Soit p et n deux entiers ( 1 ≤ p ≤ n ). On dénit les ensembles suivants :

Lycée Hoche MPSI B Feuille Dénombrement

1.

^(Een01)

Soit p et n deux entiers ( 1 ≤ p ≤ n ). On dénit les ensembles suivants :

E = J 1, p K, F = J 1, n K,

C

p,n

⊂ F(E, F ) : fonctions croissantes,

S

_p,n

⊂ F(E, F ) : fonctions strictement croissantes.

a. Montrer que

Card(S

p,n

) = n

p

.

Montrer que le nombre d'éléments de C

p,n

est le nombre de n -uplets

(x

1

, x

2

, · · · , x

n

) ∈ J 0, p K

n

tq x

1

+ x

2

+ · · · + x

n

= p.

b. À chaque élément f de C

p,n

, on associe une fonction g dénie par

∀x ∈ J 1, p K , g(x) = f (x) + x − 1.

Montrer que g ∈ S

p,n+p−1

. Montrer que C

p,n

et S

p,n+p−1

ont le même nombre d'éléments.

2.

^(Een02)

Quel est le nombre de relations reexives sur un ensemble E de cardinal n ? Quel est le nombre de rela- tions reexives et symétriques sur un ensemble de car- dinal n ?

3.

^(Een03)

Calculer P

n² k=1

b √

kc .

4.

^(Een04)

Soit E un ensemble de cardinal n .

a. Calculer le nombre de couples de parties (A, B) de E telles que A ⊂ B .

b. Calculer le nombre de couples de parties (A, B) de E telles que A ∪ B = E .

5.

^(Een05)

On dénit une fonction f : N × N → N par le

tableau suivant 4 3 9

2 5 8 ...

1 2 4 7 11

0 0 1 3 6 10

0 1 2 3 4

qui se poursuit indéniment et où la case d'abscisse i et d'ordonnée j contient le nombre f(i, j) . Cette fonction est clairement bijective. Préciser explicitement f (i, j) . 6.

^(Een06)

Nombre de surjections. Soit E et F deux en-

sembles nis, il est clair que le nombre d'applications surjectives de E dans F ne dépend que du nombre d'élé- ments dans E et dans F . On le note

s(]E, ]F )

Soit n et p deux entiers naturels xés avec 1 ≤ p ≤ n . a. En classant les surjections suivant l'ensemble des

antécédents d'un élément xé de l'espace d'arrivée, former une relation entre s(n, p) et les s(k, p − 1) pour k ∈ J 0, n K.

b. Former une autre relation en classant les surjec- tions d'abord suivant l'image d'un élément xé de l'espace de départ puis selon que cette image ad- mette un seul antécedent ou plusieurs.

7.

^(Een07)

Dans un ensemble E à n éléments.

Déterminer le nombre d'opérations internes.

Déterminer le nombre d'opérations internes commuta- tives.

Déterminer le nombre d'opérations internes avec un élé- ment neutre.

Déterminer le nombre d'opérations internes commuta- tives et avec un élément neutre.

8.

^(Een08)

On note r

_n

le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble à n éléments.

Former une relation entre r

n

et les r

k

pour k entre 1 et n . En déduire les r

n

pour n entre 1 et 5.

Pour obtenir cette relation, considérer un ensemble E à n éléments dans lequel un élément a est xé puis classer les relations d'équivalence sur E selon la classe de a . 9.

^(Een09)

Soit p

1

, · · · , p

k

des entiers naturels tels que

p

1

+ p

2

+ · · · + p

k

= n

On désigne par c(n, p

1

, · · · , p

k

) le nombre de k -uplets (A

1

, · · · , A

k

) de parties d'un ensemble E à n éléments telles que :

A

1

∪ · · · ∪ A

k

= J 1, n K

∀(i, j) ∈ {1, · · · , k}

²

: i 6= j ⇒ A

_i

∩ A

_j

= ∅

∀i ∈ {1, · · · , k} : ]A

i

= p

i

a. Que vaut c(n, p, n − p) ? b. Trouver une relation entre

c(n, p

1

, · · · , p

k

) et c(n − p

k

, p

1

, · · · , p

_k−1

) En déduire

c(n, p

1

, · · · , p

k

) = n!

p

₁

! p

₂

! · · · p

_k

! c. Montrer la formule du multinôme

(x

1

+ · · · + x

k

)

ⁿ

= X

(p

1

, · · · , p

k

) ∈ N

^k

p

₁

+ · · · + p

_k

= n

n!

p

1

! p

2

! · · · p

k

! x

^p₁¹

· · · x

^p_k^k

10.

^(Een10)

On dénit la suite de Fibonacci (φ

n

)

_n∈

N

par : ( φ

0

= 0, φ

1

= 1

∀n ∈ N : φ

_n+2

= φ

_n+1

+ φ

_n

Montrer que :

∀(m, n) ∈ N

²

:

n

X

k=0

n k

φ

m+k

= φ

m+2n

11.

^(Een11)

Une involution d'un ensemble E est une bijection f de E dans E telle que f ◦ f = Id

E

. On note x

n

le nombre d'involutions d'un ensemble à n éléments. Pré- ciser x

1

et x

2

puis former une relation entre x

n

, x

_n−1

et x

_n−2

.

12.

^(Een12)

Tout individu a entre 0 et 500 000 cheveux. Paris compte 2 500 000 habitants. Montrer qu'au moins cinq personnes ont le même nombre de cheveux. (classer les individus suivant leur nombre de cheveux)

13.

^(Een13)

Pour tout u , v naturels tels que u ≤ v , on note i(u, v) le nombre d'injections d'un ensemble à u éléments dans un ensemble à v éléments.

Soit p , a , b entiers naturels avec p ≤ min(a, b) . Montrer que

i(p, a + b) = i(p, a) + p

1 i(p − 1, a)i(1, b) + p × (p − 1)

1 × 2 i(p − 2, a)i(2, b) + · · · + i(p, b) Écrire la somme précédente avec le symbole P , puis démontrer la relation.

14.

(Een14)

Avec un jeu de 32 cartes, combien peut-on former de mains de 5 cartes contenant exactement un brelan ? On modélisera une main par une partie à 5 éléments.

15.

^(Een15)

Formule de VanderMonde par dénombrement.

Soit q ∈ N , q ≥ 3 et p ∈ J 0, q K. Montrer que q

p

= q − 3

p − 3

+ 3 q − 3

p − 2

+ 3 q − 3

p − 1

+ q − 3

p

.

On devra classer des parties d'ensembles. Soit r ≤ p , montrer de même que

q p

=

r

X

k=0

r k

q − r p − k

.

16.

(Een16)

Parties sans éléments consécutifs.

a. Quel est le nombre de partie de J 1, n K à p éléments sans éléments consécutifs ?

On pourra considérer des fonctions très stricte- ment croissantes .

b. Soit t

n

le nombre de parties de J 1, n K sans éléments consécutifs. Montrer que

t

n+2

= t

n+1

+ t

n

, t

2n+1

= t

²_n

+ t

²_n−1

,

t

2n

= t

²_n

− t

²_n−2

. c. Calculer t

₅₀

.

17.

^(Een17)

Soit E un ensemble à n éléments, p ∈ J 0, n K et F = {(A, B) ∈ P(E) tq A ∩ B = ∅ et ](A ∪ B) = p}

En dénombrant F de deux manières, montrer que

p

X

k=0

n k

n − k p − k

= 2

^p

n

p

.

18.

^(Een18)

Soit E un ensemble à n éléments. Calculer X

X∈P(E)

]X, X

(X,Y)∈P(E)²

](X ∩ Y ), X

(X,Y)∈P(E)²

](X ∪ Y ).

Lycée Hoche MPSI B Feuille Dénombrement : corrigés

1. pas de correction pour Een01.tex

2.

^(Cen02)

Une relation binaire sur un ensemble E s'identie à une partie Ω de E × E . Un élément a est en relation avec b si et seulement si (a, b) est dans la partie du pro- duit cartésien associé.

La relation est réexive si et seulement si Ω contient la diagonale (la partie de E × E formée par les couples (a, a) ). Le nombre de relations réexives est donc le nombre de parties du complémentaire de cette diagonale soit

2

ⁿ²⁻ⁿ

En numérotant arbitrairement a

1

, · · · , a

n

les éléments de E , on peut caractériser les relations reexives et sy- métriques par les parties du triangle de E ×E formé par les (a

_i

, a

_j

) avec i < j . L'autre partie de Ω étant ob- tenue par symétrie. Le nombre de relations réexives et symétriques est donc

2

^n(n−1)2

. 3.

(Cen 03)

Notons

s

_n

=

n²

X

k−1

b √ kc.

Classons les k ∈ J 1, n

²

K suivant la partie entière de leur racine carrée qui est un nombre i entre 0 et n .

Pour 1 ≤ i < n :

bkc = i ⇔ i

²

≤ k ≤ (i + 1)

²

− 1

⇒ s

n

=

n−1

X

i=1

i (i + 1)

²

− i

²

| {z }

=2i+1

+ n

On a traité ce type de somme en début d'année : On décompose en suites qui se télescopent

(2i + 1)i = 2i(i + 1) − i

= 2

3 (i(i + 1)(i + 2) − (i − 1)i(i + 1))

− 1

2 (i(i + 1) − (i − 1)i) On en déduit

s

n

= 2

3 (n − 1)n(n + 1) − 1

2 (n − 1)n + n.

4.

^(Cen04)

a. Notons I l'ensemble des couples (A, B) vériant A ⊂ B ⊂ E .

Classons les éléments de I selon le deuxième élé- ment des couples. Pour chaque B ⊂ E , notons

I

B

= {(A, B) tq A ⊂ B} .

Les I

_B

forment une partition de I et chaque I

_B

est en bijection avec P(B) . On en déduit

] I = X

B∈P(E)

]I

B

= X

B∈P(E)

2

^]B

= X

k∈J0,nK

n k

2

^k

= (1 + 2)

ⁿ

= 3

ⁿ

.

en regroupant les B avec le même nombre d'élé- ments puis en utilisant la formule du binôme.

On peut retrouver ce résultat en formant une bi- jection entre S et F(E, J 0, 2 K ) .

b. Notons U = {(A, B) tq A ∪ B = E} . Les applica- tions

( U → I

(A, B) 7→ (A ∩ B, B) ,

( I → U

(A, B) 7→ (A ∪ B, B) . sont des bijections réciproques l'une de l'autre donc ] U = 3

ⁿ

.

5.

^(Cen05)

On trouve

f (i, j) = (i + j)(i + j + 1)

2 + j

6.

^(Cen06)

On suppose 1 ≤ p ≤ n .

a. On classe les surjections f d'un ensemble E à n éléments dans un ensemble F à p éléments suivant l'ensemble des antécédents d'un élément xé y de F , c'est à dire

f

⁻¹

({y}).

Un tel ensemble d'antécédents est une partie de E dont le complémentaire doit contenir au moins p−1 éléments. Il doit donc contenir au plus n−p+ 1 élé- ments.

Pour toute partie A xée à k éléments ( 1 ≤ k ≤ n − p + 1 ), il existe des surjections f telles que A = f

⁻¹

({y}) . Elles sont caractérisées par leur restriction au complémentaire de A . Il y en a au- tant que de surjections de E \ A dans F \ {y} soit s(n − k, p − 1) .

Ce nombre est le même pour toutes les parties A à k éléments. On peut donc les regrouper dans la somme selon leur nombre d'éléments ce qui fait ap- paraître des coecients du binôme. On obtient - nalement

s(n, p) =

n−p+1

X

k=1

n k

s(n − k, p − 1)

=

n−1

X

k=p−1

n k

s(k, p − 1)

en numérotant avec n − k .

b. Soit a ∈ E xé. On classe les surjections suivant l'image de a . On note S

y

l'ensemble des f surjec- tives telles que f (a) = y . Les S

y

, pour y ∈ F , forment une partition de l'ensemble des surjections.

Que vaut ]S

y

?

On classe les f ∈ S

y

selon que a soit le seul antécé-

dent de y ou non. On note S

_y,1

et S

_y,2

les parties

de S

_y

associées.

Les applications

( S

y,1

→ S(E \ {a} , F \ {y})

f 7→ f

_E\{a}

,

( S

y,2

→ S(E \ {a} , F ) f 7→ f

_E\{a}

sont des bijections. On en déduit

]S

y

= s(n − 1, p − 1) + s(n − 1, p)

⇒ s(n, p) = p × (s(n − 1, p − 1) + s(n − 1, p)) . 7.

^(Cen07)

Soit n le nombre d'éléments de l'ensemble E .

Une opération interne dans E , c'est une application de E × E dans E . On peut former autant d'opérations que de telles fonctions soit

n

ⁿ²

Pour compter les opérations commutatives dans E , numérotons ses éléments : E = {e

1

, · · · e

n

} .

Notons T l'ensemble des couples (e

i

, e

j

) avec i ≤ j . Il y a autant d'opérations commutatives que d'appli- cations de T dans E . Comme T contient

ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂

élé- ments, ce nombre est

n

^n(n+1)2

Choisissons un élément arbitraire a de E et examinons les opérations admettant cet élément comme neutre.

On doit avoir ax = xa = x pour tous les x de E . Cela dénit les images de 2n − 1 couples. Les opérations internes sont dénies par les images de tous les autres couples soit

n

^{n2−(2n−1)}

Une opération admet au plus un neutre, en faisant varier le a choisi, on obtient toutes les lois possibles soit

n

^n2−2n+2)

8.

^(Cen08)

Soit a xé dans E . Pour toute partie A de E et contenant a , notons R

A

l'ensemble des relations d'équi- valence sur E pour lesquelles la classe de a est A . Cet ensemble est clairement en bijection avec l'ensemble des relations d'équivalence sur E \ A .

Les R

A

forment, lorsque A décrit toutes les parties de E possibles, une partition de l'ensemble des relations d'équivalence sur E .

Classons ces parties A suivant leur nombre d'éléments (au moins 1 car la partie doit contenir a ). L'ensemble des parties de E de cardinal k et contenant a est en bi- jection avec l'ensemble des parties à k − 1 éléments de E \ {a} . On en déduit :

r

_n

=

n

X

k=1

n − 1 k − 1

r

_n−k

En convenant que r

0

= 1 qui correspond dans la formule au cas où A = E et donc à une unique relation d'équiva- lence, celle avec une seule classe. Dans un singleton, une

seule relation d'équivalence est possible, celle avec une seule classe, le singleton lui même. On a donc r

1

= 1 . Dans une paire, il y a deux relations d'équivalence pos- sibles (avec une ou deux classes). On a donc r

2

= 2 . On utilise ensuite la formule trouvée

r

3

= r

2

+ 2r

1

+ r

0

= 5 r

4

= r

3

+ 3r

2

+ 3r

1

+ r

0

= 15 r

₅

= r

₄

+ 4r

₃

+ 6r

₂

+ 4r

₁

+ r

₀

= 52

9. pas de correction pour Een09.tex

10.

^(Cen10)

Cet exercice devrait plutôt être placé avec les suites dénies par récurrence.

La suite de Fibonacci est dénie par une récurrence li- néaire d'ordre 2 de polynôme caractéristique

X

²

− X − 1 Les racines sont

r = 1 2

1 + √

5

(nb d'or) et r

⁰

= 1 2

1 − √

5

= − 1 r Elle s'exprime donc comme combinaison linéaire des suites géométriques de raison r et r

⁰

. On trouve

∀n ∈ N , φ

_n

= 1

√ 5 (r

ⁿ

− r

⁰ⁿ

)

(formules de Binet) On en déduit, avec la formule du binôme,

n

X

k=0

n k

φ

m+k

= r

^m

√ 5 (1 + r)

ⁿ

− r

^0m

√ 5 (1 + r

⁰

)

ⁿ

= r

^m+2n

√

5 − r

^0m+2n

√

5 = φ

m+2n

car r

²

= 1 + r et r

⁰²

= 1 + r

⁰

.

11.

^(Cen11)

On note I (E) l'ensemble des involutions sur un ensemble E . Si E est un singleton, il existe une seule involution qui est aussi l'identité. Si E est une paire, il existe deux involutions, l'identité et la permutation des deux éléments. On a donc

x

1

= 1 x

2

= 2

Dans un ensemble E à n éléments, on xe un a . On classe les involutions suivant l'image de a . Soit I

b

l'ensemble des involutions f telles que f (a) = b . Les I

b

, pour b décrivant E , constituent une partition de I .

Pour b 6= a et f ∈ I

_b

, on a obligatoirement f (b) = a , l'ensemble I

_b

est donc en bijection avec I(E \ {a, b}) . Il existe n − 1 parties de ce type.

En revanche I

a

est en bijection avec I(E \ {a}) . On en déduit nalement :

x

n

= x

n−1

+ (n − 1)x

n−2

Lycée Hoche MPSI B Feuille Dénombrement : corrigés

12.

^(Cen12)

On classe les parisiens suivant leur nombre de che- veux. On note P

i

l'ensemble de ceux ayant exactement i cheveux. Les P

i

forment une partition de l'ensemble des parisiens.

Notons n le nombre total de parisiens et p le nombre de cheveux sur le plus chevelu d'entre eux. Notons m le plus petit des ]P

i

et M le plus grand. Par le plus simple des encadrements appliqué au dénombrement attaché à la partition, il vient

(p + 1)m ≤ n ≤ (p + 1)M On en déduit

m ≤ 2500000 500001 > 4

Il existe donc bien dans la partition une classe particu- lière contenant au moins cinq individus.

13. pas de correction pour Een13.tex

14.

^Cen14

L'énoncé nous indique de modéliser une main par un ensemble de 5 cartes. Le nombre total de mains est

32 5

.

Rappelons qu'une carte est caractérisée par une hauteur parmi 8 (7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As) et une cou- leur parmi 4 (coeur, carreau, pique, trèe).

Notons M l'ensemble des mains contenant exactement un brelan. Pour le démombrer, classons les mains appar- tenant à M suivant l'unique brelan qu'elles contiennent.

Notons B l'ensemble des brelans. Pour un brelan B donné, notons M

B

l'ensemble des mains contenant B . Alors :

]M = X

B∈B

M

B

.

Combien M

B

contient-il d'éléments ? Autant que de parties à deux éléments qui ne forment pas une paire et ne sont pas de la hauteur du brelan. On les classe suivant l'ensemble des 2 hauteurs associé à un de ces ensembles de deux cartes. Comme le niveau du brelan est interdit il reste 7 hauteurs et il existe

7 2

tels ensembles {h

1

, h

2

} de 2 hauteurs .

Comme il existe 4 couleurs, on peut former autant d'en- semble de 2 cartes de ces deux hauteurs que de fonctions d'un ensemble à 2 éléments dans un ensemble à 4 élé- ments soit 16 = 4 × 4 .

]M

B

= 16 × 7

2

.

Ce cardinal est le même pour tous les brelans B . Com- bien existe-t-il de brelans ?

On classe les brelans suivant leur hauteur puis suivant la couleur qu'ils ne contiennent pas. On en déduit qu'il en existe 8 × 4 . Finalement le nombre de mains cherché est donc

(8 × 4) × (16 × 7

2

).

15.

^(Cen15)

Dans J 1, q K, on xe une partie F à 3 éléments (par exemple {1, 2, 3} ). On classe les parties de J 1, q K à p élé- ments selon leur intersection avec F puis on regroupe les parties pour lesquelles cette intersection contient 0, 1, 2 ou 3 éléments.

Pour la deuxième formule, on fait la même chose avec une partie F à r éléments. Le

^r_k

compte les parties de F avec k éléments et le

^q−k_p−r

compte les parties à p − r éléments dans le complémentaire de F .

16. pas de correction pour Een16.tex 17. pas de correction pour Een17.tex

18.

^Cen18

Notons S

1

, S

2

, S

3

les sommes à calculer.

Dans la première somme, on classe selon le nombre d'élé- ments.

S

1

=

n

X

k=0

n k

k = n

n−1

X

k=1

n − 1 k − 1

= n 2

ⁿ⁻¹

. Dans S

2

, on classe selon l'intersection. Pour une partie A xée (avec k éléments), quel sont les (X, Y ) tels que X ∩ Y = A ? Ce sont les (A ∪ M, A ∪ T ) avec M ⊂ E \ A et T ⊂ E \ X .

Pour un M xé à m éléments, il existe 2

^n−(k+m)

parties T . Le nombre de (X, Y ) tels que X ∩ Y = A est donc

n−k

X

m=0

n − k m

2

^n−k−m

= 3

^n−k

. En considérant tous les A , il vient

S

2

=

n

X

k=0

n k

3

^n−k

= 4

ⁿ

.