Opérations avec les ensembles. Image, image réciproque. Règles de calcul

Opérations avec les ensembles. Image, image réciproque. Règles de calcul

Opérations avec les ensembles

a) Nous travaillons dans un ensemble fixéX. L’ensemble de toutes les parties deXest notéP(X).

b) Les parties (sous ensembles) deXsont notéesA,B, etc. «Aest une partie deX» s’écritA ⊂ Xou X ⊃A.

c) (A_i)i∈Idésigne une famille de parties deX, indexée par un ensemblequelconque(donc pas nécessai- rement fini ou dénombrable) d’indices.

d) Rappelons les opérations usuelles avec les ensembles.

(i) (Union)A∪B :={x∈X; x∈Aoux∈B}.

Plus généralement,∪_i∈IA_i :={x∈X;x∈A_ipour au moins uni∈I}.

(ii) (Intersection)A∩B :={x∈X; x∈Aetx∈B}.

Plus généralement,∩_i∈IA_i :={x∈X;x∈A_ipour tous lesi∈I}.

(iii) (Différence)A\B :={x∈X;x∈Aetx6∈B}.

(iv) (Différence symétrique)

A4B := (A\B)∪(B\A) = {x∈X; [x∈Aetx6∈B]ou[x∈Betx6∈A]}.

(v) (Complémentaire)A^c:=X\A ={x∈X; x6∈A}.

(vi) (Produit cartésien) SiX,Y sont des ensembles, alorsX×Y :={(x, y) ;x∈Xety ∈Y}.

Plus généralement,X₁× · · ·X_k :={(x₁, . . . , x_k)) ; x_j ∈X_j, ∀j ∈J1, kK}.

e) Rappelons les principales propriétés de ces opérations.

(i) (A∪B)∩C= (A∩C)∪(B ∩C).

Plus généralement,(∪i∈IA_i)∩C =∪i∈I(A_i∩C)et(∪i∈IA_i)∩(∪j∈JC_j) = ∪i∈I,j∈J(A_i∩C_j).

(ii) Les règles du point précédent restent valides si nous échangeons∪et∩.

(iii) (A^c)^c=A.

(iv) SiA⊂B, alorsB^c⊂A^c. (v) (A∪B)^c=A^c∩B^c.

Plus généralement,(∪i∈IA_i)^c=∩i∈I(A_i)^c. (vi) (A∩B)^c=A^c∪B^c.

Plus généralement,(∩i∈IA_i)^c=∪i∈I(A_i)^c. (vii) A\B =A∩B^c.

(viii) A∆B =A^c∆B^c.

Image, image réciproque

a) (Image réciproque) PourA⊂Y,f⁻¹(A) := {x∈X; f(x)∈A}.

b) (Image, ou encore image directe) PourB ⊂X,f(B) := {f(x) ; x∈B}.

c) Rappelons les principales propriétés des images (directe et réciproque).

(i) f⁻¹(∪_i∈IA_i) = ∪_i∈If⁻¹(A_i).

(ii) f⁻¹(∩i∈IA_i) = ∩i∈If⁻¹(A_i).

(iii) f⁻¹(A^c) = (f⁻¹(A))^c. (iv) f(∪i∈IAi) = ∪i∈If(Ai).

(v) f(∩i∈IA_i)⊂ ∩i∈If(A_i).