Pour chaque entier d ≥ 4, nous ´ etudions la suite des entiers positifs repr´ esent´ es par une des formes binaires cyclotomiques Φ

par les formes cyclotomiques de grand degr´ e

Etienne Fouvry & Michel Waldschmidt ´

Pour chaque entier d ≥ 4, nous ´ etudions la suite des entiers positifs repr´ esent´ es par une des formes binaires cyclotomiques Φ

(X, Y ) pour les n positifs tels que ϕ(n) ≥ d.

Le cas d = 2 a ´ et´ e ´ etudi´ e dans notre pr´ ec´ edent texte [FLW]. Notre d´ emonstration repose sur une variante d’un ´ enonc´ e de [SX] concernant les valeurs communes prises par deux formes binaires de mˆ eme degr´ e et de discriminants non nuls.

Toutes les constantes sont effectivement calculables.

1. Introduction

Rappelons ([FLW]) que la suite (Φ

(X, Y ))

des formes cyclotomiques est d´ efinie par la formule de r´ ecurrence

X

− Y

= Y

k|n

Φ

(X, Y ).

Le polynˆ ome Φ

(X, Y ) est homog` ene de degr´ e ϕ(n) (ϕ fonction indicatrice d’Euler) et il est reli´ e au polynˆ ome cyclotomique φ

(t) ∈ Z[t] par la formule

Φ

(X, Y ) = Y

φ

(X/Y ).

Puisque, pour n ≥ 3, le polynˆ ome φ

(t) n’a aucun z´ ero r´ eel, on a donc l’in´ egalit´ e Φ

(x, y) max(|x|

, |y|

),

uniform´ ement sur x et y r´ eels.

Pour N ≥ 2 et d entier pair, on d´ esigne par A

(N ) le cardinal de l’ensemble des entiers 1 ≤ m ≤ N tels qu’il existe un entier n et des entiers (x, y) v´ erifiant les trois conditions

(1.1)



 

 

ϕ(n) ≥ d, Φ

(x, y) = m, max(|x|, |y|) ≥ 2.

On s’int´ eresse au comportement asymptotique de A

(N ) pour d fix´ e et N tendant vers l’infini. Il est alors sage d’introduire la derni` ere condition de (1.1) puisque pour tout p premier on a Φ

(1, 1) = p et le cardinal des p ≤ N masquerait le terme principal de l’estimation qui sera donn´ ee en (1.6). Par convention, nous r´ eservons la lettre p aux nombres premiers. Enfin, si n est un entier impair, on a l’´ egalit´ e

Φ

(X, Y ) = Φ

(X, −Y ).

On peut ainsi ajouter, aux conditions de (1.1), la condition de congruence

(1.2) n 6≡ 2 mod 4,

sans modifier l’´ etude de A

(N ).

Appelons totient toute valeur prise par la fonction ϕ. La suite croissante des totients est ainsi

T := {1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 30, . . . }.

1

Cette suite contient la suite des p − 1 mais reste myst´ erieuse ` a de nombreux points de vue (on se reportera avec profit aux articles de Ford [Fo1] et [Fo2] traitant, entre autres choses, de la fonction de comptage de la suite T et du nombre de solutions ` a l’´ equation ϕ(n) = d ). Il est naturel de restreindre l’´ etude de A

(N ) au cas o` u d est un totient pair. L’´ etude de A

(N ) a ´ et´ e trait´ ee dans [FLW, Th´ eor` eme 1.3] o` u il est prouv´ e qu’il existe deux constantes C

= 1, 403132 . . . et C

= 0, 302316 . . . telles que, uniform´ ement pour N ≥ 2, on a l’´ egalit´ e

(1.3) A

(N ) = C

N (log N )

− C

N (log N )

+ O N

(log N )

! .

Les constantes C

et C

se d´ efinissent au moyen des valeurs, au point s = 1, de certaines fonctions de Dirichlet L(s, χ) o` u χ est le caract` ere de Kronecker attach´ e aux corps quadratiques de discriminants −4, −3 et 12.

Pour d totient ≥ 4, les outils de [FLW] conduisent ` a la majoration (1.4) A

(N ) = O N

(log N )

, (voir corollaire 4.11 et sa preuve ci–dessous).

Par rapport ` a [FLW], le pr´ esent travail innove en injectant r´ esultats et m´ ethodes de [SX] que nous d´ ecrirons au §2. Contentons–nous pour l’instant de donner notre r´ esultat principal qui am´ eliore notablement (1.4). Pour son ´ enonc´ e, nous introduisons les notations suivantes :

• si d est un totient, on note d

le successeur imm´ ediat de d dans la suite T.

• pour d entier ≥ 3, on pose

(1.5) η

=



 

 

2/9 + 73/(108 √

3) si d = 3, (1/2 + 9/(4 √

d))/d si 4 ≤ d ≤ 20, 1/d pour d ≥ 21.

On prouvera donc le

Th´ eor` eme 1.1. — Soit d ≥ 4 un totient. Alors, il existe une constante C

> 0, telle que, pour tout ε > 0 et uniform´ ement pour N ≥ 2, on a l’´ egalit´ e

(1.6) A

(N ) = C

N

+ O(N

) + O

(N

).

Remarque 1.2. — La formule (1.6) est d’autant plus pr´ ecise que d

− d est grand.

Ainsi, dans le cas particulier o` u d ≥ 6, la minoration triviale d

≥ d + 2,

r´ eduit la formule (1.6) en sa forme plus grossi` ere

A

(N ) = C

N

+ O(N

).

Remarque 1.3. — Le th´ eor` eme 1.1 suppose d ≥ 4. La formule (1.3) correspond donc au cas d = 2. Mais, par la pr´ esence au d´ enominateur du facteur (log N )

, elle diff` ere notablement de (1.6). Cette diff´ erence s’explique comme suit. Il y a trois formes cyclotomiques de degr´ e 2. Ce sont les trois formes quadratiques binaires (1.7)

Φ

(X, Y ) = X

+ XY + Y

, Φ

(X, Y ) = X

+ Y

, et Φ

(X, Y ) = X

− XY + Y

.

Puisque Φ

(X, −Y ) = Φ

(X, Y ) les formes Φ

et Φ

repr´ esentent les mˆ emes entiers.

Mais les formes Φ

et Φ

` a la diff´ erence des formes cyclotomiques de degr´ e au moins 4, ont un nombre infini d’automorphismes comme d´ efinis au §4.4. Par exemple on a AutΦ

= O(2, Q ) (le groupe des matrices orthogonales 2 × 2 ` a coefficients dans Q ).

L’objet des th´ eor` emes 1.4 et 1.6 est de compl´ eter la formule (1.6). Nous pr´ ecisons d’abord la constante C

.

Th´ eor` eme 1.4. — Soit d ≥ 4 un totient. La constante C

de la formule (1.6) v´ erifie l’´ egalit´ e

(1.8) C

= X

n6≡2 mod 4 ϕ(n)=d

w

A

o` u

(1.9) w

:=

(

4

si 4 - n,

1

8

si 4 | n, et

A

= Z Z

Φn(x,y)≤1

dxdy.

Voici deux exemples dans lesquels la formule (1.8) donnant la valeur de la con- stante C

se simplifie.

1. Soit p ≥ 5 un nombre premier de Sophie Germain, c’est-` a-dire tel que le nombre

` = 2p + 1 soit premier. Alors ` est l’unique entier 6≡ 2 mod 4 tel que ϕ(`) = 2p et on a l’´ egalit´ e

C

= 1 4 A

.

On conjecture qu’il y a une infinit´ e de nombres premiers de Sophie Germain.

2. Supposons que d ≥ 4 est une puissance de 2, disons d = 2

.

On d´ esigne par M l’ensemble des nombres entiers m ≥ 1 dont le d´ eveloppement binaire m = 2

+ 2

+ · · · + 2

est tel que chacun des nombres F

= 2

+ 1 est premier (nombre premier de Fermat). L’ensemble M contient les entiers 1, 2, 3, . . . , 31; on ne connaˆıt pas d’autre ´ el´ ement de M.

Pour chaque m ∈ M v´ erifiant m ≤ k, on d´ efinit

`

(m) = 2

F

F

· · · F

,

de sorte que ϕ(`

(m)) = 2

. Les entiers n 6≡ 2 mod 4 tels que ϕ(n) = d sont d’une part n = 2d, qui est multiple de 4, d’autre part les `

(m) avec m < k, qui sont aussi multiples de 4, et enfin, si k ∈ M, `

(k)/2 qui est impair, avec A

= A

. Alors

C

=



 

 



 

 

 1

8 A

+ 1 8

X

m∈M m<k

A

si k 6∈ M, 1

8 A

+ 1 8

X

m∈M m<k

A

+ 1

4 A

si k ∈ M, avec

A

= Z

−∞

dt

(1 + t

)

= 2 d

Γ(1/d)

Γ(2/d)

(cf. §6.1 et [SX, Corollaire 1.3 et § 5]).

Nous montrerons que l’on a

n→∞

lim A

= 4.

C’est une cons´ equence de l’´ enonc´ e plus pr´ ecis suivant, concernant le domaine fon- damental cyclotomique O

d´ efini par

O

= {(x, y) ∈ R

| Φ

(x, y) ≤ 1}.

Th´ eor` eme 1.5. — Soit ε > 0. Il existe n

= n

(ε) tel que, pour n ≥ n

, le domaine fondamental cyclotomique O

d’indice n contient le carr´ e centr´ e en O de cˆ ot´ e 2 − n

et est contenu dans le carr´ e centr´ e en O de cˆ ot´ e 2 + n

.

Enfin nous discutons de l’optimalit´ e de la formule (1.6)

Th´ eor` eme 1.6. — On adopte les notations du th´ eor` eme 1.1. Soit d ≥ 4 un entier tel que d et d + 2 soient des totients. Il existe une constante positive v

> 0 telle que pour N suffisamment grand, on ait l’in´ egalit´ e

A

(N ) ≥ C

N

+ v

N

.

Remarque 1.7. — Il est naturel de conjecturer qu’il y a une infinit´ e de d tels que d + 2 soit aussi un totient : c’est une cons´ equence de la conjecture des nombres premiers jumeaux. Enfin, on peut tout ` a fait envisager des ´ enonc´ es analogues sous l’hypoth` ese d

= d + ν o` u ν est un entier pair fix´ e. Cette extension n´ ecessiterait une adaptation des propri´ et´ es de confinement d´ ecrites aux §4.1, §4.2 et §4.3.

2. Valeurs prises par une forme binaire

L’objet de cette section est de d´ ecrire pr´ ecis´ ement le r´ esultat de Stewart et Xiao [SX]. Ce r´ esultat d´ eja mentionn´ e plus haut est ` a la base de notre travail. Dans toute cette section F = F(X, Y ) est un polynˆ ome homog` ene de Z[X, Y ] de degr´ e d ≥ 3.

On dit alors que F est une forme binaire de degr´ e d. Un entier m est dit repr´ esent´ e par une forme binaire F s’il existe (x, y) ∈ Z

tel que F (x, y) = m. On d´ esigne par R

(N ) le cardinal de l’ensemble des entiers m repr´ esent´ es par F et v´ erifiant 0 ≤ |m| ≤ N. On appelle automorphisme de F toute matrice U de Gl(2, Q )

U =

u

u

u

u

, telle que

(2.1) F (X, Y ) = F(u

X + u

Y, u

X + u

Y ).

Muni de la multiplication des matrices, l’ensemble des automorphismes de F forme un sous–groupe fini de Gl(2, Q), not´ e AutF . Il existe alors une ensemble G de dix sous–groupes finis de Gl(2, Z ) tel que que pour toute forme binaire F de degr´ e d ≥ 3, il existe T ∈ Gl(2, Q) et un unique G ∈ G v´ erifiant

AutF = T GT

.

L’ensemble G contient en particulier les deux groupes suivants

1. D

, groupe di´ edral ` a quatre ´ el´ ements, engendr´ e par 0 1

1 0

et

−1 0 0 −1

, 2. D

, groupe di´ edral ` a huit ´ el´ ements, engendr´ e par

0 1 1 0

et

0 1

−1 0

.

A partir de la d´ ` ecomposition pr´ ec´ edente, Stewart et Xiao construisent un nombre rationnel W

(voir [SX, Theorem 1.2]) dont la d´ efinition, de nature alg´ ebrique, est longue puisqu’elle envisage les dix possibilit´ es pour G. Disons, pour m´ emoire, que W

tient compte des d´ eterminants des r´ eseaux de Z

dont l’image, par certains sous–groupes de AutF , est incluse dans Z

. En vue des applications, nous nous restreignons ` a deux cas particuliers

1. Cas o` u G = D

. Soit Λ le sous–r´ eseau des ´ el´ ements (v, w) ∈ Z

tels que, pour tout A ∈ AutF on ait A

v w

∈ Z

. On pose alors

(2.2) W

= 1

2

1 − 1

2| det(Λ)|

.

2. Cas o` u G = D

. D’abord Λ est d´ efini comme pr´ ec´ edemment. Le groupe AutF poss` ede exactement trois sous–groupes de cardinal 4, not´ es G

, G

et G

. On d´ esigne par Λ

(1 ≤ i ≤ 3) le sous–r´ eseau des ´ el´ ements (v, w) ∈ Z

tels que, pour tout A ∈ G

on ait A

v w

∈ Z

. On pose alors (2.3) W

= 1

2

1 − 1

2| det(Λ

)| − 1

2| det(Λ

)| − 1

2| det(Λ

)| + 3 4| det(Λ)|

. Notons

A

:=

Z Z

|F(x,y)|≤1

dxdy,

l’aire de la r´ egion fondamentale associ´ ee ` a F . Enfin, pour d ≥ 4 entier pair, nous introduisons la constante β

d´ efinie par

(2.4) β

=

( 3/(d √

d) pour d = 4, 6, 8 1/d pour d ≥ 10.

Nous pouvons maintenant ´ enoncer le r´ esultat fondamental de [SX, Theorem 1.1].

Th´ eor` eme 2.1. — Pour tout d ≥ 3 il existe une constante β

< 2/d ayant la propri´ et´ e suivante : Pour toute forme binaire F de degr´ e d, de discriminant non nul, pour tout ε > 0, on a, uniform´ ement pour N ≥ 2 l’´ egalit´ e

(2.5) R

(N ) = A

W

N

+ O

(N

).

Si, dans la formule (2.5), on se restreint aux formes binaires F de degr´ e pair d ≥ 4,

de discriminant non nul, sans facteur lin´ eaire r´ eel, on peut donner ` a β

la valeur

β

, d´ efinie en (2.4).

3. Valeurs communes ` a deux formes binaires

Aux formes binaires F

= F

(X

, X

) et F

= F

(X

, X

) on associe les deux fonctions de comptage suivantes :

1. Pour B ≥ 2, N

(B) est le cardinal de l’ensemble n

(x

, x

, x

, x

) ∈ Z

| max

i=1,2,3,4

|x

| ≤ B, F

(x

, x

) = F

(x

, x

) o . 2. Pour N ≥ 2, R

(N ) est le cardinal de l’ensemble

n

n | |n| ≤ N, n = F

(x

, x

) = F

(x

, x

), pour certains (x

, x

, x

, x

) ∈ Z

o

. G´ en´ eralisant la d´ efinition (2.1), on dit que F

et F

sont isomorphes s’il existe U ∈ Gl(2, Q ) tel que

(3.1) F

(X

, X

) = F

(u

X

+ u

X

, u

X

+ u

X

).

En particulier deux formes isomorphes ont mˆ eme degr´ e. Nous prouverons au §3.1 le Th´ eor` eme 3.1. — Soient F

et F

deux formes non isomorphes de mˆ eme degr´ e d ≥ 3. On suppose de plus que les discriminants de F

et de F

sont non nuls et qu’au moins une des formes F

n’est pas divisible par une forme lin´ eaire non nulle

`

a coefficients rationnels. Alors, pour tout ε > 0 on a la majoration (3.2) N

(B) = O(B

),

o` u η

est d´ efini en (1.5).

Remarque 3.2. — La condition que l’une des formes F

et F

ne contient pas de facteur lin´ eaire sur Q est importante. Consid´ erons les deux formes

F

(X

, X

) = X

(X

+ X

) et

F

(X

, X

) = X

(X

+ 2X

).

Elles ne sont pas isomorphes. L’´ egalit´ e F

(0, x

) = F

(0, x

) = 0 implique l’in´ egalit´ e N

(B) B

, ce qui est sup´ erieur ` a la partie droite de (3.2).

Du th´ eor` eme 3.1 nous d´ eduirons le

Corollaire 3.3. — Soient F

et F

deux formes v´ erifiant les hypoth` eses du th´ eor` eme 3.1. On suppose de plus que les deux formes F

et F

sont d´ efinies positives.

Alors pour tout ε > 0 on a l’in´ egalit´ e

R

(N ) N

.

D´ emonstration du corollaire 3.3. — Les hypoth` eses impliquent les in´ egalit´ es

| F

(x

, x

) | max(|x

|, |x

|) et | F

(x

, x

) | max(|x

|, |x

|), uniform´ ement pour x

∈ R . Par cons´ equent, si on a

−N ≤ F

(x

, x

) = F

(x

, x

) ≤ N, on a alors

i=1,2,3,4

max |x

| N

.

Il suffit alors de remplacer B par O(N

) dans la majoration (3.2).

3.1. Preuve du th´ eor` eme 3.1. — Puisque les formes F

et F

sont de discrimi- nants non nuls, l’hypersurface X de P

(C) d´ efinie par l’´ equation

(3.3) X : F

(X

, X

) − F

(X

, X

) = 0

est lisse. Nous inspirant de [SX], nous d´ ecomposons N

(B) en (3.4) N

(B) = N

1,F2

(B) + N

1,F2

(B) + 1, o` u

• N

1,F2

(B ) est le nombre de quadruplets non nuls (x

, x

, x

, x

) de Z

, v´ erifiant max |x

| ≤ B , et tels que le point projectif associ´ e (x

: x

: x

: x

) appartienne ` a X , mais ne se situe pas sur une droite (complexe) contenue dans X ,

• N

1,F2

(B ) est le nombre de quadruplets non nuls (x

, x

, x

, x

) de Z

, v´ erifiant max |x

| ≤ B , et tels que le point projectif associ´ e (x

: x

: x

: x

) appartienne ` a une droite (complexe) contenue dans X.

Nous prouverons d’abord la

Proposition 3.4. — Pour tout ε > 0 et uniform´ ement pour B ≥ 1, on a l’in´ egalit´ e

N

1,F2

(B) B

. Puis la

Proposition 3.5. — Uniform´ ement pour B ≥ 1, on a l’in´ egalit´ e N

1,F2

(B) B.

En combinant ces deux propositions et la formule (3.4) on compl` ete la preuve du th´ eor` eme 3.1.

3.1.1. Preuve de la Proposition 3.4. — Si x = (x

: x

: x

, : x

) est un point de P

( Q ), on d´ esigne par h(x) la hauteur de x, c’est–` a–dire le maximum des |x

|, si (x

, x

, x

, x

) est un quadruplet d’entiers premiers entre eux dans leur ensemble, repr´ esentant x. Notons aussi N

( X , B) le cardinal de l’ensemble des x de P

( Q ) appartenant ` a X mais non situ´ es sur une droite contenue dans X et de hauteur h(x) ≤ B. En d´ ecomposant suivant la valeur δ du pgcd de (x

, x

, x

, x

) on d´ eduit l’in´ egalit´ e

(3.5) N

1,F2

(B) ≤ X

1≤δ≤B

N

( X , B/δ).

Un r´ esultat de Salberger [Sa, Theorem 0.1], donne l’in´ egalit´ e N

( Y , B) B

valable pour toute surface projective Y ⊂ P

( Q ), g´ eom´ etriquement int` egre de degr´ e d > 2. La surface X v´ erifie cette propri´ et´ e. En effet supposons qu’il existe des polynˆ omes A et B de degr´ e ≥ 1 tels que

F

(X

, X

) − F

(X

, X

) = A(X

, X

, X

, X

)B(X

, X

, X

, X

).

Calculant les d´ eriv´ ees partielles par rapport ` a chacun des X

, on voit que tout point (x

: x

: x

: x

) de P

( C ) tel que

A(x

, x

, x

, x

) = B(x

, x

, x

, x

) = 0,

est un point singulier de X . Puisqu’on est dans P

( C ), les deux surfaces d’´ equation A = 0 et B = 0 ont une intersection non vide. Ainsi X serait singuli` ere, ce qui contredit la propri´ et´ e de lissit´ e ´ enonc´ ee au §3.1.

Il suffit de sommer sur δ < B l’in´ egalit´ e (3.5) pour compl´ eter la preuve de la Proposition 3.4.

3.1.2. Droites contenues dans X . — Afin de d´ emontrer la Proposition 3.5, nous donnons des conditions n´ ecessaires pour qu’une droite projective de P

(C) apparti- enne ` a X en exploitant le fait que dans l’´ equation (3.3) d´ efinissant X , les paires de variables (X

, X

) et (X

, X

) sont s´ epar´ ees.

Lemme 3.6. — Sous les hypoth` eses du th´ eor` eme 3.1, si une droite projective de P

( C ) appartient ` a l’hypersurface X d´ efinie par (3.3) et contient un point rationnel, elle est d´ efinie par des ´ equations

(3.6)

( X

= u

X

+ u

X

X

= u

X

+ u

X

, o` u l’un au moins des u

est irrationnel.

D´ emonstration. — Pour a = (a

, a

, a

, a

) et b = (b

, b

, b

, b

) deux quadruplets non nuls et non proportionnels de nombres complexes, on suppose que la droite projective D

de P

(C) d´ efinie par les ´ equations

(3.7) D

:

( a

X

+ a

X

+ a

X

+ a

X

= 0 b

X

+ b

X

+ b

X

+ b

X

= 0 est contenue dans X et contient un point rationnel.

• Si a

= a

= 0 et a

6= 0, on substitue X

= −(a

/a

)X

dans la deuxi` eme

´

equation de (3.7) qui devient ainsi

(3.8) b

X

+ b

X

= a

b

− a

b

a

X

.

Si a

b

− a

b

= 0, cela signifie que X contient une droite de la forme (3.9)

( a

X

+ a

X

= 0 b

X

+ b

X

= 0.

Exploitant la forme particuli` ere de l’´ equation (3.3) d´ efinissant X , on d´ eduit b

X

+ b

X

divise F

(X

, X

) et a

X

+ a

X

divise F

(X

, X

).

Compte tenu de l’hypoth` ese sur les F

, ces conditions de divisibilit´ e contredisent l’hypoth` ese qu’il y a un point rationnel sur la droite d´ efinie par (3.9).

Si a

b

−a

b

6= 0, on remplace X

par la valeur donn´ ee par la premi` ere ´ equation de (3.7) et X

par la valeur donn´ ee en (3.8) conduisant ` a

F

(X

, X

) = F

(X

, X

) = (a

b

− a

b

)

F

(−a

, a

)(b

X

+ b

X

)

, ce qui contredit l’hypoth` ese que le discriminant de F

est non nul.

• Si a

= a

= 0 et a

6= 0, par le mˆ eme type de raisonnement suivi pr´ ec´ edemment, on est ramen´ e au cas o` u (a

, a

) 6= (0, 0).

• Par sym´ etrie, on suit le mˆ eme raisonnement dans les trois cas suivants : si a

=

a

= 0, si b

= b

= 0 ou si b

= b

= 0.

• En conclusion de la discussion pr´ ec´ edente, nous avons prouv´ e que si D

, contenue dans X, poss` ede un point rationnel, on a n´ ecessairement

(3.10) (a

, a

), (a

, a

), (b

, b

), et (b

, b

) sont 6= (0, 0).

• Supposons maintenant a

b

= a

b

et a

6= 0. Multipliant la premi` ere ´ equation de (3.7) par −b

et la seconde par a

, on obtient que dans ce cas le syst` eme d’´ equations d´ efinissant D

est ´ equivalent ` a

( a

X

+ a

X

+ a

X

+ a

X

= 0 (a

b

− a

b

)X

+ (a

b

− a

b

)X

= 0.

Or (3.10) a ´ elimin´ e le cas (b

, b

) = (0, 0). On en d´ eduit que l’hypoth` ese a

b

= a

b

et a

6= 0 est impossible.

• Supposons maintenant a

b

= a

b

et a

6= 0. Mais ce cas est impossible par un raisonnement identique. Puisque par (3.10) le cas (a

, a

) = (0, 0) est interdit, on est ramen´ e ` a supposer que a

b

6= a

b

.

• Pour finir on suppose donc que a

b

6= a

b

. Par r´ esolution d’un syst` eme (2,2) en les inconnues X

et X

et de d´ eterminant non nul, on voit que le syst` eme (3.7) est

´

equivalent ` a

( X

= u

X

+ u

X

X

= u

X

+ u

X

, o` u les u

sont des nombres complexes. On a donc l’´ egalit´ e (3.11) F

(X

, X

) = F

(u

X

+ u

X

, u

X

+ u

X

).

Si det

u

u

u

u

= 0, cela signifie que par exemple, on a, pour un certain λ complexe, l’´ egalit´ e u

X

+ u

X

= λ(u

X

+ u

X

) donc en reportant, on d´ eduit l’´ egalit´ e

F

(X

, X

) = (u

X

+ u

X

)

F

(λ, 1), ce qui contredit l’hypoth` ese de non nullit´ e du discriminant de F

.

Si det

u

u

u

u

6= 0, par (3.11) on voit que les formes F

et F

sont isomorphes par un changement de variables lin´ eaires ` a coefficients complexes. L’hypoth` ese de non isomorphisme, sur Gl(2, Q), de F

et F

implique que parmi les u

l’un au moins est irrationnel.

Ceci termine la d´ emonstration du lemme 3.6.

3.1.3. Preuve de la proposition 3.5. — On sait que pour tout d ≥ 3, il existe un entier `(d), tel que, toute surface lisse de P

(C) de degr´ e d contient au plus `(d) droites. Pour des ´ etudes fines concernant cette constante `(d) on se reportera ` a [Se]

et ` a [BS] par exemple.

Grˆ ace au lemme 3.6, on est ramen´ e ` a d´ enombrer l’ensemble des quadruplets d’entiers (x

, . . . , x

) avec max |x

| ≤ B, v´ erifiant

( x

= u

x

+ u

x

x

= u

x

+ u

x

,

sachant que l’un au moins des u

est irrationnel. Disons que c’est u

.

– si dim

(1, u

, u

) = 3, la seule solution en (x

, x

, x

) ∈ Z

de l’´ equation

x

= u

x

+ u

x

est (0, 0, 0),

– si dim

(1, u

, u

) = 2, on exprime u

= a + bu

, avec a et b rationnels et on est ramen´ e ` a l’´ equation

x

− ax

= (x

+ bx

)u

,

qui implique x

−ax

= x

+bx

= 0. Donc le syst` eme (3.6) admet O(B) quadruplets (x

, . . . , x

) solutions de hauteur inf´ erieure ` a B.

Ceci termine la preuve de la proposition 3.5.

4. Quelques propri´ et´ es des formes cyclotomiques

Dans ce paragraphe nous prouvons quelques r´ esultats g´ en´ eraux concernant les formes cyclotomiques Φ

(X, Y ) dont le degr´ e est d = ϕ(n). Ces divers r´ esultats seront n´ ecessaires lors de la preuve des th´ eor` emes 1.1, 1.4, 1.5 et 1.6. En parti- culier les r´ esultats des sections §4.1, §4.2 et §4.3. ne seront utilis´ es que pour la preuve du Th´ eor` eme 1.6. Nous rappelons d’abord plusieurs formules classiques sur les Φ

(X, Y ). Ces formules ne sont que la version homog` ene des formules correspon- dantes sur les φ

(x).

Nous rappelons certaines notations et conventions : si n ≥ 1 est un entier, on d´ esigne par µ(n) la valeur de la fonction de M¨ obius, ω(n) est le nombre de facteurs premiers distincts de n, κ(n) est le radical de n, c’est–` a–dire le produit de tous les premiers divisant n, d(n) le nombre de diviseurs. On dit que deux nombres rationnels u et v sont congrus modulo le nombre premier p si on a u−v ∈ p Z

, o` u Z

est l’anneau des entiers p–adiques.

Si n ≥ 2 est factoris´ e en n := p

m, avec p - m et r ≥ 1, la forme Φ

v´ erifie les identit´ es suivantes

Φ

(X, Y ) = Y

d|n

(X

− Y

)

,

(4.1) Φ

(X, Y ) = Φ

(X

, Y

) Φ

(X

, Y

) , et

Φ

(X, Y ) = Φ

(X

, Y

).

Par it´ eration de cette derni` ere formule, on parvient ` a (4.2) Φ

(X, Y ) = Φ

(X

, Y

).

Nous rappelons quelques valeurs de φ

en certains points :

(4.3) φ

(1) =



 

 

0 si n = 1,

p si n = p

(k ≥ 1), 1 si ω(n) ≥ 2, et

(4.4) φ

(−1) =



 

 

 



 

 

 



−2 si n = 1,

φ

(1) si n ≥ 2, 2kn,

1 si n ≥ 3, 2 - n,

1 si n ≥ 4, 4|n, n 6= 2

,

2 si n ≥ 4, n = 2

.

Pour majorer les coefficients de Φ

nous utiliserons le r´ esultat suivant, dˆ u ` a P. Bate- man [Ba, p.1181]. Quand P est un polynˆ ome, nous d´ esignons par L(P ) (longueur de P ) la somme des valeurs absolues des coefficients de P .

Lemme 4.1. — Pour tout n ≥ 1, on a L(φ

) ≤ n

.

Les majorations classiques des fonctions arithm´ etiques d(n) et ϕ(n) impliquent alors que pour tout ε > 0 et pour n suffisamment grand, on a

(4.5) ϕ(n)L(φ

) ≤ e

.

4.1. Propri´ et´ es de confinement modulo p. — Nous prouvons que pour tout a et b entiers Φ

(a, b) est, pour tout m divisant n, restreint ` a quelques classes de congruence modulo m.

Proposition 4.2. — Soient n ≥ 2 et p un premier divisant n. Alors pour tout a et b de Z on a

(4.6) Φ

(a, b) ≡ 0, 1 mod p.

D´ emonstration. — Remarquons d’abord que lorsque p = 2 ou lorsque b ≡ 0 mod p, l’´ enonc´ e pr´ ec´ edent est trivial. Enfin on peut se restreindre au cas

n sans facteur carr´ e.

C’est une cons´ equence de l’inclusion des images Φ

( Z , Z ) ⊂ Φ

( Z , Z ), qui se d´ eduit directement de (4.2). Commen¸ cons par le cas o` u n est un nombre premier. On a

Lemme 4.3. — Soient p ≥ 3 un nombre premier, a et b deux entiers. Alors on a les congruences

1. Si a 6≡ b mod p, on a

Φ

(a, b) ≡ 1 mod p, 2. Si a ≡ b mod p, on a

Φ

(a, b) ≡ pa

mod p

.

D´ emonstration du lemme 4.3. — C’est une cons´ equence de la formule a

≡ a mod p. Dans le premier cas, on ´ ecrit

Φ

(a, b) = (a

− b

)/(a − b) ≡ (a − b)/(a − b) ≡ 1 mod p.

Dans le second cas, on ´ ecrit

Φ

(a, b) = a

+ a

b + · · · + ab

+ b

,

on pose b = a + pt avec t entier et on d´ eveloppe suivant la formule du binˆ ome pour obtenir le r´ esultat.

Poursuivons la d´ emonstration de la proposition 4.2. On suppose donc que n est sans facteur carr´ e et on pose

n = pm = pp

· · · p

. Par it´ eration de (4.1), on a l’´ egalit´ e

(4.7) Φ

(a, b) = Y

m1|m

Φ

(a

, b

)

.

Ceci nous am` ene ` a d´ ecomposer le produit ` a droite de l’´ egalit´ e (4.7) en Φ

(a, b) = Φ

(a, b) ˜ Φ

(a, b),

o` u Φ

correspond ` a la condition a

6≡ b

mod p et ˜ Φ le produit compl´ ementaire.

Par le lemme 4.3, on a Φ

(a

, b

) ≡ 1 mod p si et seulement si a

6≡ b

mod p. Ceci implique que Φ

(a, b) est un nombre rationnel qui est produit et quotient d’entiers congrus ` a 1 mod p. C’est donc un nombre rationnel congru ` a 1 mod p.

Par d´ efinition, on a l’´ egalit´ e

(4.8) Φ ˜

(a, b) := Y

m1|m (a/b)^m1≡1 modp

Φ

(a

, b

)

.

D’apr` es ce qui pr´ ec` ede, pour compl´ eter la preuve de la congruence (4.6), il reste ` a prouver que ˜ Φ

(a, b) est un rationnel congru ` a 0 ou 1 mod p.

Soit ` l’ordre de (a/b) modulo p. Ainsi ` divise p − 1 et le produit apparaissant dans (4.8) est sur les m

tels que

` divise m

et m

divise m.

Ce produit est vide lorsque ` - m; c’est par exemple le cas si a 6≡ b mod p et si (p − 1, m) = 1. On suppose donc que ` | m. Quitte ` a r´ eindicer les p

, on peut supposer que ` est de la forme

` = p

· · · p

,

avec 1 ≤ r ≤ t, avec la convention que ` = 1 si r = 1. Posant alors h = p

· · · p

= m/` et m

= `m

, on r´ ecrit la d´ efinition (4.8) comme

(4.9) Φ ˜

(a, b) := Y

m2|h

Φ

(a

, b

)

. On articule la discussion suivant plusieurs cas.

• si h = 1, le produit apparaissant dans (4.9) ne contient qu’un seul terme

`

a savoir Φ

(a

, b

). Il est congru ` a 0 mod p, d’apr` es le lemme 4.3.2.

• si h 6= 1, en utilisant la formule de M¨ obius, on ´ ecrit (4.9) sous la forme Φ ˜

(a, b) = Y

m2|h

Φ

(a

, b

) p

,

o` u maintenant chaque fraction du produit est congrue ` a a

modulo p (lemme 4.3.2). Ainsi chacune de ces fractions est un entier premier ` a p. Le nombre rationnel Φ ˜

(a, b) v´ erifie donc

Φ ˜

(a, b) ≡ a

P

m2|hµ(h/m2)

≡ 1 mod p,

en utilisant de nouveau la formule de M¨ obius. Ceci termine la preuve de la proposi- tion 4.2.

4.2. Propri´ et´ es de confinement modulo 9. — Par la proposition 4.2, on sait

que si 3 | n, on a Φ

(a, b) ≡ 0, 1 mod 3. Ce n’est pas assez satisfaisant pour la future

application. Nous utiliserons une version plus pr´ ecise avec la

Proposition 4.4. — Soit k ≥ 2. Alors pour tout a et tout b entiers, on a la congruence

Φ

(a, b) ≡ 0, 1, 3 mod 9.

D´ emonstration. — Les cubes modulo 9 forment l’ensemble Q(9) := {0, 1, −1}.

Or

Φ

(u, v) = u

+ uv + v

.

Si u et v parcourent l’ensemble Q(9) on voit que Φ

(u, v) parcourt l’ensemble E = {0, 1, 3 mod 9}.

Pour terminer la preuve de la proposition, il suffit d’utiliser le fait que Φ

(a, b) = Φ

(a

, b

),

cons´ equence de (4.2).

4.3. Propri´ et´ es de confinement modulo 4. — Nous envisageons maintenant le cas o` u n est pair. Par la remarque (1.2), on peut mˆ eme supposer que 4 | n et on

´

ecrit que 2

kn avec k ≥ 2.

1. Soit a pair et b impair. Par application it´ er´ ee de (4.1), on voit Φ

(X, Y ) est produit et quotient de polynˆ omes de la forme Φ

(X

, Y

) o` u α et β sont des nombres impairs. Puisque Φ

(X, Y ) = X

+ Y

et k ≥ 2, on d´ eduit que Φ

(a

, b

) ≡ 0 + 1 ≡ 1 mod 4 et, par cons´ equent, que

Φ

(a, b) ≡ 1 mod 4.

2. Soit a et b pairs. Puisque Φ

(X, Y ) est somme de monˆ omes de la forme c

X

Y

avec µ + ν = ϕ(n) et c

entier, on voit que 4 | c

a

b

, d’o` u

Φ

(a, b) ≡ 0 mod 4.

3. Supposons a ≡ b ≡ 1 mod 4. On ´ ecrit Φ

(a, b) = b

φ

(a/b) ≡ φ

(1) mod 4.

Et, d’apr` es (4.3), ceci vaut 2 mod 4 si n = 2

avec k ≥ 2 ou 1 mod 4 si n 6= 2

. D’o` u

Φ

(a, b) ≡ 1, 2 mod 4.

4. Supposons a ≡ −b ≡ 1 mod 4. On ´ ecrit Φ

(a, b) = b

φ

(a/b) ≡ φ

(−1) mod 4. Il suffit d’appliquer les deux derni` eres lignes de (4.4) pour conclure que l’on a, dans ce cas

Φ

(a, b) ≡ 1, 2 mod 4.

5. Supposons a ≡ −1 mod 4. On utilise la relation Φ

(a, b) = Φ

(−a, −b) valable pour n ≥ 3.

Nous rassemblons ces divers r´ esultats sous la forme de la

Proposition 4.5. — Soit n un entier divisible par 4. Alors pour tout a et tout b entiers, on a la congruence

Φ

(a, b) ≡ 0, 1, 2 mod 4.

4.4. Automorphismes des formes cyclotomiques. — Soit Φ

(X, Y ) une forme cyclotomique de degr´ e d = ϕ(n). Par la d´ efinition (2.1), rechercher les automorphismes de Φ

consiste ` a rechercher les matrices U de Gl(2, Q )

U =

u

u

u

u

, telles que

(4.10) Φ

(X, Y ) = Φ

(u

X + u

Y, u

X + u

Y ).

Cette ´ egalit´ e formelle entraˆıne que l’ensemble U

des racines primitives n–i` emes de l’unit´ e est stable par l’application H de C b dans C b d´ efinie par

(4.11) z 7→ H(z) := u

z + u

u

z + u

.

Si U

a au moins trois ´ el´ ements (c’est–` a–dire n ≥ 5 et n 6= 6), il y a un cercle et un seul contenant U

. Il s’agit du cercle S

et celui–ci est stable par H. Les transformations de C b de la forme (az +b)/(cz+d) (avec (a, b, c, d) ∈ C

et ad−bc 6= 0) laissant S

globalement invariant sont connues : il s’agit des transformations z 7→ ρz et z 7→ ρ/z avec ρ nombre complexe de module 1. Ainsi la fonction H d´ efinie en (4.11) a n´ ecessairement une des quatre formes

H(z) = z, −z, 1/z, −1/z,

puisque les u

sont des rationnels. Enfin pour tout n ≥ 1, on a l’´ equivalence ξ ∈ U

⇐⇒ 1/ξ ∈ U

et seulement pour n ≡ 0 mod 4, l’´ equivalence

ξ ∈ U

⇐⇒ −ξ ∈ U

. Nous voyons donc que si

1. si n ≡ 0 mod 4, et n ≥ 8, on a

3z+u4

= z, −z,

, −

, 2. si n 6≡ 0 mod 4, n ≥ 5 et n 6= 6, on a

3z+u4

= z, −z.

Revenant ` a la d´ efinition (4.10) et rappelant que Φ

est une forme homog` ene de degr´ e ϕ(n) on obtient les matrices U :

1. Pour n ≡ 0 mod 4, et n ≥ 8, on a U =

±1 0 0 ±1

,

±1 0 0 ∓1

,

0 ±1

±1 0

,

0 ±1

∓1 0

2. Pour n 6≡ 0 mod 4, n ≥ 5 et n 6= 6, on a U =

±1 0

0 ±1

,

0 ±1

±1 0

.

Les petites valeurs de n (celles v´ erifiant ϕ(n) = 2) se font directement grˆ ace aux formes explicites donn´ ees en (1.7). En notant D

le groupe di´ edral ` a 2k ´ el´ ements, on obtient la

Proposition 4.6. — Soit n ≥ 3 un entier. Alors le groupe des automorphismes AutΦ

de Φ

(X, Y ) est

Aut Φ

= (

D

si 4 divise n,

D

dans le cas contraire.

Nous en d´ eduisons:

Corollaire 4.7. — Pour n ≥ 3, on a W

= w

o` u w

est d´ efini par (1.9).

D´ emonstration. — Les groupes d’automorphismes des formes cyclotomiques sont constitu´ es de matrices ` a coefficients entiers. Ainsi, dans les d´ efinitions (2.2) et (2.3), quand F est une forme cyclotomique, les r´ eseaux Λ et Λ

sont ´ egaux ` a Z

, leur d´ eterminant vaut 1.

4.5. Isomorphismes entre formes cyclotomiques. — Rappelons que la d´ efinition d’isomorphisme entre deux formes binaires a ´ et´ e donn´ ee en (3.1). La proposition suivante caract´ erise les formes binaires cyclotomiques isomorphes.

Proposition 4.8. — Soient n

et n

deux entiers positifs avec n

< n

. Les conditions suivantes sont ´ equivalentes.

(1) On a ϕ(n

) = ϕ(n

) et les deux formes binaires cyclotomiques Φ

et Φ

sont isomorphes.

(2) Les deux formes binaires cyclotomiques Φ

et Φ

repr´ esentent les mˆ emes en- tiers.

(3) n

est impair et n

= 2n

.

Les formes binaires cyclotomiques Φ

(X, Y ) avec ϕ(n) = d et n non congru

`

a 2 modulo 4 forment donc un syst` eme complet de repr´ esentants des classes d’isomorphisme des formes binaires cyclotomiques de degr´ e d.

La d´ emonstration de la proposition 4.8 utilisera le lemme suivant:

Lemme 4.9. — Soit n un entier positif. Le groupe de torsion du corps cyclo- tomique Q (ζ

) est cyclique, d’ordre n si n est pair, d’ordre 2n si n est impair.

D´ emonstration du lemme 4.9. — Le groupe de torsion du corps cyclotomique Q (ζ

) est cyclique, d’ordre multiple de n. S’il est d’ordre sup´ erieur ` a n, alors il contient une racine primitive de l’unit´ e d’ordre pn, avec p premier, dont le degr´ e est ϕ(pn).

On en d´ eduit ϕ(pn) = ϕ(n), d’o` u il r´ esulte que p = 2 et que n est impair.

D´ emonstration de la proposition 4.8. —

(1) = ⇒ (3) Supposons Φ

et Φ

isomorphes avec n

< n

. Il existe une matrice u

u

u

u

∈ GL

(Q) telle que

ζ

= u

ζ

+ u

u

ζ

+ u

·

On en d´ eduit que les corps cyclotomiques Q (ζ

) et Q (ζ

) co¨ıncident, et le lemme 4.9 donne le r´ esultat.

(3) = ⇒ (2). Si n

est impair et n

= 2n

, alors φ

(t) = φ

(−t), donc les deux formes binaires cyclotomiques Φ

et Φ

repr´ esentent les mˆ emes entiers.

(2) = ⇒ (1). En utilisant les notations du th´ eor` eme 2.1 et du corollaire 3.3, nous avons, par hypoth` ese les ´ egalit´ es

(4.12) R

(N ) = R

(N ) = R

(N ),

pour tout N ≥ 1. Par le th´ eor` eme 2.1 la premi` ere ´ egalit´ e de (4.12) implique ϕ(n

) = ϕ(n

). Enfin si Φ

et Φ

n’´ etaient pas isomorphes, le corollaire 3.3 entraˆınerait que la deuxi` eme ´ egalit´ e de (4.12) serait impossible pour N suffisamment grand.

4.6. R´ esultats auxiliaires de comptage. — Notre d´ emonstration du th´ eor` eme 1.1 au §5 utilisera l’´ enonc´ e suivant [FLW, Theorem 1.1].

Th´ eor` eme 4.10. — Soit m un entier positif et soient n, x, y des entiers ra- tionnels v´ erifiant n ≥ 3, max{|x|, |y|} ≥ 2 et Φ

(x, y) = m. Alors

max{|x|, |y|} ≤ 2

√ 3 m

et par cons´ equent, ϕ(n) ≤ 2

log 3 log m.

Nous en d´ eduisons le

Corollaire 4.11. — Pour d ≥ 2 et N ≥ 1, on a la majoration A

(N ) ≤ 29N

(log N )

.

D´ emonstration du corollaire 4.11. — D’apr` es le th´ eor` eme 4.10, les conditions ϕ(n) ≥ d et Φ

(x, y) ≤ N impliquent max{|x|, |y|} ≤

3

N

. Notons que A

(N ) = 0 pour N = 1 et N = 2. La condition max{|x|, |y|} ≥ 2 permet d’obtenir ϕ(n) ≤

log N , donc n ≤ 5.383(log N )

(formule (1.1) de [FLW]). Il en r´ esulte que le nombre de triplets (n, x, y) tels que ϕ(n) ≥ d et Φ

(x, y) ≤ N est major´ e par

16

3 5.383N

(log N )

.

5. D´ emonstration des th´ eor` emes 1.1 et 1.4

Pour n entier avec ϕ(n) ≥ 4 et N ≥ 1, on d´ esigne par B

(N ) l’ensemble (5.1) B

(N ) :=

m ≤ N | m = Φ

(a, b) avec max(|a|, |b|) ≥ 2 . Par le th´ eor` eme 4.10, on a l’implication

B

(N ) 6= ∅ ⇒ ϕ(n) log N, soit encore

B

(N ) 6= ∅ ⇒ n log N log log log N,

uniform´ ement pour N > 10. Ainsi, par la d´ efinition de A

(N) et par la restriction (1.2), nous avons l’´ egalit´ e

(5.2) A

(N ) =

[

n6≡2 mod 4 ϕ(n)≥d

B

(N ) ,

o` u cette r´ eunion porte sur un nombre fini de n.

Le terme principal dans l’estimation du cardinal de A

(N ) sera X

n6≡2 mod 4 ϕ(n)=d

B

(N )

.

L’´ egalit´ e

B

(N )

= R

(N ) permet d’appliquer le th´ eor` eme 2.1 ` a chacun des termes de cette somme:

B

(N )

= A

W

N

+ O

(N

).

Grˆ ace au corollaire 4.7, on a W

= w

. On obtient

(5.3) X

n6≡2 mod 4 ϕ(n)=d

B

(N )

= C

N

+ O(N

) avec la valeur de C

annonc´ ee dans la formule (1.8).

5.1. Minoration de A

(N ). — En restreignant le nombre de termes dans l’´ egalit´ e (5.2), on a la minoration

A

(N ) ≥

[

n6≡2 mod 4 ϕ(n)=d

B

(N )

≥ X

n6≡2 mod 4 ϕ(n)=d

B

(N )

− X X

n1<n2

ϕ(n1)=ϕ(n2)=d n1, n26≡2 mod 4

B

(N ) ∩ B

(N ) . (5.4)

La premi` ere partie du membre de droite de (5.4) est trait´ ee dans (5.3).

Pour la seconde partie, on ´ ecrit l’´ egalit´ e

B

(N ) ∩ B

(N )

= R

1,Φn2

(N ). Par la proposition 4.8 les formes Φ

et Φ

ne sont pas isomorphes. Le corollaire 3.3 donne ainsi la majoration

B

(N ) ∩ B

(N )

= O(N

).

En conclusion, nous avons prouv´ e la minoration suivante de A

(N ):

A

(N ) ≥ C

N

− O(N

) − O(N

), qui se simplifie en

(5.5) A

(N ) ≥ C

N

− O(N

),

puisque, d’apr` es (1.5) et (2.4), on a pour tout d ≥ 4 pair, l’in´ egalit´ e

(5.6) η

≥ β

.

5.2. Majoration de A

(N ). — On ´ ecrit maintenant A

(N ) ≤

[

n6≡2 mod 4 ϕ(n)=d

B

(N )

+ A

(N ), dont on d´ eduit la majoration

(5.7) A

(N ) ≤ X

n6≡2 mod 4 ϕ(n)=d

B

(N )

+ A

(N ).

Le premier terme de cette majoration a d´ eja ´ et´ e trait´ e en (5.3). Pour majorer A

(N ) on utilise le corollaire 4.11 avec d remplac´ e par d

. Revenant en (5.7), on a donc prouv´ e la majoration

(5.8) A

(N ) ≤ C

N

+ O(N

) + O N

(log N )

.

Cette formule appliqu´ ee en rempla¸cant d par d

donne la majoration A

(N ) N

,

o` u il n’y a plus de puissance de log N parasite. Reportant cette derni` ere majoration dans (5.7), l’in´ egalit´ e (5.8) est am´ elior´ ee en

(5.9) A

(N ) ≤ C

N

+ O(N

) + O(N

).

En combinant (5.5), (5.9) et l’in´ egalit´ e (5.6), on termine la preuve de (1.6). Les preuves des th´ eor` emes 1.1 et 1.4 sont compl` etes.

6. Preuve du th´ eor` eme 1.5

6.1. R´ egion fondamentale d’une forme binaire d´ efinie positive. — Quand F est une forme binaire d´ efinie positive de degr´ e d, on d´ esigne par O(F ) l’ensemble des (x, y) ∈ R

tels que F(x, y) ≤ 1. C’est un compact du plan euclidien rapport´ e au rep` ere orthonorm´ e (O,~i,~j). Il est d´ elimit´ e par une courbe alg´ ebrique de degr´ e d et de classe C

, d’´ equation F (x, y) = 1. Rappelons (§ 1) que A

d´ esigne l’aire de O(F ). Le changement de variable (x, y) → (t, y) avec x = ty donne

A

= Z Z

F(x,y)≤1

dxdy = Z

−∞

dt F (t, 1)

·

Quand F a ses coefficients alg´ ebriques, ce nombre est une p´ eriode au sens de Kont- sevich – Zagier. L’article [Be] est consacr´ e au calcul de A

.

On d´ esigne par L(F ) la longueur du polynˆ ome F (X, 1) et par m(F ) le minimum de la fonction F(t, 1) sur R . Comme F est homog` ene de degr´ e d, on a, pour tout (x, y) ∈ R

,

m(F ) max{|x|, |y|}

≤ F (x, y) ≤ L(F ) max{|x|, |y|}

.

Il en r´ esulte que O(F ) contient le carr´ e centr´ e en O de cˆ ot´ e L(F)

, ` a savoir {(x, y) ∈ R

| max{|x|, |y|} ≤ L(F )

},

et qu’il est contenu dans le carr´ e centr´ e en O de cˆ ot´ e m(F )

: {(x, y) ∈ R

| max{|x|, |y|} ≤ m(F )

}.

Par cons´ equent,

4L(F)

≤ A

≤ 4m(F )

.

6.2. Le domaine fondamental cyclotomique O

pour n ≥ 3. — Pour n ≥ 3, O

= O(Φ

) est la r´ egion fondamentale de la forme cyclotomique Φ

et son aire est A

.

Pour n ≥ 3, O

est sym´ etrique par rapport ` a la premi` ere bissectrice et sym´ etrique par rapport au point O. De plus, si n est divisible par 4, O

est sym´ etrique par rapport aux axes de coordonn´ ees. Si n est impair, O

s’obtient ` a partir de O

par sym´ etrie par rapport ` a un des axes de coordonn´ ees.

Pour n = 4, O

est le disque x

+ y

≤ 1 et A

=

Z

−∞

dt

1 + t

= π.

Quand p est un nombre premier impair on a A

=

Z

−∞

dt

(1 + t + t

+ · · · + t

)

· Par exemple O

est l’int´ erieur de l’ellipse x

+ xy + y

= 1 et

A

= Z

−∞

dt

1 + t + t

= 2π

√ 3 ·

6.3. D´ emontration du th´ eor` eme 1.5. — La d´ emonstration du th´ eor` eme 1.5 repose sur des estimations de Φ

(t): majorations et minorations. L’estimation de m(φ

) donn´ ee dans [FLW] ne suffit pas pour d´ emontrer le th´ eor` eme 1.5.

Montrer que O

contient le petit carr´ e revient ` a d´ emontrer, pour n suffisamment grand,

(6.1) Φ

(x, y) < 1 quand max{|x|, |y|} < 1 − n

,

alors que montrer que O

est contenu dans le grand carr´ e revient ` a d´ emontrer, pour n suffisamment grand,

(6.2) Φ

(x, y) > 1 quand max{|x|, |y|} > 1 + n

.

Les relations Φ

(x, y) = Φ

(y, x) = Φ

(−x, −y) (pour n ≥ 3) permettent de se limiter au domaine |y| ≤ x.

Si P ∈ R [X] est un polynˆ ome de degr´ e d, on a

|P (t)| ≤ L(P ) max{1, |t|}

pour tout t ∈ R . En particulier

φ

(t) ≤ L(φ

) max{1, |t|}

pour tout t ∈ R .

De (4.5) on d´ eduit, pour tout ε > 0, pour n suffisamment grand et pour tout t ∈ R , l’in´ egalit´ e

(6.3) φ

(t) ≤ e

max{1, |t|}

.

Montrons que cela implique (6.1). Soit n suffisamment grand et soit (x, y) satisfaisant 0 < |y| ≤ x < 1 − n

.

Posons t = x/y. On a |t| ≥ 1 et, en utilisant (6.3) avec ε/3,

Φ

(x, y) = y

φ

(t) ≤ y

e

t

= x

e

< 1 − n

e

. Pour n suffisamment grand on a

ϕ(n) > n

, log x ≤ log 1 − n

< −n

, d’o` u

ϕ(n) log x < −n

, c’est-` a-dire

x

< e

. Ceci compl` ete la d´ emonstration de (6.1).

Pour d´ emontrer (6.2), on doit minorer φ

(t). Nous utiliserons les estimations

donn´ ees par les deux lemmes suivants; la premi` ere nous sera utile quand |t| − 1 n’est

pas trop petit, la suivante quand |t| − 1 est positif et petit.

Lemme 6.1. — Pour tout t ∈ R et pour tout n ≥ 3, on a φ

(t) ≥ |t|

(|t| − 1) Y

d|n d6=n

L(φ

)

.

D´ emonstration. — Le r´ esultat est trivial si |t| ≤ 1. Pour commencer prenons t > 1.

De

(6.4) t

− 1 = φ

(t) Y

d|n d6=n

φ

(t) on d´ eduit

(6.5) t

− 1 ≤ φ

(t) Y

d|n d6=n

(L(φ

)t

) = φ

(t)t

Y

d|n d6=n

L(φ

).

On minore t

− 1 par (t − 1)t

. Par cons´ equent, t

(t − 1) ≤ φ

(t) Y

d|n d6=n

L(φ

), ce qui est la conclusion du lemme 6.1 pour t > 1.

Supposons t < −1 et n pair. Dans ce cas, t

− 1 = |t|

− 1; dans le produit (6.4) il y a deux facteurs n´ egatifs, ` a savoir φ

(t) = t − 1 et φ

(t) = t + 1, et on remplace (6.5) par

|t|

− 1 ≤ φ

(t)|t|

Y

d|n d6=n

L(φ

).

On conclut avec

|t|

− 1 ≥ (|t| − 1)|t|

.

Enfin pour t < −1 et n impair, le membre de gauche de (6.4) est −|t|

− 1, et dans le membre de droite le seul facteur n´ egatif est celui correspondant ` a d = 1, ` a savoir φ

(t) = −|t| − 1. Ainsi

|t|

+ 1 = φ

(t) Y

d|n d6=n

|φ

(t)| ≤ φ

(t)|t|

Y

d|n d6=n

L(φ

).

Comme |t|

+ 1 est minor´ e par |t|

on a une estimation plus pr´ ecise que celle du lemme 6.1, ` a savoir

|t|

≤ φ

(t) Y

d|n d6=n

L(φ

).

Lemme 6.2. — Pour tout t ∈ R et pour tout n ≥ 1, on a

|φ

(t) − φ

(1)| ≤ |t − 1| max{1, |t|}

ϕ(n)L(φ

) et

|φ

(t) − φ

(−1)| ≤ |t + 1| max{1, |t|}

ϕ(n)L(φ

).