 0, P (0) = 2 et P (1) = 1.

Nous utilisons maintenant une spline quadratique – 3) Rappeler la d´ efintion d’une spline qudaratique.

On note q

₀

et q

₁

les polynˆ omes constituant la spline quadratique d’interpolation de P

₀

, P

₁

et P

₂

– 4) Quelles sont les ´ equations que doivent v´ erifier les polynˆ omes q

i

?

Pour i = 0, 1, on pose q

_i

(x) = a

_i

(x − x

_i

)

²

+ b

_i

(x − x

_i

) + c

_i

– 5) Quelles sont les ´ equations que doivent satisfaire a

0

, a

1

, b

0

, b

1

, c

0

et c

1

. ?

– 6) Quel est le nombre d’´ equations ? d’inconnues ? combien manque t-il d’´ equations ?

– 7) Calculer les valeurs a

₀

, a

₁

, b

₀

, b

₁

, c

₀

, c

₁

puis les polynˆ omes q

₀

et q

₁

en ajoutant la condition initiale q

⁰₀

(x

₀

) = 0.

2