Soient k , m , n trois entiers naturels non nuls avec k ≤ m et k ≤ n . On note m

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Problème

Soient k , m , n trois entiers naturels non nuls avec k ≤ m et k ≤ n . On note m

^k

le produit de k entiers consécutifs décroissants à partir de m

m

^k

= m(m − 1) · · ·

| {z }

kfacteurs

= m(m − 1) · · · (m − k + 1)

On dira que m

^k

est une puissance descendante de m . On note

n k

le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments en k parties non vides.

Par exemple 3 2

= 3 car les partitions de {a, b, c} en deux parties non vides sont

{{a, b}, {c}} , {{b, c}, {a}} , {{c, a}, {b}}

1. En précisant dans chaque cas l'ensemble des partitions à considérer, calculer 4

1 , 4

2 , 4

3 , 4

4 2. Soit A et X deux ensembles, respectivement de cardinal n et m , soit k entier entre 1 et min(m, n) . On note

Π

k

: l'ensemble des partitions de A en k parties non vides.

F

k

: l'ensemble des fonctions de A dans X telles que ](f (A)) = k . a. Soit f ∈ F

k

et f (A) = {y

1

, y

2

, · · · , y

k

} . On note

π(f ) =

f

⁻¹

({y

i

}), i ∈ {1, · · · , k}

Montrer que π(f ) ∈ Π

_k

c'est à dire une partition de A en k parties non vides.

b. Soit f ∈ F

k

. Quel est le cardinal de l'ensemble des g ∈ F

k

telles que π(g) = π(f ) ? 3. Montrer que

m

ⁿ

=

min(m,n)

X

k=1

n k

m

^k

Exercice

On appelle plan projectif ni un ensemble ni Π (de cardinal p ) muni d'une partie ∆ de P (Π) vériant un certain nombre de propriétés. Les éléments de Π sont appelés des points, les éléments de ∆ sont appelés des droites. Les droites sont des ensembles de points.

Les conditions imposées sont les suivantes.

Si a et b sont deux points distincts de Π , il existe une unique droite les contenant.

Cette droite sera notée D(a, b) .

L'intersection de deux droites distinctes est toujours un singleton.

Il existe quatre points distincts a

₁

, a

₂

, a

₃

, a

₄

tels qu'aucune droite ne contienne trois de ces points.

Fig. 1: Une représentation d'un plan projectif ni

1. Combien de parties à deux éléments peut-on former dans un ensemble à 4 éléments ? En déduire qu'il existe au moins 6 droites distinctes.

2. Montrer que Π n'est pas l'union de deux droites.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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3. Soit δ et δ

⁰

deux droites distinctes et O un point n'appartenant à aucune des deux. On dénit une application

f :

( δ → δ

⁰

a 7→ l'unique point de D(O, a) ∩ δ

⁰

Montrer que cette application est bijective. On en déduit que toutes les droites ont le même nombre d'éléments noté d .

4. Soit O un point du plan et n

_O

le nombre de droites passant par O . En classant les points de Π \ {O} suivant la droite passant par O à laquelle ils appartiennent, former une relation entre divers nombres d'éléments. Que peut-on en déduire pour les n

_O

lorsque O varie dans le plan ?

5. Montrer que le nombre de droites passant par un point est égal au nombre de points sur une droite.

6. Montrer qu'il existe un entier n tel que

Le nombre de points sur une droite est égal au nombre de droites passant par un point et que ce nombre est n + 1 .

Le nombre de points est égal au nombre de droites et que ce nombre est n

²

+ n + 1 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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