Exercice 1. Soient K et L deux extensions finies d’un corps k, de degr´ es m et n. Soit E le compositum de K et L.

Universit´ e P. et M. Curie (Paris VI), Michel Waldschmidt Deuxi` eme semestre 2007/2008

Master de sciences et technologies 1` ere ann´ ee - Mention : Math´ ematiques et applications Sp´ ecialit´ e : Math´ ematiques Fondamentales MO11 : Th´ eorie des nombres (12 ECTS)

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Examen du Lundi 9 Juin 2008 Dur´ ee : 3 heures

Exercice 1. Soient K et L deux extensions finies d’un corps k, de degr´ es m et n. Soit E le compositum de K et L.

(1) Quel est le plus grand degr´ e possible pour E sur k ? (2) Quel est le plus petit degr´ e possible pour E sur k ?

(3) On suppose m et n premiers entre eux. En utilisant les r´ eponses aux questions (1) et (2) en d´ eduire le degr´ e de E sur k.

Exercice 2. Donner un exemple d’une extension finie monog` ene k(α) d’un corps k qui n’est pas s´ eparable.

Soit L/k une extension finie non s´ eparable et N une extension normale de k qui contient L.

Que peut-on dire du nombre de k-homomorphismes de L dans N ? Exercice 3. Quel est le polynˆ ome cyclotomique Φ 9 ?

Exercice 4. Soit P un polynˆ ome ` a coefficients rationnels de degr´ e n et soit ζ une racine primitive de degr´ e d de l’unit´ e.

(1) Montrer que le polynˆ ome

R(X) =

d−1

Y

j=0

P (ζ ^j X) a ses coefficients rationnels.

(2) Montrer qu’il existe un polynˆ ome Q ` a coefficients rationnels tel que R(X) = Q(X ^d ).

(3) Quelles sont les racines de Q ?

Exercice 5. Soit P un polynˆ ome unitaire et α une racine de P . On suppose que la d´ eriv´ ee P ⁰ de P s’annule au point α. Que pouvez-vous dire du discriminant de P ? La r´ eciproque est-elle vraie ? Exercice 6. Soient F 3 le corps fini ` a 3 ´ el´ ements et F une extension finie de F 3 .

(1) Quels sont les degr´ es des facteurs irr´ eductibles de X ¹⁰ − 1 sur F 3 ? On ne demande pas d’expliciter ces facteurs mais seulement de d´ eterminer leur degr´ e.

(2) Quel est le corps de d´ ecomposition sur F 3 du polynˆ ome X ¹⁰ − 1 ?

(3) Quels sont, suivant le nombre d’´ el´ ements de F, les degr´ es des facteurs irr´ eductibles de X ¹⁰ − 1 sur F ?

(4) Mˆ emes questions avec le polynˆ ome X ³⁰ − 1 au lieu de X ¹⁰ − 1.

Exercice 7. Le nombre 91 est-il un carr´ e modulo 19 ?

Exercice 8. Soient p un nombre premier et f ∈ Z [X] un polynˆ ome. Montrer que les deux condi- tions suivantes sont ´ equivalentes.

(i) Pour tout a ∈ Z , f (a) ≡ 0 (mod p).

(ii) Il existe deux polynˆ omes g et h dans Z [X] tels que

f (X ) = (X ^p − X)g(X) + ph(X ).

Exercice 9. Soient ω = i √

26 et K = Q (ω).

(1) Quel est l’anneau des entiers O _K de K ?

(2) Calculez la constante de Minkowski et le discriminant de K/ Q .

(3) Pour p = 2, 3, 5, donnez la d´ ecomposition en id´ eaux premiers de pO K et d´ eduisez-en que le nombre de classes h K de K est > 1, pair et ≤ 8.

(4) D´ ecrivez tous les id´ eaux de norme 9 puis de norme 27 ; d´ eduisez-en que h K = 6.

(5) R´ esolvez dans Z l’´ equation diophantienne y ⁵ = x ² + 26.

Exercice 10. On rappelle la d´ efinition de la fonction de M¨ obius : µ(n) =

( (−1) ^r si n = p 1 · · · p r est produit de r nombres premiers distincts, 0 si n a un facteur carr´ e.

La fonction |µ| est donc la fonction caract´ eristique de l’ensemble des entiers ≥ 1 sans facteurs carr´ es.

(1) Montrez que la fonction µ est l’unique application N \ {0} → {0, 1} qui satisfasse µ(1) = 1 et

X

d|n

µ(d) = 0 pour n ≥ 2.

(2) Quel est le produit d’Euler de la s´ erie de Dirichlet D(|µ|; s) := X

n≥1

|µ(n)|

n ^s associ´ e ` a la fonction |µ| ?

(3) On d´ efinit c : N \ {0} → {0, 1} comme la fonction caract´ eristique de l’ensemble des carr´ es : pour n ≥ 1,

c(n) =

( 1 si n = m ² avec m ∈ Z , 0 si n n’est pas un carr´ e.

Quelle est la s´ erie de Dirichlet D(c; s) associ´ ee ` a c ? Quel est son produit d’Euler ? (4) Calculez, pour n ≥ 1,

X

d|n

c(d)|µ(n/d)|.

Quel est le produit D(|µ|; s)D(c; s) ?

Universit´ e P. et M. Curie (Paris VI), Michel Waldschmidt Deuxi` eme semestre 2007/2008

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Examen du Lundi 9 Juin 2008 Corrig´ e

Solution exercice 1.

Le degr´ e de E sur k est major´ e par le produit des degr´ es mn. Il est multiple de m et n, donc est minor´ e par le ppcm de m et n.

Si m et n sont premiers entre eux, le seul nombre v´ erifiant ces propri´ et´ es est mn.

Solution exercice 2. Un exemple d’extension monog` ene non s´ eparable est K( √

T ) quand K = F 2 (T).

Son degr´ e est 2 et √

T n’a qu’un conjugu´ e dans une extension normale de K. De fa¸ con g´ en´ erale quand N est une extension finie normale de K et L un sous-corps de N qui est une extension non s´ eparable de K, alors le nombre de K-isomorphismes de L dans N est ≥ 1 (puisqu’il y a l’identit´ e, injection de L dans N) et il est strictement inf´ erieur au degr´ e de L sur K.

Solution exercice 3. Comme les diviseurs de P sont 1, 3 et 9, on peut ´ ecrire X ⁹ − 1 = Φ 1 (X)Φ 3 (X )Φ 9 (X ),

avec Φ ₁ (X) = X − 1,

Φ 3 (X) = X ³ − 1

X − 1 = X ² + X + 1 et

Φ 9 (X ) = X ⁹ − 1

X ³ − 1 = X ⁶ + X ³ + 1.

Le polynˆ ome Φ 9 (X ) est Φ 3 (X ³ ), car 9 = 3 ² . En g´ en´ eral pour p premier et s ≥ 1 on a Φ p

= Φ p (X ^p

).

Solution exercice 4. Chacun des facteurs P (ζ ^j X) est un polynˆ ome ` a coefficients dans le corps cyclotomique Q (ζ), donc il en est de mˆ eme du produit. Mais le polynˆ ome R est invariant sous l’action du groupe de Galois de Q (ζ) sur Q (qui permute les racines d–i` emes de l’unit´ e), donc R a ses coefficients rationnels.

On d´ ecompose P dans une extension normale :

P(X ) = a 0 (X − α 1 ) · · · (X − α d ).

Les racines de R sont les ζ ^j α h :

R(X ) =

d−1

Y

j=0 n

Y

h=1

(X − ζ ^j α h ).

Mais

d−1

Y

j=0

(X − ζ ^j α _h ) = X ^d − α ^d _h . Donc R(X) = Q(X ^d ) avec

Q(T ) =

n

Y

h=1

(T − α ^d _h ).

Le coefficient directeur de Q est a ^d ₀ , le terme constant de Q est a ^d _n quand a n est le terme constant de P. Les autres coefficients sont donn´ es par les fonctions sym´ etriques ´ el´ ementaires des α ^d _h , 1 ≤ h ≤ n.

Solution exercice 5. Le discriminant d’un polynˆ ome s’annule si et seulement si le polynˆ ome a au moins une racine multiple, donc si et seulement s’il existe une racine α de P telle que P ⁰ (α) = 0.

Solution exercice 6.

Les diviseurs de 10 sont 1, 2, 5 et 10, donc le polynˆ ome X ¹⁰ − 1 est le produit des polynˆ omes cyclotomiques Φ ₁ (X ) = X − 1, Φ ₂ (X ) = X + 1, Φ ₅ (X ) = X ⁴ + X ³ + X ² + X + 1 et

Φ 10 (X ) = X ⁵ + 1

X + 1 = Φ 5 (−X) = X ⁴ − X ³ + X ² − X + 1.

Noter que la relation Φ 10 (X) = Φ 5 (−X ) montre que les degr´ es des facteurs irr´ eductibles de Φ 10 (X ) et Φ 5 (X ) sont les mˆ emes !

De fa¸ con g´ en´ erale (th´ eor` eme 3.8), quand n est premier avec q, le polynˆ ome cyclotomique Φ n se d´ ecompose sur F q en produit de polynˆ omes irr´ eductibles tous de mˆ eme degr´ e d, o` u d est l’ordre de q modulo n (c’est-` a-dire l’ordre de la classe de q dans le groupe multiplicatif ( Z /n Z ) ^× ).

Comme 3 est d’ordre 4 dans le groupe multiplicatif ( Z /5 Z ) ^× aussi bien que dans ( Z /10 Z ) ^× , les deux polynˆ omes Φ 5 et Φ 10 sont irr´ eductibles sur F 3 , ce qui fait que X ¹⁰ − 1 est produit de deux polynˆ omes de degr´ e 1 et de deux polynˆ omes irr´ eductibles de degr´ es 4 sur F 3 .

Comme 9 est congru ` a −1 modulo 5 et modulo 10, il est d’ordre 2 dans le groupe multiplicatif ( Z /5 Z ) ^× aussi bien que dans ( Z /10 Z ) ^× , donc Φ ₅ et Φ ₁₀ sont tous deux produits de deux polynˆ omes de degr´ e 2 sur F 9 . Ainsi X ¹⁰ −1 est produit de deux polynˆ omes de degr´ e 1 et de quatre polynˆ omes irr´ eductibles de degr´ es 2 sur F 9 .

Le corps de rupture d’un polynˆ ome quadratique irr´ eductible sur un corps est une extension quadratique de ce corps, ce qui fait que Φ ₅ et Φ ₁₀ sont totalement d´ ecompos´ es dans F 81 . On le v´ erifie aussi en disant que 81 est congru ` a 1 modulo 5 et modulo 10, donc d’ordre 1 dans les groupes multiplicatifs correspondants. Le corps de d´ ecomposition de X ¹⁰ − 1 est par cons´ equent F 81 .

Finalement si le corps fini F de caract´ eristique 3 contient F 81 (ce qui veut dire que son degr´ e

sur F 3 est multiple de 4, ou encore que son nombre d’´ el´ ements est 3 ^s avec s multiple de 4), alors

le polynˆ ome X ¹⁰ − 1 est compl` etement d´ ecompos´ e dans F. Si le corps F contient F 9 mais pas F 81

(ce qui veut dire que son degr´ e sur F 3 est multiple de 2 mais pas de 4, ou encore que son nombre d’´ el´ ements est 3 ^s avec s congru ` a 2 modulo 4), alors X <sup>10</sup> − 1 est produit de deux polynˆ omes de degr´ e 1 et de quatre polynˆ omes irr´ eductibles de degr´ e 2 ` a coefficients dans F . Enfin si F ne contient pas F 9 (ce qui veut dire que son degr´ e sur F 3 est impair, ou encore que son nombre d’´ el´ ements est 3 ^s avec s impair), alors X ¹⁰ − 1 est produit de deux polynˆ omes de degr´ e 1 et de deux polynˆ omes irr´ eductibles de degr´ e 4 sur F.

Quand n est multiple de la caract´ eristique p on ´ ecrit n = p ^t m avec t ≥ 1 et m premier avec p ; alors

X ⁿ − 1 = (X ^m − 1) ^p

. Ainsi X ³⁰ − 1 = (X ¹⁰ − 1) ³ sur un corps de caract´ eristique 3.

Solution exercice 7.

On remarque d´ ej` a que 91 = 7 · 13, donc le symbole de Legendre vaut 91

19

= 7

19 13 19

.

On utilise la loi de r´ eciprocit´ e quadratique : comme 7 et 19 sont congrus ` a 3 modulo 4 et que 13 est congru ` a 1 modulo 4, on a

7 19

= − 19

7

et 13

19

= 19

13

. Ensuite 19 ≡ 5 (mod 7),

19 7

= 5

7

= 7

5

= 2

5

= −1,

ce qui fait que 7 est un carr´ e modulo 19 (en effet 7 est congru ` a 8 ² modulo 19).

De mˆ eme

19 13

= 6

13

= 2

13 3 13

et 2

13

= −1 car 13 ≡ −3 (mod 8), 3

13

= 13

3

= 1

3

= 1,

ce qui fait que 13 n’est pas r´ esidu quadratique modulo 19, et donc 91 non plus.

Solution exercice 8.

Si f (X ) = (X ^p − X)g(X) + ph(X ), alors pour tout a ∈ Z en utilisant la congruence a ^p ≡ a (mod p) on en d´ eduit que le nombre p divise f (a).

Inversement supposons que pour tout a ∈ Z le nombre p divise f (a). On divise le polynˆ ome f par X ^p − X dans Z [X] :

f (X) = (X ^p − X )g(X ) + r(X)

avec g et r dans Z [X ], et r est soit nul, soit de degr´ e < p. Alors r(a) ≡ 0 (mod p) pour tout a ∈ Z , donc l’image de r dans F p [X ] est nulle. Cela signifie qu’il existe h ∈ Z [X] tel que r = ph.

Solution exercice 9.

(1) D’apr` es le cours, comme −26 ≡ 2 (mod 4), on a O _K = Z [ω].

(2) On a M K = 2/π et D K = −4 · 26 = −104.

(3) Il s’agit de factoriser X ² +26 : on obtient 2O K = P ₂ ² avec P 2 = (2, ω), 3O K = P 3,+ P _3,− avec P _3,± = h3, ω±1i et 5O K = P 5,+ P _5,− avec P _5,± = h5, ω±2i. D’apr` es le th´ eor` eme de Minkowski toute classe d’id´ eaux rencontre un id´ eal entier de norme ≤ 6, ce qui donne ici O K , P 2 , P _3,± , P _5,± , P 2 P _3,± , soit au plus 8 tels id´ eaux. Par ailleurs comme O K ne contient pas d’´ el´ ements de norme 2, 3, 5, 6 aucun de ces id´ eaux n’est principal. Comme P 2 est d’ordre 2, on en d´ eduit 2|h K .

(4) Les id´ eaux de norme 9 sont 3O K , P _3,+ ² , P _3,− ² ; comme les deux derniers sont conjugu´ es, ils sont soit tous deux principaux soit tous deux non principaux. Or ±3 sont les seuls ´ el´ ements de norme 9 ; donc les deux id´ eaux P 3,± ne sont pas principaux.

De mˆ eme les id´ eaux de norme 27 sont 3P 3,± et P _3,± ³ : les deux derniers ´ etant conjugu´ es, s’il l’un deux est principal ils le sont tous les deux. Par ailleurs d’apr` es ce qui pr´ ec` ede les deux id´ eaux 3P 3,± ne sont pas principaux. Or 1 ± ω sont deux ´ el´ ement de norme 27 ce qui impose que P _3,± ³ sont tous deux principaux. Donc 3|h K , ce qui impose 6|h K .

(5) Dans K, on a y ⁵ = (x + ω)(x − ω) ; comme O _K n’est pas principal, on passe au niveau des id´ eaux. Regardons le pgcd des id´ eaux (x + ω) et (x − ω) : il doit contenir (2ω) = P ₂ ² P ₁₃ ² o` u P 13 = h13, ωi est premier. On a ainsi

(x ± ω)O K = P ₂ ^a P ₁₃ ^b Y

i

Q ^e _i

⁽ⁱ⁾

o` u e + (i)e − (i) = 0 pour tout i. Comme (x + ω)(x − ω) = y <sup>5</sup> on en d´ eduit, grˆ ace ` a l’unicit´ e de la d´ ecomposition en facteurs d’id´ eaux premiers, que a ≡ b ≡ e ± (i) ≡ 0 mod 5 soit (x ± ω) = P ₂ ^2a

P ₁₃ ^2b

Q

i Q ^f _i

⁽ⁱ⁾ 5

; comme 5 est premier avec h K , on en d´ eduit que l’id´ eal P ₂ ^2a

P ₁₃ ^2b

Q

i Q ^f _i

⁽ⁱ⁾ est principal, i.e. il existe a, b ∈ Z tels que x + ω = (a + bω) ⁵ . On en d´ eduit alors que 1 = 5a ⁴ b − 260a ² b ³ + 26 ² b ⁵ ce qui impose b = ±1 et 5a ⁴ − 260a ² + 26 ² = ∓1, ´ equation qui n’a pas de solutions enti` eres (regarder modulo 2).

Solution exercice 10.

a) C’est une question de cours (fascicule 8, § 5.3.2) : la relation demand´ ee s’´ ecrit 1 ? µ = δ, o` u 1 est la fonction constante ´ egale ` a 1, tandis que δ est l’´ el´ ement neutre pour la convolution :

δ(1) = 1, δ(n) = 0 pour n ≥ 2.

b) La relation

D(|µ|; s) := X

n≥1

|µ(n)|

n ^s = Y

p

(1 + p ^−s )

r´ esulte de la Proposition 5.32 appliqu´ ee ` a la fonction f = |µ|, car cette fonction est multiplicative et v´ erifie, pour p premier,

|µ(p ^m )| =

( 1 si m = 1,

0 si m ≥ 2.

On peut aussi refaire la d´ emonstration en se restreignant d’abord aux nombres entiers produits de nombres premiers ≤ N, puis en faisant tendre N vers l’infini, comme dans le cours.

c) On a

D(c; s) := X

n≥1

c(n) n ^s = X

m≥1

1

m ^2s = ζ(2s) = Y

p

(1 − p ^−2s ) ⁻¹ .

d) Dans le membre de droite de

(c ? |µ|)(n) = X

d|n

c(d)|µ(n/d)|

un terme et un seul est non nul, il est obtenu pour d le plus grand diviseur carr´ e de n, et pour cette valeur de d on a c(d) = |µ(n/d)| = 1. Donc

(c ? |µ|)(n) = 1(n) = 1 pour tout n ≥ 1.

Une autre d´ emonstration de la relation c ? |µ| = 1 consiste ` a v´ erifier que pour p premier et m ≥ 1, on a (c ? |µ|)(p ^m ) = 1, ce qui donne le mˆ eme r´ esultat : les fonctions c et |µ| sont multiplicatives, donc c ? |µ| aussi.

La s´ erie de Dirichlet associ´ ee ` a la fonction 1 est celle de la fonction zˆ eta de Riemann, ce qui donne la relation

D(c; s)D(|µ|; s) = D(c ? |µ|; s) = ζ(s).

On v´ erifie d’ailleurs directement D(|µ|; s) = Y

p

(1 + p ^−s ), D(c; s) = Y

p

(1 − p ^−2s ) ⁻¹ , 1 − p ^−2s = (1 − p ^−s )(1 + p ^−s ),

donc

D(|µ|; s) = D(c ? |µ|; s)

D(c; s) = ζ(s)

ζ(2s) ·