Licence 2` eme ann´ ee Informatique

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Universit´ e du Littoral Cˆ ote d’Opale Ann´ ee universitaire 2013–2014

Licence 2` eme ann´ ee Informatique

Calcul Formel & Courbes et Surfaces

Dur´ ee : 2 h le jeudi 3 juillet

Documents et calculatrices personnelles autoris´ es

Exercice 1. On pose p = 3 et q = 7 et e = 5 1. Calculer n = p · q puis ϕ(n).

2. D´ eterminer les ´ el´ ements inversibles de Z /12 Z et donner leurs inverses.

3. Chercher d tel qu’on ait ed ≡ 1 mod ϕ(n).

4. Quels param` etres constituent la cl´ e publique ? Et la cl´ e priv´ ee ? 5. Posons M = 3. Quel est le chiffr´ e C de M ?

6. Retrouver M ` a partir de C et de la cl´ e priv´ ee.

Exercice 2. Supposons que nous ayons une classe (ou structure) Matrice permettant de repr´ esenter les matrices carr´ ees ` a coefficients dans Z (les entiers sont repr´ esent´ es par le type int). Les fonctions utiles sont:

• Matrice M(n) qui cr´ ee une matrice de taille n × n;

• M[i][j] qui acc` ede au coefficient ` a la position (i, j) de la matrice M, les indices commen¸ cant ` a 1;

• M.taille qui retourne la taille de M.

Une matrice carr´ ee A = (a

i,j

) de taille n × n est dite sym´ etrique si a

i,j

est ´ egale ` a a

j,i

pour tous les couples (i, j) de {1, ..., n}

²

.

1. Parmi les matrices suivantes, lesquelles sont sym´ etriques :

A

1

= 1 2

2 1

, A

2

= 1 2

0 1

, A

3

=





1 1 −1

0 1 0

−1 0 1



 , A

4

=





2 −1 1

−1 1 2

1 2 −1





2. Ecrire en pseudo-langage ou en C++ une fonction est sym´ etrique(Matrice A) qui retourne true si A est sym´ etrique et false sinon.

Soit A = (a

i,j

) une matrice carr´ ee, la matrice transpos´ ee de A, not´ ee

^t

A est la matrice

^t

A = (a

j,i

).

Exemple :

A

5

=





2 1 3 3 2 1 1 3 2



 et

^t

A

5

=





2 3 1 1 2 3 3 1 2





3. Calculer la transpos´ ee des matrices A

1

, A

2

, A

3

et A

4

.

4. Ecrire en pseudo-langage ou en C++ une fonction transposee(Matrice A) qui retourne la transpos´ ee de la matrice A.

On dit qu’une matrice carr´ ee A est un carr´ e magique si les sommes des coefficients sur chaque ligne et chaque colonne sont ´ egales.

5. Trouver les trois carr´ es magiques parmi A

1

, A

2

, A

3

, A

4

et A

5

.

6. Ecrire en pseudo-langage ou en C++ les fonctions int somme ligne(Matrice A,int i) et int somme colonne(Matrice A,int j) qui retourne respectivement la somme des coefficients de la ligne i de A et la somme des coefficients de la colonne j de A.

7. Ecrire en pseudo-langage ou en C++ une fonction est carr´ e magique(Matrice A) qui retourne

true si A est un carr´ e magique et false sinon.

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Exercice 3. Les ´ el´ ements de F

ⁿ2

pourront ˆ etre not´ es sous forme de n-uplets ou de vecteurs colonnes ou de mot de longueur n sur l’alphabet {0, 1}. Soit ϕ le code correcteur d´ efini par

ϕ : F

²2

→ F

⁵2

b

1

b

2

7→





 b

₁

b

2

b

1

+ b

2

b

2

b

1







1. Quel est le param` etre du code ϕ?

2. Quelle est l’image du code ϕ.

3. Quelle est la distance minimale de ϕ?

4. Quelles sont les capacit´ es de d´ etection et de correction pour ϕ ? 5. Le code ϕ est-il lin´ eaire ? syst´ ematique ?

6. Le code ϕ est-il MDS ?

7. Donner la matrice g´ en´ eratrice de ϕ.

8. Donner une matrice de contrˆ ole pour ϕ.

9. Calculer la table de d´ ecodage de ϕ.

10. D´ ecoder les mots 01010 et 10011

Exercice 4. Soient q = (2, 2, 0, 1) et q

⁰

= (−1, 1, −1, 1) deux quaternions.

1. Calculer q + q

⁰

. 2. Calculer q × q

⁰

.

3. Calculer les normes de q et de q

⁰

. 4. Calculer q

^∗

le conjugu´ e de q.

5. Calculer q

⁻¹

l’inverse de q.

Exercice 5. Soient P

0

= (−1, 2), P

1

= (0, 1) et P

2

= (1, −1) quatre points du plan. Le couple (x

i

, y

i

) d´ esigne les coordonn´ ees de P

i

pour i = 0, 1, 2.

1. Calculer les polynˆ omes L

0

(X), L

1

(X ) et L

2

(X) de Q [X] v´ erifiant

L

0

(−1) = 1, L

0

(0) = 0, L

0

(1) = 0, L

1

(−1) = 0, L

1

(0) = 1, L

1

(1) = 0, L

2

(−1) = 0, L

2

(0) = 0 et L

2

(1) = 1.

2. En d´ eduire le polynˆ ome P (X ) de Q [X ] v´ erifiant P (0) = 1, P (1) = 0 et P (2) = 2.

Nous utilisons maintenant une spline quadratique 3. Rappeler la d´ efintion d’une spline qudaratique.

On note q

₀

et q

₁

les polynˆ omes constituant la spline quadratique d’interpolation de P

₀

, P

₁

et P

₂

4. Quelles sont les ´ equations que doivent v´ erifier les polynˆ omes q

i

?

Pour i = 0, 1, on pose q

i

(x) = a

i

(x − x

i

)

²

+ b

i

(x − x

i

) + c

i

5. Quelles sont les ´ equations que doivent satisfaire a

0

, a

1

, b

0

, b

1

, c

0

et c

1

. ?

6. Quel est le nombre d’´ equations ? d’inconnues ? combien manque t-il d’´ equations ?

7. Calculer les valeurs a

₀

, a

₁

, b

₀

, b

₁

, c

₀

, c

₁

puis les polynˆ omes q

₀

et q

₁

en ajoutant la condition initiale q

⁰₀

(x

₀

) = 0.

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