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(K), λ ∈ K, i et j deux entiers entre 1 et p. Soit P ∈ GL

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Academic year: 2022

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(1)

FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019

1.

(Esystlin5.tex)

Soit A ∈ M

p

(K), λ ∈ K, i et j deux entiers entre 1 et p. Soit P ∈ GL

p

(K) telle que P A est obtenue

`

a partir de A en ajoutant λ fois la ligne j ` a la ligne i sans changer les autres (codage L

i

← L

i

+ λL

j

).

Comment est obtenue AP

−1

` a partir de A ? (indiquer seulement le codage)

2.

(Esystlin1.tex)

R´ esoudre le syst` eme suivant aux inconnues x et y lorsqu’il admet une seule solution

ax + by = u cx + dy = v

3.

(Esystlin8.tex)

Calculer le rang de la matrice ` a p lignes et q colonnes dont tous les termes valent 1.

4.

(Esystlin14.tex)

Dans R

4

, on consid` ere quatre vecteurs u

1

, u

2

, u

3

, u

4

d´ efinis par :

u

1

=(−3, 1, −1, 0) u

2

=(−1, 1, 1, 2) u

3

=(4, 3, 1, −1) u

4

=(−2, 1, 1, 1)

Quel est le rang de la famille (u

1

, u

2

, u

3

, u

4

) ?

5.

(Esystlin15.tex)

Dans R

4

, on consid` ere quatre vecteurs u

1

, u

2

, u

3

, u

4

d´ efinis par :

u

1

=(−3, 1, −1, 0) u

2

=(−1, 1, 2, 1) u

3

=(4, −3, −1, 1) u

4

=(−2, 1, 1, 1)

et le syst` eme (S) de quatre ´ equations aux inconnues (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

 

 

 

 

−3x

1

− x

2

+ 4x

3

− 2x

4

= a x

1

+ x

2

− 3x

3

+ x

4

= b

−x

1

+ 2x

2

− x

3

+ x

4

= c x

2

+ x

3

+ x

4

= d Traduire par une propri´ et´ e de S la propri´ et´ e

(a, b, c, d) ∈ Vect(u

1

, u

2

, u

3

, u

4

)

6.

(Esystlin2.tex)

Soit A ∈ M

p

(K), λ ∈ K, i et j deux entiers entre 1 et p. Soit P ∈ GL

p

(K) telle que P A est obtenue

`

a partir de A en ajoutant λ fois la ligne j ` a la ligne i sans changer les autres (codage L

i

← L

i

+ λL

j

).

Comment est obtenue P

−1

A ` a partir de A ? (indiquer seulement le codage)

7.

(Esystlin18.tex)

Dans R

4

, on consid` ere quatre vecteurs u

1

, u

2

, u

3

, u

4

d´ efinis par :

u

1

=(−3, 1, −1, 0) u

2

=(−1, 1, 2, 1) u

3

=(4, −3, −1, 1) u

4

=(−2, 1, 1, 1)

Donner une condition sur a, b, c, d assurant que (a, b, c, d) ∈ Vect(u

1

, u

2

, u

3

, u

4

)

8.

(Esystlin4.tex)

Soit A ∈ M

p

(K), λ ∈ K, i et j deux entiers entre 1 et p. Soit P ∈ GL

p

(K) telle que P A est obtenue

`

a partir de A en ajoutant λ fois la ligne j ` a la ligne i sans changer les autres (codage L

i

← L

i

+ λL

j

).

Comment est obtenue AP ` a partir de A ? (indiquer seule- ment le codage)

9.

(Esystlin9.tex)

Former des relations entre les param` etres assurant que le syst` eme suivant de quatre ´ equations aux inconnues (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) admet des solutions

 

 

 

 

−3x

1

− x

2

− 4x

3

− 2x

4

= a x

1

+ x

2

+ 3x

3

+ x

4

= b

−x

1

+ 2x

2

+ x

3

+ x

4

= c x

2

− x

3

+ x

4

= d

10.

(Esystlin20.tex)

Soit a, b, c, d des fonctions d´ efinies dans R , ` a valeurs r´ eelles et qui admettent les d´ eveloppements limit´ es suivant en 0

a(x) = 1 + x − x

2

+ o(x

2

) b(x) = 1 + 2x − x

2

+ o(x

2

) c(x) = x + 2x

2

+ o(x

2

) d(x) = 1 + 2x + 3x

2

+ o(x

2

)

D´ eterminer les r´ eels α, β, γ tels que d − αa− βb −γc soit n´ egligeable en 0 devant x

2

.

11.

(Esystlin16.tex)

On consid` ere le syst` eme (S) de quatre

´

equations aux inconnues (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

 

 

 

 

−3x

1

− x

2

+ 4x

3

− 2x

4

= a x

1

+ x

2

− 3x

3

+ x

4

= b

−x

1

+ 2x

2

− x

3

+ x

4

= c x

2

+ x

3

+ x

4

= d

Former une relation entre les param` etres assurant que S a des solutions.

1 AESystlin

(2)

FEUILLE DE CALCUL RAPIDE 7 janvier 2019

12.

(Esystlin10.tex)

Former des relations entre les param` etres assurant que le syst` eme suivant de trois ´ equations aux inconnues (x

1

, x

2

, x

3

) admet des solutions

 

 

−x

1

− 5x

2

− 4x

3

= a x

1

+ x

2

+ 2x

3

= b x

1

+ 3x

2

+ 3x

3

= c

13.

(Esystlin13.tex)

Dans R

4

, on consid` ere quatre vecteurs u

1

, u

2

, u

3

, u

4

d´ efinis par :

u

1

=(−3, 1, −1, 0) u

2

=(−1, 1, 1, 2) u

3

=(4, 3, 1, −1) u

4

=(−2, 1, 1, 1)

La famille (u

1

, u

2

, u

3

, u

4

) est-elle libre ou li´ ee ?

14.

(Esystlin19.tex)

R´ esoudre le syst` eme lin´ eaire de 3 ´ equations

 

 

x + y + z = 1 x − y + z = 2 x + y − z = −1

15.

(Esystlin17.tex)

Dans R

4

, on consid` ere quatre vecteurs u

1

, u

2

, u

3

, u

4

d´ efinis par :

u

1

=(−3, 1, −1, 0) u

2

=(−1, 1, 2, 1) u

3

=(4, −3, −1, 1) u

4

=(−2, 1, 1, 1)

La famille (u

1

, u

2

, u

3

, u

4

) est-elle libre ou li´ ee ?

16.

(Esystlin21.tex)

Dans E = R

3

, a = (1, 1, 0), b = (1, 0, 1), c = (1, 3, −2). Former une relation lin´ eaire entre ces trois vecteurs.

17.

(Esystlin24.tex)

R´ esoudre le syst` eme

 

 

x + y + 2z = 5 x − y − z = 1 x + z = 3

18.

(Esystlin6.tex)

Soit A ∈ M

p

(K), λ ∈ K, i et j deux entiers entre 1 et p. Soit P ∈ GL

p

(K) telle que P A est obtenue

`

a partir de A en ajoutant λ fois la ligne j ` a la ligne i sans changer les autres (codage L

i

← L

i

+ λL

j

).

Comment est obtenue A

t

P ` a partir de A ? (indiquer seule- ment le codage)

19.

(Esystlin26.tex)

Pour quelles valeurs du param` etre a le syst` eme suivant aux inconnues x, y, z admet-il des solu- tions ?

 

 

x + y + z = 1 x + 2y + 3z = 4 3x + 4y + 5z = a 20.

(Esystlin25.tex)

R´ esoudre le syst` eme

 

 

x − 3y + z = 1 2x + y + z = −1 x + 11y − z = 5

21.

(Esystlin7.tex)

Calculer le rang d’une matrice A ∈ M

p,q

(K) o` u

∀(i, j) ∈ {1, · · · , p} × {1, · · · , q} : a

ij

= (−1)

i+j

22.

(Esystlin11.tex)

Former des relations entre les param` etres assurant que le syst` eme suivant de trois ´ equations aux inconnues (x

1

, x

2

, x

3

) admet des solutions

 

 

x

1

− x

2

+ x

3

= a x

1

+ x

2

+ 2x

3

= b x

1

+ 3x

2

+ 3x

3

= c

23.

(Esystlin23.tex)

Former des relations entre les param` etres assurant que le syst` eme suivant de trois ´ equations aux inconnues (x

1

, x

2

, x

3

) admet des solutions

 

 

x

1

+ 2x

2

− x

3

= a

−x

1

+ x

2

+ x

3

= b

−x

1

+ 4x

2

+ x

3

= c

24.

(Esystlin22.tex)

Dans E = R

4

, on consid` ere deux vecteurs x et y et F = Vect(x, y)

x = (1, −1, 1, −1) y = (1, 2, 3, 4) D´ eterminer un syst` eme d’´ equations cart´ esiennes de F . 25.

(Esystlin3.tex)

Soit A ∈ M

p

(K), λ ∈ K, i et j deux entiers

entre 1 et p. Soit P ∈ GL

p

(K) telle que P A est obtenue

`

a partir de A en ajoutant λ fois la ligne j ` a la ligne i sans changer les autres (codage L

i

← L

i

+ λL

j

).

Comment est obtenue

t

P A ` a partir de A ? (indiquer seule- ment le codage)

26.

(Esystlin12.tex)

Former des relations entre les param` etres assurant que le syst` eme suivant de trois ´ equations aux inconnues (x

1

, x

2

, x

3

) admet des solutions

 

 

−5x

1

− 8x

2

− 2x

3

= a x

1

+ x

2

+ x

3

= b x

1

+ 2x

2

= c

2 AESystlin

Références

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