Image réciproque du squelette par un morphisme entre espaces de Berkovich de même dimension

IMAGE R´ECIPROQUE DU SQUELETTE PAR UN MORPHISME ENTRE ESPACES DE BERKOVICH

DE MˆEME DIMENSION par Antoine Ducros

R´esum´e. — Cet article concerne les espaces analytiquesau sens de Berkovich.Soitk un corps complet pour une valeur absolue ultram´etrique et soitXun sch´ema formel au-dessus de la boule unit´ek⁰dek. SiXest pluristable (ce qui signifie essentiellement que les singularit´es de sa fibre sp´eciale sont«raisonnables») alors sa fibre g´en´eriqueXη

se r´etracte sur l’un de ses sous-ensembles ferm´es not´e S(X) (c’est lesquelettedeX) qui poss`ede une structure naturelle d’espace lin´eaire par morceaux. Si Y → X est un morphisme ´etale entre deux sch´emas formels pluristables alors S(Y) est l’image r´eciproque de S(X), etS(Y)→S(X) est lin´eaire par morceaux. Dans ce texte nous prouvons que siXest pluristable purement de dimensionnet siϕest un morphisme quelconque d’un espace strictementk-analytique topologiquement s´epar´e de dimen- sion≤nversXηalorsϕ<sup>−1</sup>(S(X)) poss`ede une unique structure lin´eaire par morceaux telle queϕsoit lin´eaire par morceaux.

Texte re¸cu le 18 juin 2002, accept´e le 10 d´ecembre 2002

Antoine Ducros, IRMAR, Universit´e de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex (France) • E-mail :antoine.ducros@univ-rennes1.fr

Classification math´ematique par sujets (2000). — 14G22.

Mots clefs. — Espaces de Berkovich, structures lin´eaires par morceaux.

BULLETIN DE LA SOCI ´ET ´E MATH ´EMATIQUE DE FRANCE 0037-9484/2003/483/$ 5.00 c Soci´et´e Math´ematique de France

Abstract(Pre-image of the skeleton under a map between Berkovich spaces of the same dimension)

This article deals withBerkovichanalytic spaces. Letkbe a complete field with respect to an ultrametric absolute value and letXbe a formal scheme over the unit ballk⁰ ofk. IfXis pluri-stable (roughly speaking, it means that the singularities of its special fibre are “not too bad”) then its generic fibreXηadmits a retraction toward a closed subsetS(X) (theskeletonofX) which carries a natural structure of piecewise- linear space. IfY→Xis an ´etale morphism between two pluri-stable formal schemes then S(Y) is exactly the pre-image ofS(X), andS(Y)→ S(X) is piecewise-linear.

Here we show that ifXis pluri-stable of pure dimensionnand ifϕisanymorphism from an Hausdorff strictlyk-analytic space of dimension≤ntoXη thenϕ⁻¹(S(X)) carries a unique piecewise-linear structure such thatϕis piecewise-linear.

Introduction

Soient k un corps complet pour une valeur absolue ultram´etrique|.|et k⁰ le sous-anneau de k form´e des ´el´ements de valeur absolue inf´erieure ou ´egale

`

a 1. Vladimir Berkovich a d´evelopp´e dans [2] et [3] une th´eorie des espaces k-analytiques qui est reli´ee `a la th´eorie rigide classique mais en diff`ere notam- ment par le fait que les espaces qu’il construit poss`edent de bonnes propri´et´es topologiques : ainsi, chacun de leurs points a une base de voisinages compacts et connexes par arcs.

Berkovich a d´efini (voir [4], §1), d’une mani`ere analogue `a ce qui se fait dans le cadre rigide, un foncteur fibre g´en´erique qui `a tout k<sup>0</sup>-sch´ema for- mel X satisfaisant des hypoth`eses de finitude raisonnables associe un espace k-analytiqueXη. SoitXunk⁰-sch´ema formelpluristable, c’est-`a-dire tel que le morphisme structuralX→Spfk⁰ soit localement isomorphe pour la topologie

´etale `a une composition de fl`eches qui sont ou bien ´etales ou bien de la forme Spf A{T1, . . . , Tn}/(T1. . . Tn−a)

−→SpfA.

Berkovich a alors d´emontr´e (voir [5], th. 8.1 et [1], §4.4) que X_η se r´etracte sur l’un de ses sous-ensembles ferm´es not´e S(X) et appel´e le squelette de X, sous-ensemble qui est un complexe cellulaire et poss`ede, si de plus l’espace k- analytiqueX_ηest normal, une structure d’espace lin´eaire par morceaux (voir [1],

§§4 et 5).

Le squelette se comporte de mani`ere fonctorielle relativement aux mor- phismes ´etales de sch´emas formels pluristables `a fibre g´en´erique normale; plus pr´ecis´ement si ϕ : Y → Xest un tel morphisme, alors S(Y) est l’image r´eciproque de S(X) par la fl`echeϕη : Yη →Xη et S(Y)→ S(X) est lin´eaire par morceaux.

Le but de cet article est d’´etudier l’image r´eciproque du squelette par un morphismequelconqueentre espaces de Berkovich de mˆeme dimension. On ´eta- blit plus pr´ecis´ement le th´eor`eme suivant (th´eor`eme 3.1) :

Th´eor`eme. — Soit k un corps valu´e complet. Soient n un entier et X un k<sup>0</sup>-sch´ema formel pluristable non d´eg´en´er´e purement de dimension n. Soit Z un espace strictementk-analytique topologiquement s´epar´e de dimension inf´e- rieure ou ´egale `anetϕun morphisme deZ vers X_η. Posons ∆ =ϕ⁻¹(S(X)).

Il existe alors une unique structure lin´eaire par morceaux sur ∆ telle que ϕ_|∆ : ∆→S(X) soit lin´eaire par morceaux, etϕ_|∆ est G-localement une im- mersion.

L’une des motivations de ce travail r´eside dans l’espoir (encore bien lointain `a ce jour) d’obtenir une g´en´eralisation en dimension sup´erieure d’un r´esultat [8] de l’auteur qui concerne les courbes alg´ebriquesp-adiques ; une telle g´en´eralisation supposerait d´ej`a d’´etablir l’analogue de plusieurs propositions techniques inter- m´ediaires de [8], comme la«variation du corps r´esiduel»(cf. [8], prop. 2.3) ou la notion de«poly`edre de variation»(cf. [8], prop. 1.21). Le th´eor`eme d´emon- tr´e ici a justement comme corollaires certains des r´esulats souhait´es (cf.§3.29 et 3.30).

0. Pr´eliminaires et notations

0.1. On appelleracorps valu´eun corps muni d’une valeur absolue ultram´etrique non triviale. Si k est un tel corps on emploiera, sauf mention expresse du contraire, les notations suivantes :

• |.|pour la valeur absolue dek.

• k⁰ pour le sous-anneau {x ∈ k t.q. |x| ≤ 1} de k et k⁰⁰ pour l’id´eal dek⁰form´e des ´el´ements de valeur absolue strictement inf´erieure `a 1. Le quotientk⁰/k⁰⁰sera not´eek et appel´ecorps r´esidueldek.

• p

|k^∗| pour le sous-groupe de R^∗+ form´e des ´el´ements de torsion mo- dulo|k^∗|.

0.2. Soitkun corps. On appellerak-vari´et´e alg´ebriquetoutk-sch´ema s´epar´e de type fini. Pour tout entiern, on noteraAⁿk l’espace affine de dimensionnsurk.

On notera indiff´eremmentGm,kle groupe multiplicatif et lak-vari´et´eA¹k− {0} qui lui est sous-jacente.

On fixe un corps valu´e complet k.

0.3. Le terme d’espace k-analytique sera dans la suite `a prendre au sens de Berkovich, et plus pr´ecis´ement de [3] ; les notions de base de sa th´eorie, qui sont pour l’essentiel d´efinies dans le chapitre 1 de [3], seront utilis´ees sans rappel ni justification. Un espace k-analytique est en particulier un espace topologique au sens classique. De plus, la cat´egorie de ses domaines analytiquespeut ˆetre munie d’une topologie de Grothendieck que l’on appellera laG-topologie. SiX est une k-vari´et´e alg´ebrique on notera X<sup>an</sup> son analytification. Si A est une alg`ebre k-affino¨ıde on notera M(A) l’espace k-analytique qui lui est associ´e.

Si X est un espacek-analytique etP un point deX on noteraH(P) le corps r´esiduel compl´et´e de P. Notons que ce corps est invariant par immersion, ce qui justifie l’omission deXdans la notationH(P). Un espacek-analytique sera dit int`egres’il est irr´eductible et r´eduit.

0.4. On dira qu’un espacek-analytique estalg´ebro¨ıdes’il est isomorphe `a un domaine analytique de l’analytificationX<sup>an</sup> d’unek-vari´et´e alg´ebriqueX. 0.5. SiX est alg´ebro¨ıde et siY →X est quasi-´etale (cette notion est d´efinie au paragraphe 3 de [4]), on d´eduit du lemme de Krasner et du th´eor`eme 3.4.1 de [3] que tout point deY poss`ede un voisinage alg´ebro¨ıde.

0.6. SoitX unk⁰-sch´ema. On noteraX^η sa fibre g´en´erique,X^ssa fibre sp´eciale et Xb le compl´et´e formel deX le long deX^s. SiXest unk⁰-sch´ema formel, on notera Xs sa fibre sp´eciale ; si X admet un recouvrement localement fini par des ouverts de pr´esentation finie sur Spfk⁰, on peut d´efinir (cf. [4],§1) sa fibre g´en´eriqueXηqui est unk-espace analytique. On dispose alors d’une application de r´eductionπ :Xη→Xs.

SiXest unk⁰-sch´ema quelconque, on aX^s=Xb^s; s’il admet un recouvrement localement fini par des ouverts de pr´esentation finie sur Speck⁰, on dispose d’une fl`eche naturelle Xb^η → Xη^an qui est un isomorphisme si X est propre (cf. [4], §5).

0.7. Dans tout le texte les d´efinitions, notations et conventions relatives aux espaces lin´eaires par morceaux sont celles introduites par Berkovich dans [1],

§1. Le terme «lin´eaire par morceaux» sans plus de pr´ecision signifiera tou- jours dans la suite «p

|k^∗|_Q-lin´eaire par morceaux». Tout espace lin´eaire par morceaux est muni d’une topologie (au sens classique). On peut par ailleurs d´efinir, sur la cat´egorie de ses sous-espaces lin´eaires par morceaux, une topo- logie de Grothendieck que l’on appellera simplement la G-topologie. Notons que comme Q est un corps et p

|k^∗| un Q-espace vectoriel toute application lin´eaire par morceaux bijective entre espaces lin´eaires par morceaux est un iso- morphisme (ce qui est faux pour des ensembles de coefficients plus g´en´eraux).

0.8. Soit Xun k⁰-sch´ema formel pluristable non d´eg´en´er´e (cf. [5], §1 et [1],

§4.1). On notera S(X) son squelette ; c’est un sous-ensemble ferm´e de Xη sur lequel ce dernier se r´etracte (cf. [1], §§4 et 5), et qui peut ˆetre muni d’une structure (|k^∗| ∩[0; 1])_Z+-lin´eaire par morceaux. On peuten particulierle voir comme un espace lin´eaire par morceaux au sens donn´e au§0.7 ci-dessus, ce que l’on fera d´esormais.

0.9. Soit` un entier naturel. On dira qu’un k<sup>0</sup>-sch´ema formel X admet une bonne fibration de longueur ` si le morphisme structuralX→Spfk⁰ peut se d´ecomposer sous la forme

X=X`→Z`→X`−1→Z`−1→X`−2→ · · · →Z0= Spfk⁰

o`u :

• pour toutjcompris entre 0 et`, les sch´emas formelsXj etZj sont affines ;

• pour toutj compris entre 0 et`, la fl`echeX_j →Z_j est ´etale et induit un isomorphisme entre les ensembles polysimpliciaux associ´es, et donc entre S(Xj) etS(Zj) ;

• pour toutjcompris entre 1 et`, leX<sub>j−1</sub>-sch´ema formelZ<sub>j</sub>est isomorphe `a X_j−1(nj,aj, mj) pour une famille (nj,aj, mj) convenable (pour le sens de cette notation,cf. [1],§4.1) telle que les fonctions surX_j−1qui constituent la familleaj soient toutes non nulles.

Notons que si un k⁰-sch´ema formel admet une bonne fibration, il est stric- tement pluristable non d´eg´en´er´e ; sa fibre g´en´erique est irr´eductible.

0.10. Si (r1, . . . , rn) est une famille denr´eels strictement positifs, on notera η^r_k^1,...,rn le point deA^n,ank d´efini par la semi-norme

Xai1,...,inT₁ⁱ¹· · ·T_nⁱⁿ 7−→max|ai1,...,in|rⁱ₁¹· · ·rⁱ_nⁿ.

L’application (r1, . . . , rn)7→η_k^r1,...,rn induit un hom´eomorphisme entre (R^∗+)ⁿ et un sous-ensembleS_kⁿdeA^n,ank , qui est ferm´e dans l’ouvert (G^anm,k)ⁿdeA^n,ank . 0.11.Remarque. — Si L/kest une extension finie de corps valu´es, alorsS_Lⁿ est l’image r´eciproque deS_kⁿ par la fl`eche naturelleA^n,anL →A^n,ank et l’applica- tion continue S_Lⁿ→S_kⁿ ainsi induite est un hom´eomorphisme.

0.12. Pour toute famille (r1, . . . , rn) de r´eels strictement positifs, le corps r´esiduel compl´et´e H(η_k^r1,...,rn) sera not´e kr1,...,rn. Si la famille des ri est libre dans (R^∗+/|k^∗|)⊗ZQ, alorskr1,...,rn est l’ensemble des s´eries formelles

Xai1,...,inT₁ⁱ¹· · ·T_nⁱⁿ

o`u les ij appartiennent `a Z et telles que |ai1,...,in|rⁱ₁¹· · ·rnⁱⁿ tende vers z´ero lorsque|i1|+· · ·+|in|tend vers l’infini. La valeur absolue d’une telle s´erie est

´egale `a max|ai1,...,in|r₁ⁱ¹· · ·rⁱ_nⁿ.

0.13. Par analogie avec le cas des sch´emas on dira qu’un morphismeY →X d’espacesk-analytiques estradiciel s’il est universellement injectif, c’est-`a-dire s’il est injectif et si H(P) est une extension radicielle de H(ϕ(P)) pour tout point P de X. Un revˆetement fini radiciel et plat induit un hom´eomorphisme entre les espaces topologiques sous-jacents.

0.14. SoientAune alg`ebrek-affino¨ıde int`egre etBuneA-alg`ebre int`egre finie et plate, telle que la fl`echeM(B)→ M(A) soit radicielle. Le corps des fractions de B est alors une extension finie purement ins´eparable de celui deA. On en d´eduit l’existence d’un entierrstrictement positif (qui est une puissance de la caract´eristique dek) tel que pour tout ´el´ementf deBla fonctionf<sup>r</sup>provienne du corps des fractions deA; par fid`ele platitude on conclut quef^r provient de

A (appliquer la prop. 9c) de [7], chap. I, §3, en prenant pour A-module F le quotient deApar un d´enominateur def^r).

1. Le rang total d’une extension de corps valu´es

L’auteur a introduit la notion de rang total et ´etabli ses premi`eres propri´et´es pour les besoins de cet article. En fait Berkovich avait d´ej`a consid´er´e certaines de ces questions au chapitre 9 de [2]; le rang total ici d´efini correspond `a ce qu’il note d(K)et le lemme1.6 `a sa proposition 9.1.3.

1.1. D´efinition. — SoitL/kune extension de corps valu´es. On d´efinit son rang totalcomme l’´el´ement

deg tr(eL/ek) + dim_Q (|L^∗|/|k^∗|)⊗ZQ deN∪ {+∞}.On le noteρ(L/k).

1.2. SiM/Let L/ksont deux extensions de corps valu´es alors ρ(M/k) =ρ(M/L) +ρ(L/k).

1.3. Exemple. — Soitkun corps valu´e, soittune ind´etermin´ee etrun r´eel strictement positif. Munissons k(t) de la valeur absolue P

aitⁱ 7→ max|ai|rⁱ. Sirest de torsion modulo|k^∗|, alors|k(t)^∗|/|k^∗|est fini etk(t) est transcendantg pur de degr´e 1 surek. Dans le cas contraire|k(t)^∗|/|k(t)|est libre de rang 1 etk(t)g est ´egal `aek. Dans les deux casρ(k(t)/k) = 1.

1.4. Exemple. — Soitk un corps valu´e complet et (r1, . . . , rn) une famille denr´eels strictement positifs. Consid´eronsk(T1, . . . , Tn) comme un sous-corps valu´e de kr1,...,rn. On cherche `a d´eterminerρ(k(T1, . . . , Tn)/k). L’exemple 1.3 ci-dessus, combin´ee au §1.2 et `a une r´ecurrence imm´ediate, entraˆıne l’´egalit´e ρ(k(T1, . . . , Tn)/k) = n. Comme k(T1, . . . , Tn) est dense dans kr1,...,rn, on a aussiρ(kr1,...,rn/k) =n.

1.5. Lemme. — Soitn un entier et soit X un k⁰-sch´ema formel pluristable non d´eg´en´er´e purement de dimension n. Soit P appartenant `a S(X). Alors ρ(H(P)/k) =n.

D´emonstration. — Un morphisme ´etale de sch´emas formels induit un mor- phisme quasi-´etale entre leurs fibres g´en´eriques (cf. [4], prop. 2.3) ; et un mor- phisme quasi-´etale conserve le rang total du corps r´esiduel d’un point au-dessus dek(puisque le rang total d’une extension finie est nul).

On sait par Berkovich [1], §5.5, que toutk⁰-sch´ema formel pluristable non d´eg´en´er´eXposs`ede un recouvrement ´etale par une famille (Xi) o`u Xi est pour toutiunk⁰-sch´ema formel admettant une bonne fibration. La combinaison de cette observation et de la remarque ci-dessus permet de se ramener au cas o`uX admet une bonne fibration d’une certaine longueur`. On conclut en raisonnant

par r´ecurrence sur`. Le cas`= 0 est trivial. Le passage du rang`au rang`+ 1 repose sur une description explicite du squelette des fibres de Z_{`,η</sub> → X<sub>`−1,η} (fond´ee sur les r´esultats de Berkovich ´etablis dans [5], ´etape 3 de la preuve du th. 5.2), sur l’exemple 1.4 et sur la remarque faite en d´ebut de preuve pour traiter le passage deZ<sub>`</sub>`aX_`.

Le lemme qui suit a ´et´e ant´erieurement ´etabli par Berkovich (c’est la pro- position 9.1.3 de [2], avec la mˆeme preuve que ci-dessous). Nous en donnons la d´emonstration pour la commodit´e du lecteur.

1.6. Lemme. — Soientk un corps valu´e complet et X un espace strictement k-analytique. Alors

dimX= max

P∈Xρ H(P)/k .

D´emonstration. — La dimension de X ´etant ´egale `a la dimension maximale d’un domaine affino¨ıde de X, on se ram`ene aussitˆot au cas o`uX lui-mˆeme est strictementk-affino¨ıde. Le lemme de normalisation de Nœther (cf. [6], cor. 2, p. 228) permet ensuite de supposer que X est le polydisque unit´e de dimen- sion n. On conclut par une r´ecurrence facile surn fond´ee sur la description explicite des points de la droite projective (voir [2], 1.4.4 et [3],§3.6).

1.7. Remarque. — On peut montrer que l’assertion reste vraie pour un espacek-analytique quelconque (on se ram`ene au cas strictementk-analytique par changement de corps), mais nous n’en aurons pas besoin ici.

1.8. Lemme. — Soit k un corps valu´e complet et soit n un entier. Soit A une alg`ebre strictement k-affino¨ıde r´eduite de dimensionn etBune A-alg`ebre finie. Notonsϕla fl`echeM(B)→ M(A). Soitx un point deM(A)poss´edant un et un seul ant´ec´edenty parϕet tel queρ(H(x)/k) =n; faisons l’hypoth`ese queH(y)/H(x)est purement ins´eparable. Il existe alors un ouvert ZariskiΩde M(A)contenant x tel queϕ⁻¹(Ω)→Ωsoit fini, radiciel et plat.

D´emonstration. — D´esignons par $ la fl`eche naturelle M(A) → SpecA. Comme ρ(H(x)/k) = n, le lemme 1.6 ci-dessus montre que x n’appartient

`

a aucun sous-ensemble ferm´e analytique de M(A) de dimension strictement inf´erieure `an. En cons´equence$(x) est le point g´en´eriqueη de l’une des com- posantes irr´eductibles de SpecA. La fibre de SpecB →SpecAau-dessus deη est n´ecessairement r´eduite `a un pointdont le corps r´esiduel est une extension finie purement ins´eparable du corps r´esiduel de η. Ceci entraˆıne, l’anneau A

´etant r´eduit, l’existence d’un ouvert Zariski U de SpecA contenantη tel que SpecB ×^SpecAU → U soit fini, radiciel et plat. On en d´eduit d´ej`a, `a l’aide de la prop. 3.2.1 de [3], queM(B)→ M(A) est fini et plat au-dessus de$⁻¹(U).

Montrons qu’il est radiciel au-dessus de ce mˆeme ouvert. Cela r´esulte du simple fait suivant : si E/F est une extension finie purement ins´eparable de corps et si|.|est une valeur absolue ultram´etrique surF, alors|.|admet une

unique extension `a E et l’extension correspondante E/b Fb entre les compl´et´es est purement ins´eparable. La d´emonstration est termin´ee.

1.9. Lemme. — Soitk un corps valu´e complet, soitnun entier et soit Y un espace strictement k-analytique de dimension inf´erieure ou ´egale `a n. Soit ϕ un morphisme de Y vers un bon espace strictement k-analytique X et soit P un point de Y tel queρ(H(ϕ(P))/k) =n. Sous ces hypoth`eses :

(i) la fibreϕ⁻¹(ϕ(P))est discr`ete ;

(ii) siP appartient `aIntY /X, alorsϕest fini en P;

(iii) siP appartient `aIntY /X et si de plusX est r´eduit et de dimension n, il existe un voisinage strictement k-affino¨ıde U de P dans Y tel que la restriction de ϕ`aU se factorise sous la forme

U −→W −→V −→X o`u

• V →X identifie V `a un voisinage strictement k-affino¨ıde de ϕ(P) dansX,

• W →V est un revˆetement fini ´etale,

• U →W est un revˆetement fini radiciel et plat.

D´emonstration. — SoitQappartenant `aϕ⁻¹(ϕ(P)). On a l’´egalit´e ρ H(Q)/k

=ρ H(Q)/H(ϕ(P))

+ρ H(ϕ(P))/k

=ρ H(Q)/H(ϕ(P)) +n.

CommeY est de dimension inf´erieure ou ´egale `an, le lemme 1.6 implique que ρ(H(Q)/k) ≤ n. On en d´eduit que ρ(H(Q)/H(ϕ(P))) = 0, et ce pour tout pointQappartenant `a l’espaceH(ϕ(P))-analytiqueϕ⁻¹(ϕ(P)). Ce dernier est donc, toujours d’apr`es le lemme 1.6, de dimension nulle, et donc est discret ce qui montre (i). En particulierP est isol´e dans sa fibre et donc siP appartient `a IntY /X le morphismeϕest fini enP en vertu de la prop. 3.1.4 c) de [3], ce qui montre (ii) ; notons que sous ces hypoth`eses il existe un voisinage strictement k-affino¨ıdeU de P dansY et un voisinage strictement k-affino¨ıdeV deϕ(P) dansX tels queϕinduise un morphismefini deU dansV.

Montrons maintenant (iii). Soit L la clˆoture s´eparable de H(ϕ(P)) dans H(P). La cat´egorie des H(ϕ(P))-alg`ebres finies ´etales est ´equivalente `a celle des revˆetements finis ´etales du germe (X, ϕ(P)) (cf. [3], th. 3.4.1). Quitte

`

a restreindre V et U, on peut donc supposer qu’il existe un revˆetement fini

´etale W →V dont la fibre en ϕ(P) est isomorphe `aM(L). D`es lors la fibre enP du revˆetement ´etaleW×^V U →U poss`ede un pointP<sup>0</sup> tel que l’injection H(P),→ H(P<sup>0</sup>) soit un isomorphisme ; en cons´equence ledit revˆetement ´etablit un isomorphisme entre un voisinage de P<sup>0</sup> dansW×<sup>V</sup> U et un voisinage deP dans U. On peut donc se ramener, quitte `a restreindre encoreV, U et W, au cas o`uU →V se factorise par un morphisme finiψ:U →W.Par construction de W le corps H(ψ(P)) est s´eparablement clos dans H(P). Notons que X

´etant r´eduit,V l’est aussi ; et comme la dimension deX est inf´erieure ou ´egale

`

an et comme ρ(H(P)/k) =n, la dimension de V est exactementn. Enfin en restreignant encoreV (et par suite U et W), on peut faire l’hypoth`ese que P est le seul ant´ec´edent de ϕ(P) dansU.

La fl`echeW →V est un revˆetement fini ´etale et doncW est ´egalement r´eduit et de dimension n. On peut alors appliquer le lemme 1.8 `a la fl`eche U →W avecP (resp.ψ(P)) dans le rˆole de y (resp.x). On en d´eduit l’existence d’un ouvert Zariski Ω de W contenantψ(P) tel que ψ⁻¹(Ω)→Ω soit fini, radiciel et plat. Soit V⁰ un voisinage strictementk-analytique deϕ(P) dansV tel que (ϕ_|U)⁻¹(V⁰) soit inclus dans ψ⁻¹(Ω) ; on conclut en rempla¸cantV (resp. W, resp.U) parV⁰ (resp. par l’image r´eciproque deV⁰ dansW, resp. par l’image r´eciproque deV⁰ dansU).

2. Morphismes discrets entre espaces lin´eaires par morceaux 2.1. D´efinition. — SoitX un espace lin´eaire par morceaux. On dira que X est unpseudo-polytopes’il existe un isomorphismeϕentreX et un polytopeY de (R^∗+)^mpour un certain m. On appelleraint´erieurd’un pseudo-polytopeX l’ensemble des points deX poss´edant un voisinage hom´eomorphe `a une boule ouverte. Le borddeX est le compl´ementaire de son int´erieur.

2.2. SoitX un pseudo-polytope etnsa dimension. On appellera syst`eme de coordonn´eessurX toutn-uplet (t1, . . . , tn) de fonctions lin´eaires par morceaux sur X qui induit un isomorphisme entre X et un polytope de (R<sup>∗</sup>+)<sup>n</sup>. Soit (ti) un tel syst`eme de coordonn´ees sur X. Soit p un entier ; une application deX dans (R^∗+)^p sera diteaffine relativement au syst`eme desti si chacune de ses coordonn´ees est de la forme rQ

t^a_iⁱ o`u r est un ´el´ement de p

|k^∗| et o`u lesai appartiennent `aQ. Une applicationϕdeX vers un pseudo-polytopeX⁰ de dimension pmuni d’un syst`eme de coordonn´ees (t<sup>0</sup><sub>1</sub>, . . . , t<sup>0</sup><sub>p</sub>) sera diteaffine relativement au syst`eme desti et `a celui dest<sup>0</sup><sub>j</sub>si pour toutjla compos´eet<sup>0</sup><sub>j</sub>◦ϕ est affine relativement au syst`eme desti.

2.3. Proposition. — Soit X un espace lin´eaire par morceaux, soit Y un espace topologique et soit ϕ : Y → X une application continue `a fibres dis- cr`etes. Convenons d’une dire qu’une structure lin´eaire par morceaux surY est compatible avecϕsi elle fait de ϕune application lin´eaire par morceaux.

(i) Il existe alors au plus une structure lin´eaire par morceaux surY compa- tible avec ϕ.

(ii) Si une telle structure existe, alors ϕestG-localement une immersion.

(iii) Si une telle structure existe et si Z est un sous-ensemble de Y muni d’une structure lin´eaire par morceaux compatible avec ϕ, structure qui est n´ecessairement unique d’apr`es le (i), alors Z est un sous-espace lin´eaire par morceaux de Y.

D´emonstration. — SupposonsY muni d’une structure lin´eaire par morceauxS compatible avecϕ. On se propose caract´eriserS `a l’aide des propri´et´es intrin- s`eques de la fl`echeY →X. La d´emonstration repose sur plusieurs lemmes.

2.3.1. Lemme. — Soit W un pseudo-polytope de X. L’espace lin´eaire par morceaux ϕ⁻¹(W) poss`ede un G-recouvrement par une famille (Vi) o`u Vi est pour toutiun pseudo-polytope deY tel queϕ_|Vi soit injective, et donc ´etablisse un isomorphisme entre Vi etϕ(Vi).

D´emonstration. — Choisissons un syst`eme de coordonn´ees sur W. Commeϕ est lin´eaire par morceaux, ϕ<sup>−1</sup>(W) est un sous-espace lin´eaire par morceaux deY. Il poss`ede donc unG-recouvrement par une famille de pseudo-polytopes (Vi) telle que pour toutil’applicationϕ_|Visoit affine relativement `a un syst`eme de coordonn´ees convenable sur Vi et `a celui choisi sur W. Comme ϕ<sub>|</sub>Vi est `a fibres discr`etes, elle est injective.

2.3.2.Lemme. — SoientW un pseudo-polytope deX etσune section continue de ϕsurW. L’applicationσ est lin´eaire par morceaux.

D´emonstration. — D’apr`es le lemme pr´ec´edent, il existe un G-recouvrement de ϕ<sup>−1</sup>(W) par une famille (Vi) o`u chaqueVi est un pseudo-polytope tel que ϕ_|Vi ´etablisse un isomorphisme entre Vi et ϕ(Vi). Comme σ(W) est compact, il existe un ensemble finiI d’indices tel queσ(W)⊂S

IVi. Soitnla dimension deW. Notons que pour toutile pseudo-polytopeVi s’injecte de mani`ere affine dans W et est donc de dimension inf´erieure ou ´egale `a n. Soit J l’ensemble des indicesj appartenant `aI tels que Vj soit de dimensionnet tel que σ(W) rencontre l’int´erieur V<sub>j</sub><sup>0</sup> de Vj. Soit j appartenant `a J. Il existe un point P appartenant `a W tel que σ(P) appartienne `a V_j⁰. Comme V_j⁰ est connexe, il en va de mˆeme de σ(ϕ(V_j⁰)). D´esignons par Uj le compl´ementaire de Vj dans S

IVi. Commeσ(ϕ(V_j⁰)) ne rencontre pas le bord deVj, on peut l’´ecrire comme la r´euniondisjointedes deux ouvertsUj∩σ(ϕ(V_j⁰)) etV_j⁰∩σ(ϕ(V_j⁰)). Comme σ(ϕ(V_j⁰)) est connexe et rencontre V_j⁰, on a σ(ϕ(V_j⁰) ⊂ V_j⁰; comme ϕ_|V_j⁰ est injective, l’application σ◦ϕ_|V_j⁰ est l’identit´e. Par continuit´e (l’espace Vj est s´epar´e) σ◦ϕ_|Vj = IdVj. La restriction de σ `a ϕ(Vj) est donc la r´eciproque deϕ_|Vj et est en particulier lin´eaire par morceaux.

Soit P appartenant `a W. Comme tout voisinage de P contient un sous- ensemble hom´eomorphe `a une boule ouverte de dimensionn, l’image parσ de tout voisinage dePrencontre l’int´erieur deVjpour un certainjappartenant `aJ et donc tout voisinage de P rencontre la r´eunion des ϕ(Vj) o`u j parcourt J.

Cette r´eunion est donc un sous-ensemble compact et dense de W, c’est par cons´equentW lui-mˆeme. Et commeσ_|ϕ(Vj) est d’apr`es ce qui pr´ec`ede lin´eaire par morceaux pour toutjappartenant `aJ, on en d´eduit queσ est lin´eaire par morceaux.

2.3.3. Suite de la d´emonstration de la proposition2.3. — SoientW un pseudo- polytope de X et σ une section continue de ϕ d´efinie sur W. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, σ est lin´eaire par morceaux et bien sˆur propre. Son imageσ(W) est donc un sous-espace lin´eaire par morceaux deY (cf. [1],§1.3) ; sa structure, qui est celle induite parS, peut ´egalement ˆetre d´ecrite comme la structure lin´eaire par morceaux d´eduitevia σ de celle deW.

Consid´erons la famille T des σ(W) o`u W parcourt l’ensemble des pseudo- polytopes deX et o`uσparcourt, pourW fix´e, l’ensemble des sections continues de ϕ surW; on munit chacun des σ(W) de la structure de poly`edre d´eduite via σ de celle de W. On va montrer que T constitue un atlas lin´eaire par morceaux surY et que la structure qu’il d´efinit est pr´ecis´ement la structureS fix´ee sur Y. Ceci prouvera bien que cette derni`ere peut se d´efinir uniquement en termes des propri´et´es intrins`eques de l’application continueϕ, et ach`evera la d´emonstration de (i) et de (ii), le fait queϕsoit G-localement une immersion d´ecoulant imm´ediatement de la d´efinition deT.

Notons d´ej`a que d’apr`es ce qui pr´ec`ede chaque ´el´ement deT est un poly`edre pourS; il suffit donc de montrer que tout point deY poss`ede un voisinage qui est r´eunion finie d’´el´ements deT. SoitP appartenant `aY. Il existe un voisinage de ϕ(P) dans X qui est r´eunion d’un nombre fini de poly`edres, et mˆeme de pseudo-polytopes ; il suffit donc de montrer que pour tout pseudo-polytope P de X, l’ensemble ϕ<sup>−1</sup>(P) poss`ede unG-recouvrement par des ´el´ements deT. D’apr`es le lemme 2.3.1, le sous-espace lin´eaire par morceaux ϕ<sup>−1</sup>(P) de Y poss`ede unG-recouvrement par une famille (Vi) de pseudo-polytopes telle que ϕ_|Vi ´etablisse pour tout iun isomorphisme entreVi et ϕ(Vi). Fixonsi. Si l’on note σ la r´eciproque de ϕ_|Vi : Vi → ϕ(Vi) on a alors Vi = σ(ϕ(Vi)), ce qui montre queVi appartient `aT. La d´emonstration de (i) et (ii) est achev´ee.

2.3.4. Montrons maintenant (iii). On suppose doncY munie d’une structure lin´eaire par morceaux compatible avecϕ. SoitZ un sous-ensemble deY muni d’une structure lin´eaire par morceaux compatible avecϕ. L’application conti- nue ϕ_|Z est bien sˆur `a fibres discr`etes. Les r´esultats ´etablis au §2.3.3 s’ap- pliquent `aZ; la structure lin´eaire par morceaux de ce dernier est donc donn´ee par l’atlas form´e des σ(W) o`u W parcourt l’ensemble des pseudo-polytopes deX et o`uσ parcourt,W ´etant fix´e, l’ensemble des sections deϕd´efinies sur W et `a valeurs dansZ.En particulier tout point deZposs`ede un voisinage qui est r´eunion finie de tels σ(W). Or chacun de ces σ(W) est un poly`edre pour la structure lin´eaire par morceaux deY (toujours d’apr`es le§2.3.3) ; en cons´e- quenceZest bien un sous-espace lin´eaire par morceaux deY. La d´emonstration est termin´ee.

2.4.Corollaire. — SoitX un espace topologique s´epar´e et localement com- pact et soit (Xi)une famille de sous-ensembles de X tel que tout point de X

poss`ede un voisinage qui soit r´eunion d’un nombre fini deXi. Soitϕune appli- cation continue `a fibres discr`etes deX vers un espace lin´eaire par morceauxY.

Supposons que pour tout couple (i, j) il existe une structure lin´eaire par mor- ceauxS^(i,j) surXi∩Xj compatible avecϕ. Alors il existe une unique structure lin´eaire par morceaux sur X compatible avec ϕ etϕ estG-localement une im- mersion.

D´emonstration. — Comme les fibres deϕsont discr`etes on d´eduit de la pro- position 2.3 ci-dessus que pour tout couple (i, j) les structuresS^i,j etS^j,ico¨ın- cident et font deXi∩Xj un sous-espace lin´eaire par morceaux deXi (muni de S^(i,i)) aussi bien que deXj(muni deS^(j,j)). Il est alors imm´ediat que la r´eunion des atlas lin´eaires par morceaux de chacune des structures S(i,i) constitue un atlas lin´eaire par morceaux sur X qui d´efinit une structure compatible avec ϕ. L’unicit´e de la structure lin´eaire par morceaux sur X et le fait que ϕ soit G-localement une immersion proviennent de la proposition 2.3.

2.5. Corollaire. — SoientX, Y etZ trois espaces lin´eaires par morceaux, soit ϕ:Y →Z une application lin´eaire par morceaux `a fibres discr`etes et soit ψ : X → Y une application continue `a fibres discr`etes telle que ϕ◦ψ soit lin´eaire par morceaux. Alors ψest lin´eaire par morceaux.

D´emonstration. — L’applicationϕ◦ψ´etant lin´eaire par morceaux et `a fibres discr`etes elle est G-localement une immersion d’apr`es la proposition 2.3.

Il existe donc un G-recouvrement de X par une famille (Pⁱ) de poly`edres tels que ϕ◦ψ<sub>|Pi</sub> soit injective. Pour tout i l’application ϕ◦ψ ´etablit par cons´equent un isomorphisme lin´eaire par morceaux entre P<sup>i</sup> et ϕ◦ψ(P<sup>i</sup>), et ψ (resp. ϕ) induit un hom´eomorphisme entre P<sup>i</sup> et ψ(P<sup>i</sup>) (resp. entreψ(P<sup>i</sup>) et ϕ◦ψ(P<sup>i</sup>) ). D`es lors ψ(Pⁱ) est un sous-ensemble deY pouvant ˆetre muni d’une structure lin´eaire par morceaux compatible avecϕ, `a savoir la structure d´eduite via ϕ de celle de ϕ◦ψ(P<sup>i</sup>). La proposition 2.3 implique alors que ψ(P<sup>i</sup>) est un sous-espace lin´eaire par morceaux deY. De plusψ<sub>|Pi</sub> est ´egale `a (ϕ_|ψ(Pi))⁻¹◦(ϕ◦ψ_|Pi) et est donc lin´eaire par morceaux. Comme ceci est vrai quelque soit iet comme la famille des Pⁱ constitue un G-recouvrement deX l’applicationψest lin´eaire par morceaux.

3. Le th´eor`eme principal et sa preuve Le th´eor`eme principal est le suivant :

3.1. Th´eor`eme. — Soitk un corps valu´e complet. Soient n un entier et X unk<sup>0</sup>-sch´ema formel pluristable non d´eg´en´er´e purement de dimension n. Soit Z un espace strictementk-analytique topologiquement s´epar´e de dimension in- f´erieure ou ´egale `an etϕun morphisme deZ vers Xη. Posons

∆ =ϕ⁻¹ S(X) .

Il existe alors une unique structure lin´eaire par morceaux sur ∆telle que ϕ_|∆: ∆−→S(X)

soit lin´eaire par morceaux et ϕ_|∆est G-localement une immersion.

D´emonstration. — Elle comprend quatre ´etapes.

Premi`ere ´etape : on se r´eduit au cas o`uXest strictement pluristable non d´eg´e- n´er´e.

3.2. Remarque pr´eliminaire. — En vertu des lemmes 1.5 et 1.9, la fibre deϕen tout point deS(X) est discr`ete.

3.3. Supposons que l’on sache montrer le th´eor`eme lorsqueXeststrictement pluristable et non d´eg´en´er´e ; on va expliquer comment l’en d´eduire dans le cas g´en´eral. Choisissons un morphisme ´etale surjectif et quasi-compact Y → X o`uYest strictement pluristable non d´eg´en´er´e. PosonsZ⁰=Z×^XηYη. 3.4. Consid´erons le diagramme commutatif suivant dont les fl`eches verticales sontsurjectives(cela se voit en utilisant le lemme 2.2 de [4]) :

Z⁰×^ZZ⁰ −−−−−→^ϕ00 Yη×^XηYη



yy yy Z⁰ −−−−−−−−−−→^ϕ00 Yη



y y Z −−−−−−−−−−→^ϕ00 Xη

3.5. On rappelle que ∆ =ϕ⁻¹(S(X)). On note de mˆeme ∆⁰ (resp. ∆⁰⁰) l’image r´eciproque deS(Y) (resp. deS(Y×^XY)) parϕ⁰ (resp.ϕ⁰⁰). CommeS(Y×^XY) (resp. S(Y)) est l’image r´eciproque deS(Y) (resp. de S(X)) par chacune des deux projectionsY_η×^XηY_η→Y_η (resp. par la fl`echeY<sub>η</sub>→X<sub>η</sub>) on en d´eduit que ∆<sup>00</sup> (resp. ∆<sup>0</sup>) est l’image r´eciproque de ∆<sup>0</sup> (resp. de ∆) par chacune des deux fl`eches Z⁰×^ZZ⁰ → Z⁰ (resp. par la fl`eche Z<sup>0</sup> → Z). Comme le produit tensoriel compl´et´e de deux corps valu´es complet au-dessus d’un troisi`eme est non nul on en d´eduit que ∆ estensemblistementle conoyau du diagramme

∆⁰⁰−→−→∆⁰

Comme Z⁰ → Z est un recouvrement quasi-´etale et comme ∆ est un ferm´e deZ, on d´eduit du lemme 5.11 de [5] que ∆ esttopologiquementle conoyau du diagramme ∆⁰⁰ −→−→∆⁰.

3.6. On s’est plac´e sous l’hypoth`ese o`u l’on savait d´emontrer le th´eor`eme 3.1 dans le cas strictement pluristable. Les sch´emas formels Y et Y×^XY sont strictement pluristables non d´eg´en´er´es et purement de dimension n et les es- paces strictementk-analytiquesZ⁰etZ⁰×^ZZ⁰sont de dimension au plusn. On peut en cons´equence munir ∆⁰ (resp. ∆⁰⁰) d’une structure lin´eaire par morceaux

compatible avec ϕ⁰_|∆⁰ (resp. avec ϕ⁰⁰_|∆⁰⁰) ; de plus dans ce casϕ⁰⁰_|∆⁰⁰ et ϕ⁰_|∆⁰

sontG-localement des immersions, et il en va de mˆeme deS(Y×^XY)→S(Y) (puisque c’est un morphisme `a fibres finies). Soient p l’une des deux projec- tionsY<sub>η</sub>×<sup>Xη</sup>Y<sub>η</sub> →Y<sub>η</sub> etqla fl`eche correspondante deZ⁰×^ZZ⁰ versZ⁰; on a doncϕ⁰◦q=p◦ϕ⁰⁰. D`es lorsϕ<sup>0</sup>◦qest lin´eaire par morceaux. Orϕ<sup>0</sup>est lin´eaire par morceaux et `a fibres discr`etes au-dessus deS(Y) etqest ´egalement `a fibres discr`etes puisque quasi-´etale. Le corollaire 2.5 assure alors queq_|∆⁰⁰ : ∆⁰⁰→∆⁰ est lin´eaire par morceaux.

On sait que l’espace lin´eaire par morceauxS(X) est le conoyau du diagramme S(Y×^XY)−→−→S(Y).

On a vu par ailleurs que ∆ est topologiquementle conoyau ∆⁰⁰ −→−→∆⁰. Or les deux fl`eches de ∆<sup>00</sup> vers ∆<sup>0</sup>sont lin´eaires par morceaux d’apr`es ce qui pr´ec`ede ; on peut donc munir ∆ d’une structure lin´eaire par morceaux compatible avecϕ,

`

a savoir celle de conoyau dans la cat´egorie des espaces lin´eaires par morceaux (cf. [1], prop. 3.6.1) du diagramme ∆⁰⁰ −→−→∆⁰.

On s’est donc bien ramen´e au cas o`u Xest strictement pluristable non d´e- g´en´er´e.

Deuxi`eme ´etape : on remplace Xη par (G^anm,k)ⁿ etS(X)parS_kⁿ.

3.7. On suppose donc `a partir de maintenant queXest strictement pluristable non d´eg´en´er´e. Berkovich (voir [1],§5.5), a d´emontr´e queXposs´edait un recou- vrement ouvert par une famille (Xi) de sch´emas formels telle que chacun desX<sub>i</sub> admette une bonne fibration. Pour toution d´esigne parZil’image r´eciproque deXi,η parϕ. Si l’on sait munir pour toutiet pour tout domaine strictement k-analytiqueT de Zi l’ensembleT ∩∆ d’une structure lin´eaire par morceaux compatible avecϕ, alors le corollaire 2.4 appliqu´e `a la famille des ∆∩Zi permet de conclure `a la validit´e du th´eor`eme. On se ram`ene ainsi au cas o`uXlui-mˆeme admet une bonne fibration

X=X`→Z`→X`−1→Z`−1→X`−2→ · · · →Z0= Spfk⁰.

On reprend les notationsnj,aj,mjintroduites au 0.9 lors de la d´efinition d’une bonne fibration.

3.8. Pour toutjcompris entre 0 et`l’image deS(X) dansXj,η(resp. dansZj,η) appartient `aS(Xj) (resp. `aS(Zj)). Fixonsj entre 1 et`. On a

Zj 'Xj−1(nj,aj, mj), c’est-`a-dire encore

Zj 'Xj−1(nj,aj)×k⁰Gm^mj

o`u l’on a d´esign´e parG^m le sch´ema formel

Spf k{T, S}/(T S−1) .

Tout point deS(Zj) s’envoie par la seconde projection sur l’unique pointPj

du bord de Shilov de G^m,ηmj . Supposons que l’ensemble des entiers j compris entre 1 et ` tels que mj soit non nul est non vide et soit j0 son plus petit

´el´ement. Rempla¸cons :

• kpparH(Pj0) (notons que comme|H(Pj0)^∗|=|k^∗|, les notions de structure

|k^∗|_Q-lin´eaire par morceaux et de structure p

|H(Pj0)^∗|_Q-lin´eaire par morceaux co¨ıncident) ;

• chacun des sch´emas formels Xj et Zj pour j < j0 par son produit fibr´e avecH(Pj0)⁰ au-dessus dek⁰;

• chacun des sch´emas formelsX_jetZ_jpourj≥j0par son produit fibr´e avec X_j0−1(nj0,aj0)×^k0H(Pj0)⁰ au-dessus deZ_j0'X_j0−1(nj0,aj0)×^k0G^mmj0 ;

• l’espace strictement k-analytique Z par la fibre en Pj0 de la fl`eche com- pos´ee

Z−→Xη −→Zj0,η'Xj0−1(nj0,aj0)η×^kG^m,ηmj0 −→ G^m,ηmj0.

On se ram`ene ainsi au cas o`umj est nul pour tout entierj inf´erieur ou ´egal

`

a j0. En recommen¸cant l’op´eration autant de fois qu’il est n´ecessaire, on se ram`ene finalement `a consid´erer la situation o`u tous les mj sont nuls. Sous cette hypoth`ese on dispose d’une description simple deS(X), description fond´ee sur certains calculs explicites de Berkovich (cf. [5], ´etape 3 de la preuve du th´eor`eme 5.2) ainsi que sur la remarque 0.11.

3.9. Description deS(X). — On suppose donc queXpeut ˆetre munie d’une fibration de la forme d´ecrite au 3.7 pour laquelle les mj sont tous nuls. Le squelette S(X) est alors un poly`edre de dimension exactement n. De plus il existe unn-upletg= (g1, . . . , gn) de fonctions appartenant `aO(X) telles que :

• la famille des|gi||S(X)constitue un syst`eme de coordonn´ees surS(X) ;

• pour tout point P deX_η les propositions suivantes sont ´equivalentes : (i) P appartient `aS(X) ;

(ii) pour tout polynˆome P

aIT^I en n variables `a coefficients dansk, on a l’´egalit´e

X

aIg^I(P)= max

I |aI| ·g(P)^I.

3.10. Sur S(X), lesgi sont inversibles ; on peut donc remplacerZ par le lieu d’inversibilit´e des gi sans changer ϕ⁻¹(S(X)). Le n-uplet (g1, . . . , gn) d´efinit alors un morphisme de Z vers (G^anm,k)ⁿ et ∆ est l’image r´eciproque par cette fl`eche du ferm´eS_kⁿqui a ´et´e d´efini au§0.10 ; rappelons queS_kⁿest naturellement muni d’un hom´eomorphisme avec (R^∗+)ⁿ vialequel on en fait un espace lin´eaire par morceaux.

L’application ∆→S_kⁿ ainsi induite parZ 7→(G^anm,k)ⁿ se factorise parS(X) et S(X)→S_kⁿest une immersion d’espaces lin´eaires par morceaux.

Il suffit par cons´equent de montrer que ∆ peut ˆetre muni d’une structure lin´eaire par morceaux compatible avec ∆→S_kⁿ.

3.11. R´ecapitulation. — On se donne un espace strictementk-analytiqueZ topologiquement s´epar´e et de dimension inf´erieure ou ´egale `a n. Soit ϕ un morphisme Z → (G<sup>an</sup>m,k)<sup>n</sup>; notons ∆ le ferm´e ϕ<sup>−1</sup>(S<sub>k</sub><sup>n</sup>) de Z. On cherche `a montrer que ∆ peut ˆetre muni d’une structure lin´eaire par morceaux compatible avecϕ. Pour le probl`eme auquel on s’int´eresse seul importel’espace topologique sous-jacent `aZ; on peut donc supposer queZ est r´eduit.

Troisi`eme ´etape : on se ram`ene au cas o`u ϕest un morphisme fini ´etale d’un espace alg´ebro¨ıde sur un domaine de (G^anm,k)ⁿ. Le contexte est celui du §3.11 ci-dessus.

3.12. SoitP un point de ∆ et soitY un domaine strictementk-affino¨ıde deZ contenant P. La dimension de Z est inf´erieure ou ´egale `an; il en va donc de mˆeme de celle deY. Par ailleursϕ(P) appartient `aS_kⁿ et donc

ρ H(ϕ(P))/k

=n

d’apr`es l’exemple 1.4. On en d´eduit que ρ(H(P)/k) ≥ n puis finalement, en utilisant le lemme 1.6, que ρ(H(P)/k) = n et que la dimension de Y est exactement n. D’apr`es la version analytique du lemme de normalisation de Nœther (cf. [6], cor. 2, p. 228), il existe un morphisme fini ψ de Y vers Dⁿ, o`uDd´esigne le disque unit´e de dimension 1. La finitude deψentraˆıne l’´egalit´e ρ(H(ψ(P))/k) = n. Le lemme 1.9 s’applique alors et assure l’existence d’un voisinage strictementk-affino¨ıdeU deP dansY et d’un voisinage strictement k-affino¨ıdeV deψ(P) dansD<sup>n</sup> tels queψ(U)⊂V et tels que la fl`echeU →V ainsi induite se factorise sous la formeU →W →V o`uU →W etW →V sont deux revˆetements finis et plats respectivement radiciel et ´etale. On peut tou- jours supposer que U, V et W sont irr´eductibles (et mˆeme int`egres puisqueZ est r´eduit) et, en utilisant le caract`ere alg´ebro¨ıde de Dⁿ et la remarque 0.5, queW est alg´ebro¨ıde.

3.13. Le corollaire 2.4 permet, de mani`ere analogue `a ce qui a ´et´e fait au 3.7, de raisonnerG-localement surZ et, en se fondant sur les remarques faites au 3.12 ci-dessus, de modifier la question ´etudi´ee.

3.14. Nouvelle version du probl`eme `a traiter. — Soit U un espace strictementk-affino¨ıde int`egre muni d’une fl`eche vers un domaine strictement k-affino¨ıde V de Dⁿ qui se factorise sous la forme U → W → V o`u W est strictementk-affino¨ıde et alg´ebro¨ıde et o`uU →W etW →V sont deux revˆe- tements finis et plats respectivement radiciel et ´etale. Soit ϕ un morphisme deU vers (G^anm,k)ⁿ et ∆ l’image r´eciproque de S_kⁿ parϕ. On souhaite montrer que pour tout domaine strictementk-analytique T de U, l’intersection T∩∆ peut ˆetre munie d’une structure lin´eaire par morceaux compatible avecϕ.

3.15. On travaille d´esormais avec les hypoth`eses et notations du §3.14 ci- dessus. Notons (g1, . . . , gn) les nfonctions inversibles sur U qui d´efinissentϕ etglen-uplet correspondant. D’apr`es le§0.14, il existe alors un entierrstric- tement positif, puissance de la caract´eristique de k, tel que pour tout f ap- partenant `aO(U) la fonctionf^rprovienne deO(W). Notonsϕ^r le morphisme U → (G^anm,k)ⁿ d´efini par le n-uplet (g₁^r, . . . , g^r_n). Comme r est une puissance de la caract´eristique de k les assertions suivantes sont ´equivalentes pour tout pointP deU :

(i) ϕ(P) appartient `aS<sub>k</sub><sup>n</sup>, (ii) ϕ<sup>r</sup>(P) appartient `aS_kⁿ.

Pour tout i, la fonction g_i^r provient de O(W). En cons´equence ϕ^r est la compos´ee de U →W et d’un certain morphisme ψ:W →(G^anm,k)ⁿ; en vertu de l’´equivalence mentionn´ee ci-dessus la fl`echeU →W, qui induit un hom´eo- morphisme entre les espaces topologiques sous-jacents, identifie ∆ etψ⁻¹(Sⁿ_k).

D’autre part commeTest un domaine strictementk-analytique deU, il poss`ede unG-recouvrement par des domaines strictementk-affino¨ıdes rationnels (c’est le th´eor`eme de Gerritzen-Grauert,cf. [6],§7.3.5, cor. 3) et donc d´efinis par des in´egalit´es entre fonctions deO(U). On peut tout aussi bien remplacer chacune d’elles par sar-i`eme puissance et donc supposer qu’elle provient deO(W). Ceci montre queU →W identifieT `a un domaine strictementk-analytique deW.

3.16. On peut donc remplacerU parW,ϕparψet T par son image dansW.

On se ram`ene ainsi au cas o`u U est alg´ebro¨ıde et muni d’une fl`eche ϕ vers (G^anm,k)ⁿ. On conserve les notations ∆ etT du§3.14.

3.17. Le corollaire 2.4 permet une fois encore de raisonnerG-localement surU et donc de faire l’hypoth`ese suivante : il existe unek-vari´et´e alg´ebrique X, un domaine strictement k-affino¨ıde X de X<sup>an</sup> et un isomorphisme entre U et un domaine strictement k-affino¨ıde rationnel de X inclus dansIntX/X<sup>an</sup>. 3.18. On note toujours (g1, . . . , gn) len-uplet qui d´efinitϕ. Soitεun r´eel stric- tement positif tel que pour toutiet pour tout pointP deU l’on ait|gi(P)|> ε (l’existence deεest assur´ee par la compacit´e deU). CommeU est un domaine rationnel deX, il existe un ouvert Ω deXcontenantUet que l’on peut toujours supposer inclus dans IntX/X<sup>an</sup>, etnfonctionsγ1, . . . , γninversibles sur Ω telles que pour toutiet tout pointP deU l’on ait|γi(P)−gi(P)|< ε. D`es lors si l’on d´esigne parψla fl`eche Ω→(G^anm,k)ⁿ induite par lesγi, alorsψ⁻_|U¹(S_kⁿ) = ∆. Or Ω est par construction un ouvert deX^anet est donc sans bord. En rempla¸cant U par Ω etϕ parψ on se retrouve dans la situation d´ecrite au§3.16 avecU de surcroˆıt suppos´esans bord.

3.19. SoitP appartenant `a ∆. Commeϕ(P) appartient `aS_kⁿ, on a ρ H(ϕ(P))/k

=n

d’apr`es l’exemple 1.4. D’autre part comme U est sans bord, P appartient `a IntU/(G^anm,k)ⁿ. Notons enfin que tout voisinage deϕ(P) dans (G^anm,k)ⁿcontient un pav´e de dimensionn inclus dansS_kⁿ. Le lemme 1.9 et le corollaire 2.4 per- mettent alors de supposer que U →(G^anm,k)ⁿ se factorise par un domaine stric- tement k-affino¨ıde V de (G^anm,k)ⁿ contenant un pav´e de dimensionn deS_kⁿ et que la fl`eche U →V admet une d´ecomposition U →W → V o`u U → W et W →V sont deux revˆetements finis et plats respectivement radiciel et ´etale ; on peut supposer queV, W et U sont int`egres et, grˆace `a la remarque 0.5, que W est alg´ebro¨ıde. Enfin puisqueV contient un pav´e de dimensionninclus dans Sⁿ_k, on peut faire l’hypoth`ese, en rempla¸cantV par son intersection avec une polycouronne convenable, queV ∩S_kⁿ est un pav´e de dimensionn.

Le raisonnement tenu au §3.15 peut s’appliquer ici et permet, en rempla-

¸cant U par W et T par son image dans W, de ramener le probl`eme ´etudi´e `a celui d´ecrit ci-dessous.

3.20. Probl`eme final. — On se donne un espace strictement k-affino¨ıde et alg´ebro¨ıde int`egreU muni d’un morphisme ´etaleϕvers un domaine strictement k-affino¨ıdeV de (G^anm,k)ⁿ qui intersecte S_kⁿ selon un pav´eV de dimensionn.

L’image r´eciproque de Vparϕest not´ee ∆. SoitT un domaine strictementk- analytique deU. On souhaite montrer queT∩∆ peut ˆetre muni d’une structure lin´eaire par morceaux compatible avecϕ. On noteg1, . . . , gnlesnfonctions qui d´efinissentϕetglen-uplet correspondant.

Derni`ere ´etape de la d´emonstration : on travaille sous les hypoth`eses et nota- tions du§3.20 ci-dessus.

3.21. CommeU est alg´ebro¨ıde, il existe unek-vari´et´e alg´ebriqueX telle queU s’identifie `a un domaine strictement k-affino¨ıde de X<sup>an</sup>. Berkovich a montr´e (voir [5], lemme 9.4) que l’on pouvait construire par ´eclatements successifs un k<sup>0</sup>-sch´ema Y int`egre, propre et plat poss´edant la propri´et´e suivante : il existe un ouvertU deY^set une immersion ouverte de X dansY^η qui identifieU avec le domaine analytique π⁻¹(U)de Yη^an'Yb^η.

Berkovich d´emontre ensuite ([5], ´etape 3 de la preuve du th. 9.1), en utilisant la th´eorie des alt´erations de De Jong, le r´esultat suivant :

3.22.Proposition (Berkovich, d’apr`es De Jong). — Il existe (i) une extensionL/kfinie normale ;

(ii) un L⁰-sch´ema propre, int`egre, et pluristable non d´eg´en´er´e Y⁰, dont la fibre g´en´erique est lisse ;

(iii) un groupe finiG agissant surY⁰ au-dessus de k⁰;

(iv) un morphisme dominantG-´equivariantψ:Y⁰→ Y(avec action triviale de G sur Y) telle que la fl`eche Yη⁰ → Y^η induite par ψ soit propre et g´en´eriquement finie, et telle que κ(Y^0η)^G soit une extension purement ins´eparable de κ(Y^η).

3.23. Les morphismes induits par ψ aux niveaux sp´ecial, g´en´erique, analy- tique, etc. seront encore not´es ψ. La propri´et´e (iv) implique l’existence d’un ouvert Zariski non videV deY^η tel queψ⁻¹(V)→ V se factorise sous la forme ψ⁻¹(V)→ V⁰→ V o`u ψ<sup>−1</sup>(V)→ V<sup>0</sup>est un revˆetement galoisien de groupe G, et o`uV⁰→ V est un revˆetement fini, radiciel et plat. On pose

U⁰=ψ⁻¹(U), ∆⁰=ψ⁻¹(∆) et T⁰=ψ⁻¹(T).

Soit U⁰ l’image r´eciproque de U par ψ. On a alors U⁰ = π⁻¹(U⁰). Soit U⁰ le sous-sch´ema formel ouvert de Yb⁰ dont l’espace topologique sous-jacent estU⁰; notons queU⁰_η 'U⁰ (cf. [4], fin du§1). On notera encoreg1, . . . , gn les images de ces fonctions dansO(U⁰) etglen-uplet correspondant.

3.24.Lemme. — Le sous-ensemble∆⁰ deU⁰ 'U⁰_η est inclus dansS(U⁰).

D´emonstration. — Notons que comme U⁰ est pluristable non d´eg´en´er´e au- dessus de L⁰ la notationS(U⁰) a bien un sens. Berkovich a d´efini ([5], th. 7.1) une application (x, t) 7→ xt de U⁰_η×[0; 1] vers U⁰η qui induit une r´etraction deU⁰_η surS(U⁰). SoitP appartenant `a ∆⁰. Chaquegi est inversible surU⁰_η. Les fonctions t7→ |gi(Pt)| et t 7→ |g_i⁻¹(Pt)| ´etant croissantes sur [0; 1] pour touti (voir [5], ´enonc´e (a) du th. 7.1) elles sont constantes. D’autre part si P

aIT^I est un polynˆome `a coefficients dansket sitappartient `a [0; 1] on a :

X

aIg(Pt)≥X

aIg(P) (toujours d’apr`es l’´enonc´e (a) du th. 7.1 de [5]) et

X

aIg(Pt)≤max

I |aI| ·g(P_t)= max

I |aI| ·g(P)=X

aIg(P). On en d´eduit que

X

aIg(Pt)=X

aIg(P)= max

I |aI| ·g(P)

et ce quel que soit le polynˆomePaIT^I. En cons´equence,ϕ◦ψ(Pt) appartient

`

a V et est ´egal `a ϕ◦ψ(P). Comme la dimension de U<sup>0</sup><sub>η</sub> sur k est inf´erieure ou ´egale `a n et comme ρ(H(Q)/k) = n pour tout point Q de Sⁿ_k (cf. §1.4), le lemme 1.9 assure que la fibre de ϕ◦ψ en tout point Q de V est discr`ete.

En cons´equencet7→Pt est une application continue de [0; 1] vers un ensemble discret et est donc constante. En particulier P1 = P et P appartient donc

` aS(U⁰).

3.25. Notons que S(U⁰) est a prioriun espacep

|L^∗|_Q-lin´eaire par morceaux mais que p

|L^∗|= p

|k^∗| puisque L/k est finie ; on peut donc le voir (ce que l’on fera) comme un espace p

|k^∗|_Q-lin´eaire par morceaux. Les fonctions gi

sont inversibles sur U⁰ ' U⁰_η. D’apr`es Berkovich (voir [1], th. 5.1.1, (5)), la restriction `a S(U⁰) de chacune des fonctions |gi| est lin´eaire par morceaux.

On peut donc ´ecrire S(U⁰) comme une r´eunion finie S

s∈SP^s o`u P^s est pour