A541− Deux nombres miroirs
On recherche les entiers k, m et n avec k > 1 et m ≠ n tels que les représentations décimales des deux nombres km + 1 et kn + 1 se déduisent l’une de l’autre par inversion de l’ordre de lecture des chiffres.
Démontrer que k prend une valeur unique et déterminer un triplet (k,m,n) qui satisfait cette condition.
Source : Olympiades russes de mathématiques Solution par Patrick Gordon
Pour que km + 1 et kn + 1 soient deux "nombres miroirs", il faut à tout le moins qu'ils aient le même nombre de chiffres.
Or kp (p = m ou n) a autant de chiffres que kp + 1, sauf si kp = 999…9, ce qui n'est possible que dans les cas très singuliers où kp = 9, soit :
k = 3, p =2 k = 9, p = 1.
Dans le premier cas, on peut à la rigueur considérer 3m + 1 = 10, mais aucun 3n + 1 ne lui fait miroir.
Dans le second cas, on peut à la rigueur considérer 9m + 1 = 10, mais aucun 9n + 1 ne lui fait miroir.
On peut donc négliger le "+ 1" et comparer les nombres de chiffres de km et kn.
Si k ≥ 10, km+1 a au moins un chiffre de plus que km. La suite des nombres de chiffres de km est donc strictement croissante. Si m ≠ n, km et kn ne peuvent pas avoir le même nombre de chiffres.
La recherche de k se limite donc à 1 < k < 10.
Une solution est :
k = 3 m = 3 n = 4 On a, en effet :
km + 1 = 28 kn + 1 = 82.
On peut affiner la recherche de k. Pour k ≥ 4, en effet, k² ≥ 10, et km+2 + 1 a plus de chiffres que km + 1. Pour k ≥ 4 donc, les nombres miroirs doivent être recherchés parmi les voisins immédiats km + 1 et km+1 + 1.
C'est là une condition seulement nécessaire car deux voisins immédiats n'ont évidemment pas toujours le même nombre de chiffres.
Mais, pour k≥5, une autre contrainte apparaît. Pour que les voisins immédiats km + 1 et km+1 + 1 aient le même nombre de chiffres, il faut que le premier (km + 1) commence par un 1. Il faut alors que le prétendu nombre miroir (km+1 + 1) se termine par un 1, donc que km+1 se termine par un 0, ce qui n'est possible que pour k multiple d'une puissance de 10, cas déjà exclu.
La recherche de k se limite donc à 1 < k < 4.
Or k = 4 est impossible. En effet, les puissances de 4 se terminent par 4 ou 6, donc (4m+1 + 1) se termine par 5 ou 7. Il faudrait donc que (4m + 1) commence par 5 ou 7, ce qui est impossible car la multiplication par 4 de 4m ferait augmenter le nombre de chiffres.
Ne restent donc en lice que les valeurs k = 2 et 3.
Nous avons vu que k = 3 donne au moins une solution.
Reste à examiner le cas de k = 2.
Pour fixer les idées, appelons m le plus petit des deux exposants. Pour k = 2, on n'exige pas que n
= m+1.
Les nombres (2p + 1) se terminant par n'importe quel nombre impair sauf 1, (2n + 1) se termine par 3, 5, 7 ou 9. Donc (2m + 1) commence par 3, 5, 7 ou 9. Mais, s'il commence par 5, 7 ou 9, la multiplication par une puissance de 2 augmentera son nombre de chiffres. Donc (2m + 1)
commence par 3 et, par conséquent, (2n + 1) se termine par 3.
Si (2m + 1) et (2n + 1) sont miroirs, ils commencent et se terminent tous deux par 3, ce qui est impossible.
En effet, s'ils ont tous deux q chiffres, le rapport (2n + 1) / (2m + 1) serait majoré par 4 10q-1 / 3 10q-1
= 4/3 alors que (2n + 1) / (2m + 1) est proche de 2 – et, en toute rigueur, minoré par 5/3 (cas de m = 1, n = 2).
Le cas de k = 2 est donc impossible.
Nous avons ainsi démontré que k prend pour valeur unique 3 et déterminé le triplet (k,m,n)
= (3,3,4) qui satisfait la condition de l'énoncé avec les nombres miroirs 28 et 82.
