Exercice 1. Soit P (X) ∈ Q [X] un polynˆ ome irr´ eductible unitaire de degr´ e n ; on note K son corps de rupture, L son corps de d´ ecomposition, G le groupe de Galois de l’extension L/ Q .

Universit´ e P. et M. Curie (Paris VI), Michel Waldschmidt Deuxi` eme semestre 2007/2008

Master de sciences et technologies 1` ere ann´ ee - Mention : Math´ ematiques et applications Sp´ ecialit´ e : Math´ ematiques Fondamentales MO11 : Th´ eorie des nombres (12 ECTS)

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Examen du Jeudi 15 Mai 2008 Dur´ ee : 3 heures

Exercice 1. Soit P (X) ∈ Q [X] un polynˆ ome irr´ eductible unitaire de degr´ e n ; on note K son corps de rupture, L son corps de d´ ecomposition, G le groupe de Galois de l’extension L/ Q .

(1) Donnez un exemple o` u K 6= L.

(2) En faisant op´ erer G sur l’ensemble des racines de P, construire un morphisme de G dans le groupe sym´ etrique S _n de {1, · · · , n}. Pour n = 6, l’image de ce mor- phisme peut-elle ˆ etre le sous-groupe de S ₆ engendr´ e par la permutation dont la d´ ecomposition en cycles ` a supports disjoints est (12) ◦ (345) ?

(3) Montrez que si G ' Z /n Z , alors L = K. La r´ eciproque est-elle toujours vraie ? (4) Donnez une condition n´ ecessaire et suffisante sur le discriminant D de P , pour que

l’image de G par l’isomorphisme pr´ ec´ edent soit un sous-groupe du groupe altern´ e A _n .

(5) On suppose L 6= K ; le groupe G peut-il ˆ etre ab´ elien ?

(6) On note O _L l’anneau des entiers de L. Pour p ∈ Z premier, on consid` ere la d´ ecomposition pO _L = P ₁ ^e

· · · P _r ^e

de l’id´ eal engendr´ e par p en id´ eaux premiers de O _L .

(i) Montrez que pour tout g ∈ G il existe un ´ el´ ement σ g dans le groupe sym´ etrique S _r tel que, pour tout 1 ≤ i ≤ r, on ait g(P _i ) = P _σ

_(i) . Montrez que l’application g 7→ σ _g est un morphisme du groupe G dans S _r .

(ii) Montrez qu’il existe x ∈ O _L tel que x ≡ 0 mod P ₁ (c’est-` a-dire x ∈ P ₁ ) et x ≡ 1 mod P _i pour tout i = 2, . . . , r.

(iii) Soit x ∈ P ₁ . Montrez que N _L/K (x) ∈ P _i pour tout i = 2, . . . , r.

Soit i ∈ {2, . . . , r}. En utilisant (ii), montrez qu’il existe g ∈ G tel que g(P _i ) = P ₁ . En d´ eduire que l’action de G sur {P ₁ , · · · , P _r } d´ efinie en (i) est transitive.

(7) Soit P un id´ eal premier de O _L .

(i) Montrez que l’ensemble D P form´ e des ´ el´ ements g ∈ G tels que g(P ) = P est un sous-groupe de G.

(ii) Montrez que l’ensemble I P form´ e des ´ el´ ements g ∈ D P tels que g(x) − x ∈ P

pour tout x ∈ O _L est un sous-groupe de D P .

(iii) Soit g ∈ D P . Montrez que l’application g : O _L → O _L induit par passage au quotient un ´ el´ ement du groupe de Galois de O _L /P sur Z /p Z . Montrez que cela d´ efinit un morphisme de D P dans groupe de Galois du corps O _L /P sur Z /p Z . Quel est le noyau de ce morphisme ?

Exercice 2. Soit ω = i √

17 et K = Q (ω).

(1) Quel est l’anneau des entiers O _K de K ?

Quels sont les ´ el´ ements de O _K dont la norme (sur Q) est positive et < 17 ? (2) Calculez la constante de Minkowski M _K de K/ Q ainsi que son discriminant.

(3) Montrez que 2O _K = P ₂ ² avec P ₂ = h2, 1 + ωi.

(4) Montrez que 3O _K = P _3,+ P 3,− avec P _3,+ = h3, ω + 1i et P 3,− = h3, ω − 1i.

(5) D´ eduisez de ce qui pr´ ec` ede que le nombre de classe h K de K est ≤ 4, > 1 et divisible par 2.

(6) Montrez que le groupe de classes de O _K est isomorphe ` a Z/4Z et donnez-en un g´ en´ erateur.

(7) Donnez la liste de tous les id´ eaux de O _K de norme 18.

(8) Donnez toutes les factorisations en irr´ eductibles dans O _K de 18.

Exercice 3. On rappelle les d´ efinitions des fonctions arithm´ etiques ω (nombre de diviseurs premiers), µ (M¨ obius), τ (nombre de diviseurs) et ϕ (indicatrice d’Euler),

ω(n) = X

p|n

1, µ(n) =

( (−1) ^ω(n) si n est sans facteur carr´ e,

0 sinon,

τ (n) = X

d|n

1, ϕ(n) = X

1≤k≤n pgcd(k,n)=1

1.

Quelles sont les fonctions arithm´ etiques τ ? µ, et ϕ ? τ ?

Universit´ e P. et M. Curie (Paris VI), Michel Waldschmidt Deuxi` eme semestre 2007/2008

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Examen du Jeudi 15 Mai 2008 Corrig´ e

Solution exercice 1.

(1) Il y a beaucoup de r´ eponses valables. On peut prendre un polynˆ ome avec une racine r´ eelle et d’autres complexes, par exemple X ³ − 2 qui est irr´ eductible car d’Eisenstein pour p = 2.

(2) Le groupe de Galois permute les racines du polynˆ ome. De plus cette action est transitive (le polynˆ ome ´ etant irr´ eductible, les racines sont conjugu´ ees sur Q ). Le sous- groupe de S ₆ d’ordre 6 engendr´ e par la permutation dont la d´ ecomposition en cycles ` a supports disjoints est (12) ◦ (345) n’est pas transitif (l’image de 1 n’est jamais 3), donc il ne peut pas ˆ etre l’image par ce morphisme d’un groupe de Galois.

(3) Comme K est le corps de rupture d’un polynˆ ome irr´ eductible de degr´ e n, son degr´ e sur Q est n. L’ordre du groupe de Galois est [L : Q ], donc il est ´ egal ` a n si et seulement si K = L. Un exemple avec L = K et G 6= Z /n Z est donn´ e par n’importe quelle extension galoisienne non cyclique. On peut prendre le corps de d´ ecomposition de X ³ − 2 sur Q (on prend pour P le polynˆ ome irr´ eductible d’un ´ el´ ement primitif, par exemple celui de j + √

2), ou bien une extension cyclotomique Q (ζ _m ) avec m tel que ( Z /m Z ) ^× ne soit pas cyclique, par exemple m = 15, ou encore m = 8.

(4) Une condition n´ ecessaire et suffisante est que D soit un carr´ e de Q , puisque l’action de G sur D est donn´ ee par la signature.

(5) Si L 6= K, alors L poss` ede une sous-extension non galoisienne sur Q , ` a savoir K, donc G poss` ede un sous-groupe non distingu´ e. Par cons´ equent G n’est pas ab´ elien.

(6-i) Pour tout g ∈ G et 1 ≤ i ≤ r, g(P _i ) est un id´ eal de O _L qui contient pO _L ; il est en outre maximal, donc ´ egal ` a un P <sub>j</sub> . Par ailleurs comme g est bijectif, g induit une permutation des P <sub>i</sub> , d’o` u l’existence de σ g . Le fait que σ soit un homomorphisme de groupe est imm´ ediat.

(6-ii) L’existence d’un tel x est assur´ ee par le lemme chinois : comme les P _i sont maximaux, on a P _i + P _j = O _L pour tout i 6= j. Pr´ ecis´ ement, pour tout i ∈ {2, . . . , r}, on a

O _L = P _i + P ₁ Y

j≥2, j6=i

P _j ,

ce qui fait que le morphisme canonique

O _L → O _L /P _i × O _L /P ₁ Y

j≥2, j6=i

P _j

est surjectif de noyau P ₁ Q

i≥2 P _i ; on conclut par r´ ecurrence.

(6-iii) La norme N _L/K (x) = Q

g∈G g(x) de x appartient ` a O <sub>L</sub> et ` a P ₁ , donc ` a pO <sub>L</sub> et par cons´ equent ` a P _i pour tout i. Soit i ≥ 2. Comme P _i est premier, il existe g ∈ G tel que g(x) ∈ P _i ; donc x ∈ g ⁻¹ (P _i ). Mais g ⁻¹ (P _i ) est l’un des id´ eaux P ₁ , . . . , P _r . Si on a choisi x 6∈ P _j pour 2 ≤ j ≤ r, comme nous l’y autorise la question (ii), on en d´ eduit , g ⁻¹ (P _i ) = P ₁ , i.e. l’un des conjugu´ es de P _i est ´ egal ` a P ₁ .

(7-i) Pour g ₁ et g ₂ dans D P on a g ₁ ◦ g ₂ (P ) = g ₁ (P ) = P . (7-ii) Pour x ∈ O _L et g 1 , g 2 dans I P on a

g ₁ ◦ g ₂ (x) − x = g ₁ g ₂ (x) − x

+ g ₁ (x) − x ∈ P.

(7-iii) Un ´ el´ ement de D P stabilise O _L et P ; par passage au quotient il d´ efinit un morphisme du quotient O _L /P dans lui-mˆ eme qui stabilise Z /P ∩ Z = Z /p Z . Le noyau de ce morphisme est I P .

Solution exercice 2.

(1) D’apr` es le cours O _K = Z[ω] car −17 ≡ 3 (mod 4).

Un ´ el´ ement x + yω de O _K de norme N v´ erifie x ² + 17y ² = N . De plus x et y sont des entiers. Si N est positif et < 17 alors y = 0. Les solutions sont donc x = ±1, ±2, ±3 et ±4.

(2) On a D K = −4 · 17 = −68 et M K = 2/π.

(3) On a O _K /2O _K ' F 2 [X]/(X ² + 1) '

F 2 [X]/(X + 1) 2

. Donc 2O _K = P ₂ ² o` u P ₂ est engendr´ e par 2 et ω + 1.

(4) Pour p = 3, on a de la mˆ eme fa¸ con, O _K /3O _K ' F 3 [X]/(X + 1) × F 3 [X]/(X − 1), d’o` u le r´ esultat.

(5) Pour p = 5, X ² + 17 est irr´ eductible, de sorte que 5O _K est premier. D’apr` es le th´ eor` eme de Minkowski, toute classe d’id´ eaux a un repr´ esentant entier de norme < 6 ; or on a trouv´ e que 4 tels id´ eaux. Comme O _K ne poss` ede aucun ´ el´ ement de norme 2 ou 3, on en d´ eduit que P ₂ et P _3,± ne sont pas principaux. Par cons´ equent h _K > 1. Par ailleurs comme P ₂ est d’ordre 2, on en d´ eduit 2|h _K .

(6) Comme P ₂ est son propre inverse dans Cl(K), si P _3,+ ´ etait dans sa classe, l’id´ eal P ₂ P _3,+ serait principal, ce qui ne se peut pas car O _K ne contient aucun ´ el´ ement de norme 6. On en d´ eduit donc h K > 2. Il en r´ esulte h K = 4. Par ailleurs comme ±3 sont les seuls

´ el´ ements de norme 9, on en d´ eduit que P _3,+ ² n’est pas principal car sinon P _3,+ serait ´ egal

`

a P _3,− ce qui n’est pas. Donc les deux id´ eaux P _3,± sont d’ordre 4.

(7) Les trois id´ eaux id´ eaux de norme 18 sont P ₂ P _3,± ² et P ₂ P _3,+ P _3,− .

(8) On ´ ecrit 18O _K = P ₂ ² P _3,+ ² P _3,− ² ; il s’agit alors de regrouper ces id´ eaux de sorte que chaque regroupement donne un id´ eal principal. D’apr` es ce qui pr´ ec` ede les seules possibilit´ es sont : (P ₂ ² )(P _3,+ P _3,− ) ² , (P ₂ P _3,+ ² )(P ₂ P _3,− ² ) ce qui donne 18 = 2.3 ² = (1 + ω)(1 − ω).

Solution exercice 3.

Rappelons les d´ efinitions des fonctions arithm´ etiques 1, j et δ : pour tout n ≥ 1 on a 1(n) = 1, j(n) = n et

δ(n) =

( 1 si n = 1, 0 si n ≥ 2.

Ainsi δ est l’´ el´ ement neutre pour la convolution ?.

On a vu dans le cours (§ 5.3.2)

1 ? µ = δ et 1 ? 1 = τ.

La convolution ´ etant associative, on en d´ eduit

τ ? µ = 1 ? 1 ? µ = 1 ? δ = 1.

On a aussi, d’apr` es le cours, 1 ? j = σ avec σ(n) = X

d|n

d

et ϕ = j ? µ, donc

ϕ ? τ = j ? µ ? τ = j ? 1 = σ.

On peut aussi utiliser les s´ eries de Dirichlet pour v´ erifier ces relations : D(δ; s) = 1, D(1; s) = ζ(s), D(µ; s) = 1/ζ (s), D(τ ; s) = ζ (s) ² , D(ϕ; s) = ζ(s − 1)/ζ (s), D(j; s) = ζ(s − 1), D(σ; s) = ζ(s − 1)ζ(s), donc

D(τ ? µ; s) = D(τ ; s)D(µ; s) = D(1; s) et D(ϕ ? τ ; s) = D(ϕ; s)D(τ ; s) = D(σ; s)

ce qui redonne τ ? µ = 1 et ϕ ? τ = σ.