Master 1 de Math´ematiques

Universit´ e d’Artois

Exercices d’Analyse Fonctionnelle

P. Lef`evre

1 R´ evisions de topologie.

Exercice 1.1 Cours : a) Soient kfk₁ =

Z 1 0

|f(t)|dt et kfk∞ = sup

t∈[0,1]

|f(t)|. Montrer que ces normes ne sont pas ´equivalentes surC([0,1]).

b) Montrer que (C([0,1]),k.k₁) n’est pas complet (Ind. : consid´erer par exemple une suite de fonctions qui vaut −1 sur [0,1/2−1/n] et 1 sur [1/2 + 1/n,1])

Montrer que (C([0,1]),k.k∞) est complet.

c) Soient (E,k.k) et (F,k.k⁰) deux e.v.n. Montrer que pour tout T ∈ B(E, F),

|||T|||= inf{C| ∀x∈E, kT(x)k⁰ ≤Ckxk}.

Exercice 1.2 In´egalit´es de H¨older et Minkowski.

Soit p > 0. On rappelle que `<sup>p</sup> = {(a<sub>n</sub>) ∈ C<sup>N</sup>; <sup>X</sup>|a<sub>n</sub>|<sup>p</sup> < +∞} et k(a<sub>n</sub>)k<sub>p</sub> = (<sup>X</sup>|a<sub>n</sub>|<sup>p</sup>)<sup>1p</sup> est alors d´efini sur`^p.

Pour p = +∞ : `^∞ = {(an) ∈ C^N; sup

n |an| <+∞} et k(an)k∞ = sup

n |an| est alors d´efini sur

`^∞. Enfin,c₀ ={(a_n)∈C^N; lim

n a_n = 0}.

Soient p, q ≥1 tels que 1 p+ 1

q = 1.

a)i) Montrer l’in´egalit´e de Young : pour tous x, y ∈R⁺, xy≤ 1

px^p+1 qy^q.

ii) En d´eduire l’in´egalit´e de H¨older : pour tout a∈`<sup>p</sup> et toutb ∈`^q, montrer queab∈`¹ avec k(a_n.b_n)k₁ ≤ k(a_n)k_p.k(b_n)k_q.

b) En d´eduire l’in´egalit´e de Minskowski, c’est `a dire l’in´egalit´e triangulaire pour la norme k.kp (Indication : on pourra par exemple utiliser l’in´egalit´e de H¨older apr`es avoir remarquer que

|a_n+b_n|^p ≤ |a_n|.|a_n+b_n|^p−1+|b_n|.|a_n+b_n|^p−1) et montrer quek.k_p est effectivement une norme.

c) Montrer que l’espace `^p muni de la norme k.k_p est un espace de Banach. Mˆeme question pour (c0,k.k∞).

Exercice 1.3 a) Montrer que dans un espace vectoriel norm´e, l’adh´erence d’une boule ouverte est la boule ferm´ee associ´ee et que l’int´erieur d’une boule ferm´ee est la boule ouverte associ´ee.

b) Le r´esultat est-il encore vrai dans un espace m´etrique ?

Exercice 1.4 1) Soit (E,k.k) un espace vectoriel norm´e. F un sous-espace de E. On consid`ere l’application

N : E/F −→ R⁺

˙

x 7−→ inf

y∈x˙kyk

i) Montrer que N est une semi-norme sur E/F. D´ecrire les x∈E tels que N( ˙x) = 0.

ii) A quelle condition sur F, (E/F, N) est un espace vectoriel norm´e ? Sous cette condition, montrer que la surjection canonique est continue, puis que si E est un espace de Banach, alors E/F aussi (on rappelle qu’un espace est Banach ssi toute s´erie normalement convergente est convergente).

2) Soitf une application lin´eaire de rang fini surE. Montrer quef est continue si et seulement si Kerf est ferm´e.

Exercice 1.5 On consid`ere C<sub>c</sub>(R) l’espace des fonctions continues sur R `a support compact.

Montrer que les normes k.k₁,k.k₂ et k.k∞ ne sont pas comparables sur cet espace.

Exercice 1.6 Montrer que l’application suivante est continue (on calculera la norme; montrer qu’elle n’est pas atteinte)

ϕ : c₀ −→ R u 7−→ ^X

n∈_N

u_n 2ⁿ⁺¹

Exercice 1.7 Soit K une partie non vide de Rⁿ, convexe, compacte, sym´etrique par rapport `a 0 telle que 0 soit un point int´erieur. On veut montrer qu’il existe une normep surRⁿ telle queK soit la boule unit´e de Rⁿ pour p.

On introduit la jauge de Lorentz-Minkowski : p(x) = inf{t > 0| ^x_t ∈ K}. Montrer que p est une norme qui r´epond au probl`eme. Pour cela,

i) Montrer que p(x) = 0 ssi x= 0.

ii) Pour x non nul, montrer que p(x)⁻¹x∈K.

iii) Pour x non nul et t > 0, montrer que p(tx) ≥ tp(x). En d´eduire : ∀x ∈ Rⁿ, ∀t ∈ R, p(tx) =|t|p(x).

iv) Montrer que si xet y sont non nuls, _p(x)+p(y)^x+y ∈K.

v) Conclure.

Exercice 1.8 On veut montrer que `<sup>∞</sup> est non-s´eparable. On suppose qu’il existe une partie d´enombrable dense (v<sub>n</sub>)n≥1. Soit xune suite `a valeurs 0 ou 1. On noteω_x =B^◦ (x,¹₂).

1) Montrer quex6=x⁰ ⇒ω_x∩ω_x⁰ =∅.

2) Montrer que pour tout x ∈ {0,1}^N, il existe un entier n(x) tel que v_n(x)∈ ω_x. Justifier que pourx6=x⁰, on a n(x)6=n(x⁰).

3) En d´eduire que {0,1}^N devrait alors ˆetre d´enombrable et conclure (on pourra faire un raisonnement via la diagonale de Cantor).

Exercice 1.9 Montrer qu’il existe une suite de L¹ convergente vers 0 mais qui ne converge pas presque partout vers la fonction nulle. Indication : on pourra consid´erer des fonctions car- act´eristiques de sous-intervalles dyadiques de [0,1] : les intervalles I_j,n =^h j

2ⁿ,j+ 1 2ⁿ

i o`u n∈N et 0≤j <2ⁿ.

2 Espaces de Hilbert.

Exercice 2.1 a) Montrer que dans tout espace de HilbertH, on a l’identit´e du parall´elogramme g´en´eralis´ee

∀n≥1, ∀x₁,· · ·, x_n ∈H, 2^{−n X}

εi=±1 1≤i≤n

kε₁x₁+· · ·+ε_nx_nk² =kx₁k²+· · ·+kx_nk².

b) En d´eduire que`<sup>p</sup> n’est pas isomorphe `a`<sup>2</sup> sip6= 2. Pour cela, on consid`erera un isomorphisme (bicontinu !) u entre`<sup>p</sup> et`² et on analysera son action sur la base canonique : e_j = (δ_n,j)n≥1. Exercice 2.2 Soient H un espace de Hilbert et F un sous-espace ferm´e de H non r´eduit `a{0}.

Soit P une projection de H sur F; montrer qu’on a l’´equivalence entre a) P est la projection orthogonale sur F.

b) kPk= 1.

c) ∀x∈H, |hP(x), xi| ≤ kxk².

(Indication : pour montrer (c) ⇒ (a), on pourra introduire le vecteur y+εe^−iθz o`u y ∈ F, z ∈F^⊥, ε >0 et e^iθ est le signe complexe de hP(z), yi.)

Exercice 2.3 a) Soit K ∈ L²(R²). Montrer que l’op´erateur T_K : L²(R) → L²(R), qui `a f ∈L²(R) associe

Z

R

K(x, y)f(y)dy est bien d´efini et born´e.

b) D´eterminer T_K^∗. Exercice 2.4 (DS 99)

1) Soient H un espace de Hilbert r´eel muni du produit scalaire (.|.), et T un endomorphisme continu deH. On noteT^∗ l’adjoint de T. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes :

a) T^∗◦T =Id

b) ∀x, y ∈H, (T(x)|T(y)) = (x|y).

c) T est une isom´etrie

2) Soit S (le shift) l’endomorphisme de `<sup>2</sup> d´efini par S(a) = (0, a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,· · ·) o`u a= (a_n)n∈_N. a) Montrer queS est une isom´etrie.

b) Calculer S^∗.

3) Si T est une isom´etrie, a-t-on T ◦T^∗ =Id ?

Exercice 2.5 D´ecomposition de Halmos-Wold. (DS 98) SoitH un espace de Hilbert (r´eel ou complexe),U une isom´etrie (i.e. un endomorphisme de H qui conserve la norme).

1) Montrer queU(K) est un sous-espace ferm´e de H, pour tout ferm´e K deH.

On d´efinit M = ^\

k∈_N^∗

U^k(H) et N le suppl´ementaire orthogonal deU(H) dans H.

2) Montrer queM est un sous-espace de Hilbert de H tel que U(M) =M. 3) Montrer que les espaces U^k(N),k ∈N, sont deux `a deux orthogonaux.

En notant S =

⊥

M

k∈_N

U^k(N), montrer H est la somme directe orthogonale de S et M : H = S

⊥

MM.

Exercice 2.6 Th´eor`eme de Lax-Milgram, approximation de Galerkin. soit H un espace de Hilbert r´eel. On consid`ere une forme bilin´eaire a sur H, que l’on suppose continue et coercive (i.e. ∃C >0, ∃α >0 tq ∀x, y ∈H, |a(x, y)| ≤Ckxk.kyk et ∀x∈H, a(x, x)≥αkxk²).

1)a) D´emontrer qu’il existe un op´erateur continuT surHtel que∀x, y ∈H,a(x, y) =hT(x), yi b) Montrer queT(H) est dense dans H.

c) Montrer que pour tout x dans H, kT(x)k ≥ αkxk. En d´eduire que T est injectif et que T(H) est ferm´e.

d) En d´eduire que T est un isomorphisme bicontinu (T et T⁻¹ continus) de H sur lui-mˆeme.

2) Soit Lune forme lin´eaire continue sur H.

a) D´eduire des questions pr´ec´edentes qu’il existe un unique u ∈ H tel que ∀y ∈H, a(u, y) = L(y).

b) On suppose dans cette question que a est sym´etrique et on d´efinit Φ(x) = 1

2a(x, x)−L(x).

D´emontrer que le point u est caract´eris´e par la condition Φ(u) = min

x∈HΦ(x).

3) On reprend les notations de 2)a). Soit (E_n)_n une suite croissante de sous-espaces vectoriels ferm´es de H dont la r´eunion est dense dans H.

a) D´emontrer que pour tout entier n, il existe un unique u_n∈E_n tel que ∀y∈E_n, a(u_n, y) = L(y).

V´erifier en particulier que siEnest de dimension finiednalors la d´etermination deunse ram`ene

`

a la r´esolution d’un syst´eme lin´eaire de la forme A_nU_n = Y_n, o`u A_n est une matrice inversible d’ordred_n (qui est sym´etrique d´efinie positive si a est sym´etrique).

b) D´emontrer que pour tout entier n, ku−u_nk ≤ C

αd(u, E_n).

En d´eduire que (un)n converge vers u.

Exercice 2.7 Polynˆomes d’Hermite. On consid`ere l’espace de Hilbert H = L<sup>2</sup>(µ) o`u µ est la mesure positive d´efinie sur R par

∀f ∈ K(R), µ(f) = 1

√2π

Z

R

f(x)e^−x2/2dx i.e. dµ(x) = 1

√2πe^−x2/2dx.

a) D´emontrer que pour tout entier n, il existe un polynˆome unique ˜P_n de degr´en tel que dⁿ

dxⁿ

e^−x2/2= (−1)ⁿe^−x2/2P˜_n.

b) On note pour chaque n, Pn = 1

√n!

P˜n.

D´emontrer que (P_n)_n est une famille orthonormale de H.

c) Soitf ∈ K(R), d´emontrer qu’il existe une suite de polynˆomes (p_n)_n telle que, uniform´ement surR, on ait lim

n→+∞p_n(x)e^−x2/8 =f(x)e^−x2/8.

(Indication : on utilisera le r´esultat de l’exercice 3 de la section approximation pour montrer que l’adh´erence de e^−x2.R[X] est une alg`ebre puis on utilisera le th´eor`eme de Stone-Weierstrass.)

En d´eduire que (pn)n converge vers f dans H.

d) D´emontrer que (P_n)_n est une base hilbertienne de H.

Exercice 2.8 Op´erateurs de Hilbert-Schmidt. Soit H un Hilbert s´eparable de dimension infinie. On consid`ere T ∈ B(H) et deux bases hilbertiennes de H : (e_n)n∈_N et (f_n)n∈_N.

1) Montrer que ^X

n∈_N

kT(e_n)k² = ^X

n∈_N

kT^∗(f_n)k² ≤ ∞ et en d´eduire que

X

n∈_N

kT(e_n)k² =^X

n∈_N

kT(f_n)k² On d´efinit HS(H) ={T ∈ B(H); ^X

n∈N

kT(e_n)k² <∞}, et pour tout T ∈HS(H) : kTk₂ = ^X

n∈_N

kT(e_n)k²

1 2.

2) Montrer queHS(H) est un sous-espace vectoriel strict deB(H); quek.k₂ est une norme sur HS(H) et que k|Tk| ≤ kTk₂ pour tout T ∈HS(H).

Exercice 2.9 Un th´eor`eme ergodique. Soit H un espace de Hilbert et T ∈ B(H) avec kTk ≤1.

1) D´emontrer que si x ∈ H, alors T x = x si et seulement si hT(x), xi = kxk² (utiliser le cas d’´egalit´e dans l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz). En d´eduire que Ker(I−T) =Ker(I−T^∗).

2) D´emontrer que pour tout op´erateur S sur H, on a Im(S)^⊥ =Ker(S^∗). En d´eduire que H =Ker(I −T)⊕⊥Im(I −T).

3) On pose pour tout n ∈ N, Tn = 1 n+ 1

I+T +. . .+Tⁿ. Montrer que pour tout x∈ H,

n→+∞lim T_n(x) = P(x) o`uP est la projection orthogonale sur Ker(I−T). Indication : on consid`erera successivement les casx∈Ker(I −T), x∈Im(I −T) et x∈Im(I−T).

Exercice 2.10 Lemme de Kirszbraun. On consid`ere un espace de Hilbert H de dimension finie et un entier n≥2. Soient (a_i)1≤i≤n et (b_i)1≤i≤n deux familles de vecteurs de H; et (r_i)1≤i≤n

une famille de r´eels positifs ou nuls. On suppose que

∀i, j ∈ {1,· · ·, n}, kb_i−b_jk ≤ ka_i−a_jk, et ^\

1≤i≤n

B(a¯ _i, r_i)6=∅.

On veut montrer que ^\

1≤i≤n

B(b¯ i, ri)6=∅.

Pour cela, on fixe p dans ^\

1≤i≤n

B(a¯ _i, r_i) 6= ∅ et on peut supposer que p n’est pas l’un des a_i (pourquoi ?), ce que l’on fait.

Pour x∈H, on pose Λ(x) = max

1≤i≤n

kx−b_ik

kp−a_ik. On suppose que ∀x∈H, Λ(x)>1.

1) Justifier qu’il existe q∈H tel que ∀x∈H, Λ(x)≥λ, o`u λ= Λ(q).

2) On suppose que kq−b_ik =λkp−a_ik pour 1 ≤ i≤ k et kq−b_ik< λkp−a_ik pour i > k;

pourquoi ? Montrer que q∈Conv{b₁,· · ·, b_k}.

(Indication : soit π la projection sur le convexe ferm´e Conv{b₁,· · ·, b_k}, on supposera que q6=π(q) puis on introduira pourt >0 le vecteur q_t=q+t(π(q)−q).)

3) Conclure. (Indication : on introduira e_i = q −b_i et d_i = p−a_i puis on montrera que he_i, e_ji>hd_i, d_ji.)

3 Approximation.

Exercice 3.1 Soit K un compact m´etrique. Montrer que (C(K),k.k∞) est s´eparable

Indication : choisir une partie d´enombrable dense (xn)n≥1 dans K puis utiliser l’alg`ebre en- gendr´ee par les fonctions f₀(t) = 1 et f_n(t) = d(t, x_n) pour n ≥1.

Exercice 3.2 (Ds 99) Soit (K_i)1≤i≤n une famille de compacts m´etriques. On consid`ere K = K1 ×. . .×Kn muni de la topologie produit; et pour u1 (resp. · · ·, un) continues sur K1 (resp.

· · ·, K_n) `a valeurs r´eelles, la fonction

(x₁,· · ·, x_n)∈K 7−→u₁(x₁)· · ·u_n(x_n)∈R.

Montrer que l’ensemble des fonctions ainsi obtenues engendre un sous-espace (not´e classique- ment C(K₁)⊗ · · · ⊗C(K_n)) dense dans (C(K),k.k∞). (remarque : encore vrai pour un produit infini).

Montrer que c’est une partie stricte de C(K) d`es que n ≥ 2. Indication : le faire pour n = 2 en consid´erant (x, y)7→exp(xy).

Exercice 3.3 Approximation de Laguerre. C₀(R⁺) est l’espace des fonctions continues sur R⁺ `a valeurs r´eelles qui converge vers 0 en l’infini. On rappelle la version suivante du th´eor`eme de Stone-Weierstrass : toute sous-alg`ebre s´eparante de C₀(R⁺) est dense.

Pour tout entier n ≥1, on note e_n(x) = exp(−nx).

a) Pour tout entier n, on note f_n = e₂ −e₁p_n o`u p_n(x) =

n

X

k=0

(−x)^k

k! . Montrer que (f_n)_n converge vers 0 uniform´ement sur R⁺ (Indication : on pourra utiliser la formule de Stirling : n!∼√

2πn^n+1/2e⁻ⁿ).

On note V le sous-espace{e₁.p; p∈R[X]} ⊂C₀(R⁺).On veut montrer que V est dense dans (C₀(R⁺),k.k∞).

b) Montrer que pour tout entier n ≥1,en ∈V¯ (pour cela, on raisonnera par r´ecurrence et on appliquera l’hypoth`ese de r´ecurrence `ae₂ en (n+ 1)x/2 puis `a e_n enx/2).

c) Conclure. Indication : on pourra introduire l’espace vectoriel engendr´e par les e_n, o`u n∈N\ {0}.

d) Montrer que pour p≥1,V est dense dans L^p(R⁺).

Exercice 3.4 M´ethode de Korovkin. Soit e_n:x∈[0,1]7→xⁿ. Soientf ∈C([0,1]) et ε >0.

1)a) En utilisant l’uniforme continuit´e de f, montrer qu’il existeδ >0 tel que

∀x, y ∈[0,1], |f(x)−f(y)| ≤ε+ 2kfk∞

(x−y)² δ² · On consid`ere une suite (T_n) d’endomorphismes de C([0,1]) v´erifiant :

(i)∀f ≥0,T_n(f)≥0 et (ii) T_n(e_i)→e_i pouri∈ {0,1,2}.

b) Montrer queT_nest croissant puis, avec 1.a., que pour toutf ∈C([0,1]) et tousx, y ∈[0,1] :

|T_n(f)(x)−f(y)Tn(e0)(x)| ≤Tn(|f −f(y)e0|)(x)

≤εTn(e0)(x) + 2kfk_∞ δ²

Tn(e2)(x)−2yTn(e1)(x) +y²Tn(e0)(x). c) En d´eduire que pour toutf ∈C([0,1]), (T_n(f))_n converge vers f dans C([0,1]).

2) Pour toutn∈N, on d´efinit le polynˆome de BernsteinBn(f)(X) =

n

X

k=0

C_n^kf(^k_n)X^k(1−X)^n−k. Montrer que les polynˆomes de Bernstein (associ´es `a f) convergent uniform´ement vers f sur [0,1].

3) Adapter les r´esultats du 1) (et les preuves) dans le cas de fonctions p´eriodiques de p´eriode 1 avec e₁ = cos et e₂ = sin. On donnera alors une nouvelle d´emonstration du th´eor`eme de Fejer K<sub>n</sub>∗f →f o`uK_n est la moyenne de C´esaro des fonctions D_k(x) = ^X

|j|≤k

exp(2iπjx).

Indication : on montrera que f 7→ K_n∗f est un op´erateur positif (i.e. v´erifie (i)). Puis on

´etablira une in´egalit´e du type 1.a. : ∀x, y ∈[0,1], |f(x)−f(y)| ≤ε+ 2kfk∞

1−cos(δ)[1−cos(x−y)].

4 Fourier sur le tore.

Exercice 4.1 soienta∈C\Zetf(t) = exp(2iπat) pourt∈[−¹₂,¹₂[, prolong´ee par 1-p´eriodicit´e.

Calculer les coefficients de Fourier de f puis montrer que πcotan(πa) = 1

a +

∞

X

n=1

2a a²−n²· En faisant un D.L. en a= 0 `a l’ordre 3 de cotan(πa)− 1

πa, en d´eduire les sommes

X

n≥1

1 n² = π²

6

X

n≥1

1 n⁴ = π⁴

90·

Dans tous les exercices suivants, les fonctions continues sont 1-p´eriodiques.

Exercice 4.2 On rappelle que pour un entier N fix´e, le noyau de Dirichlet d’ordre N est D_N =

N

X

j=−N

e_j, o`ue<sub>j</sub>(t) = exp(2iπjt). Le noyay de F´ej`er d’ordre N estF_N = 1 N

N

X

n=0

D_n. a) Donner une expression simplifi´ee de D_N etF_N.

b) Montrer que pour f ∈L¹, FN ∗f converge vers f dans L¹.

c) Montrer que l’application de L¹ dans c₀ qui `a f associe ses coefficients de Fourier, est injective.

Exercice 4.3 Soit f une fonction continue sur [0,1] et de classe C¹ par morceaux.

a) Montrer que pour tout n∈Z, on a 2iπnfˆ(n) =f^b0(n).

b) En d´eduire que f est somme de sa s´erie de Fourier et que celle-ci converge normalement.

Exercice 4.4 Th´eor`eme de Bernstein. Soit f une fonction H¨old´erienne d’ordre α >0 i.e.

supⁿ|f(x)−f(y)|

|x−y|^α ; x6=y^o<∞.

a) En notantf_x(t) = f(x+t) o`ux, t ∈R, calculerf^c_x(n) en fonction de ˆf(n) pour tout n∈Z. b) Montrer qu’il existe C >0 tel que pour tout j ∈N, on a

C2^−2jα≥ ^X

2^j+1≤|n|≤2^j+1

|fˆ(n)|².

(Indication : on s’int´eressera `akf−fxk2 avecxbien choisi et on utilisera la propri´et´e H¨old´erienne def)

c) Montrer que la suite des coefficients de Fourier de f est dans `^p(Z) pour p > 2 2α+ 1. (Indication : on appliquera l’in´egalit´e de H¨older)

Exercice 4.5 In´egalit´e isop´erim´etrique. Soit Γ un arc de Jordan dans _C de classe C¹ par morceaux (continue ferm´ee sans point double) et de longueur L enfermant une surface d’aire S.

Alors on veut montrer que L² ≥4πS et que l’on a ´egalit´e dans le cas d’un cercle.

On peut supposer L = 1 (pourquoi ?) et on param`etre Γ par l’abscisse curviligne s (donc Γ ={(x(s), y(s))| s∈[0,1]}). On peut aussi supposer ˆx(0) = 0 (pourquoi ?).

a) ExprimerS etL(= 1) en fonction de d’int´egrales simples de la variables(on pourra utiliser la formule de Green-Riemann pour exprimerS).

b) Etablir l’in´egalit´e d’Hurwitz : soitf une fonction de classe C¹ sur [0,1] `a valeurs complexes.

Alors

Z 1 0

|f(x)|²dx−

Z 1 0

f(x)dx² ≤ 1 4π²

Z 1 0

|f⁰(x)|²dx.

On ´etudiera le cas d’´egalit´e.

c) Conclure (Indication : on minorera L²−4πS par 0 en ´etudiant le cas d’´egalit´e).

Exercice 4.6 Equation de la chaleur (cas d’une barre finie). On consid`ere une fonction h C<sup>1</sup> sur ]0,1[. On cherche `a trouver u, d´efinie sur [0,1]×R⁺ etC^∞ sur [0,1]×]0,+∞[, telle que

u(0, t) = u(1, t) = 0 pour t≥0 u(x,0) =h(x) pour x∈]0,1[

∂u

∂t −∂²u

∂x² = 0 dans ]0,1[×]0,+∞[.

a) Montrer que les solutions `a variables s´epar´ees : u(x, t) = f(x)g(t) de l’´equation de la chaleur ∂u

∂t − ∂²u

∂x² = 0 dans ]0,1[×]0,+∞[ avec u(0, t) = u(1, t) = 0 pour t > 0 sont de la forme u_n(x, t) = a_nsin(nπx)e^−n2π2t o`u n ≥ 1. Indication : les fonctions f et g sont chacune solutions d’une ´equation diff´erentielle.

b) R´esoudre le probl`eme de la chaleur. Indication: on “prolongera” d’une part h en une fonction impaire 2-p´eriodique sur R. D’autre part, on utilise la m´ethode de superposition, i.e. on somme la famille de solutions obtenues au a.

c) Pour x∈]0,1[, montrer que lim

t→0⁺u(x, t) = h(x) et que lim

t→+∞u(x, t) = 0.

5 Convolution et Fourier sur R

Exercice 5.1 Calculer le carr´e pour la convolution de la fonction indicatrice de [0,1].

Exercice 5.2 In´egalit´e d’Young. Soient p, q ∈[1,∞] tels que ¹_p+¹_q ≥1. Soientf ∈L^p(R) et g ∈L^q(R), montrer que f etg sont convolables et que f ∗g ∈L^r(R) avec ¹_r = ¹_p +¹_q −1 et que

kf ∗gk_r ≤ kfk_pkgk_q.

Indication : on commencera par ´ecrire que|f|=|f|^p/r·|f|^1−p/r et|g|=|g|^q/r·|g|^1−q/r. On utilisera l’in´egalit´e de H¨older avec les exposants conjugu´esr etr⁰, puis avecpr−1

r−p etqr−1 r−q. Exercice 5.3 Soit f ∈L^∞(R).

On suppose quef admet un repr´esentant uniform´ement continu. Montrer quea7→f_a ∈L^∞(R) est continue sur R.

On veut montrer que la r´eciproque est vraie : on suppose quea7→f_aest continue en 0. On veut montrer quef admet un repr´esentant uniform´ement continu. On consid`ere une approximation de l’unit´e `a support compact: par exemple, avec ϕ une fonction triangle continue telle queϕ(0) = 1 etϕ(t) = 0 pour|t| ≥1, on introduit ϕ_n(t) =nϕ(nt).

i) Montrer que pour presque tout x, on a pour presque tout t,|f(x−t)−f(x)| ≤ kf_t−fk∞. ii) Montrer quef^f_n =ϕ_n∗f converge versf dans L^∞(R).

iii) Montrer que pour tout n, f^f_n est uniform´ement continue.

iv) Montrer que (f^fn)n converge uniform´ement sur Rvers une fonction uniform´ement continue v) Conclure.

Exercice 5.4 En consid´erant f = ^X

n∈_Z^∗

|n|1_[n,n+¹

n3[, montrer qu’il existe des fonctions de L¹(R) telles quef ∗f(x) n’existe pas n´ecessairement pour tout r´eel x.

Exercice 5.5 1) Soit f de classe C¹ sur R telle que f et f⁰ ∈ L¹(R). Montrer que pour tout r´eel t, F(f⁰)(t) = 2iπtFf(t).

2) Soit f ∈ L¹(R) telle que g ∈ L¹(R) o`u g(x) = xf(x) avec x ∈ R. Montrer que Ff est d´erivable et que (Ff)⁰ =−2iπFg.

Exercice 5.6 Equation de la chaleur pour une barre illimit´ee.

On consid`ere h∈L<sup>1</sup>(R). On cherche `a trouver u telle que

∀t≥0, u(., t);∂u

∂x(., t);∂²u

∂x²(., t)∈L¹(R) et u(x,0) =h(x) pour x∈R.

∀T >0, ∃f ∈L¹(R), ∀t∈[0, T], |∂u

∂t(x, t)| ≤f(x) dx−p.p.

∂u

∂t − ∂²u

∂x² = 0 dans R×]0,+∞[.

Indication : pour cela, on appliquera la transform´ee de Fourier `a l’´equation de la chaleur et on rappelle le r´esultat du cours que e^−πx2 est la transform´ee d’elle-mˆeme.

Montrer que u(x, t) tend vers h(x) quand t tend vers 0+. Pour cela, on montrera que h est born´ee car h et h⁰ sont dansL¹ puis on utilisera le th. de convergence domin´ee.

Exercice 5.7 Diviseurs de z´ero.

Montrer que l’alg`ebre L<sup>1</sup>(R) admet des diviseurs de z´ero. Pour cela, on prendra des fonctions dont les transform´ees de Fourier sont `a supports disjoints.

Exercice 5.8 Soient f ∈L¹(R), une suite (α_n)_n admettant un point d’accumulation dansR et des r´eels a < b tels que

∀n∈_N,

Z b a

f(x)e^iαnxdx= 0.

Montrer que f = 0 p.p. sur [a, b].

Indication : introduire F(z) =

Z b a

f(x)e^izxdx et utiliser le cours d’analyse complexe.

Exercice 5.9 DS99. (4 points) Soit λ >0.

1) Calculer la transform´ee de Fourier de 1I[−λ,λ]∈L¹(R)∩L²(R).

2) En d´eduire pour presque tout x∈R, la valeur de :

A→+∞lim

Z A

−A

sin(2πλy)

2πλy e^2πixydy . Probl`eme. DS99(7 points)

Pour f :R→C etα ∈R, on d´efinit τ_αf :R→C par : (τ_αf)(x) =f(x−α), ∀x∈R.

Le but du probl`eme est de montrer que si E est un sous-espace vectoriel ferm´e de L²(R) tel que :

f ∈E ⇒ τ_αf ∈E , ∀α∈R, alors il existe un bor´elien B ⊆R tel que :

E ={f ∈L²(R) ; (Ff)(y) = 0 ∀y∈B}. On note, pour α∈R : e_α(x) = e^2πiαx, x∈R.

On note aussiF =FE ={Ff; f ∈E}, et P la projection orthogonale de L²(R) sur F. 1) V´erifier que si f ∈ L¹(R), on a F(ταf) = (Ff)e−α, et montrer que cela reste vrai pour f ∈L²(R).

Quelle propri´et´e en d´eduit-on pour F ? 2) Montrer que pour tout α∈R, on a :

u, v ∈L²(R) ⇒ (u−P u)⊥(P v)e_α .

3) Que signifie cette orthogonalit´e pour la transform´ee de Fourier de la fonction (qui est int´egrable) w= (u−P u)P v? En d´eduire que w= 0.

4) Montrer, en utilisant 3), que pouru, v ∈L²(R), on a : u(P v) = (P u)v p.p.

5) On note v₀(y) = e^−|y|, y∈R, et on pose :

φ(y) = (P v0)(y) v₀(y) ·

En utilisant 4), montrer que φ(y) = 0 ou 1 pour presque tout y ∈ R (utiliser le fait que P² =P).

6) Conclure.

6 Convolution et Fourier sur R ^et T

Exercice 6.1 Formule sommatoire de Poisson. Soit f ∈C(R) telle que

∃M >0, ∃α >1, ∀x∈R, |f(x)| ≤M(1 +|x|)^−α et ^X

n∈_Z

|Ff(n)|<∞.

Montrer que ^X

n∈_Z

f(n) = ^X

n∈_Z

Ff(n)<∞.

(Indication : introduire la fonction d´efinie surR par F(x) = ^X

n∈_Z

f(x+n), montrer qu’elle est 1-p´eriodique et la d´evelopper en s´erie de Fourier)

Exercice 6.2 Soit q=e^−ε ∈]0,1[,θ ∈R, on d´efinit S(q, θ) = ^X

n∈_Z

qⁿ²e^2iπnθ. 1) Montrer que S(q, θ) = ^qπ_ε ^X

n∈Z

exp[−π²

ε (n−θ)²]; en d´eduire que S(q, θ)>0.

(Indication : exo 1 avec f_x(t) =f(x+t) o`uf(θ) =e^−π2θ2/ε) 2) Montrer que F(q) =

∞

X

n=0

(−1)ⁿqⁿ² > 1

2 et que lim

q→1⁻F(q) = 1 2. Indication : prendre θ= 1

2.

Exercice 6.3 Soit N ∈N, calculer kF_Nk_L¹_([0,1]) (pour cela on explicitera l’expression de F_N) et les coefficients de Fourier de F_N o`uF_N est le noyau de Fejer :

F_N = 1 N + 1

N

X

n=0 n

X

k=−n

e_k.

1) Montrer queF_N ∗f converge versf dans L¹([0,1]) si f ∈L¹([0,1]) et que F_N ∗f converge vers f dans C([0,1]) si f ∈C([0,1]). Montrer que L¹([0,1])→`^∞:f 7→fˆest injective.

2) En d´eduire que pour toute fonction continue sur [0,1], 1-p´eriodique, si les coefficients de Fourier de f sont positifs alors leur somme est convergente.

Exercice 6.4 Soit E ={f ≥0| f continue et f = 0 hors de [−1,1],f(0) = 1, ˆf ≥0 sur R}.

1) Soit f₀(t) = max(1− |t|,0), montrer que f₀ ∈E.

2) Montrer max

f∈E

Z 1

−1f(t)dt= 1 =

Z 1

−1f₀(t)dt.

(Indication : introduire la fonction g co¨ıncidant avecf sur [−1,1] et 2-p´eriodique puis utiliser les exercices 1 et 3)

Exercice 6.5 On veut d´eterminer les caract`eres continus de R, c’est `a dire les morphismes de groupes continus de (R,+) dans (T, .). On fixe un caract`ere continuγ.

1) Montrer qu’il existe c6= 0 etδ >0 tel que

Z δ 0

γ(t)dt=c.

2) En d´eduire que pour tout r´eel x, cγ(x) =

Z x+δ x

γ(t)dt et que γ est d´erivable.

3) Montrer qu’il existe y∈R tel que γ(x) =e^−iyx pour x∈R.

7 Baire, Banach and co.

Exercice 7.1 Montrer que Q n’est pas une intersection d´enombrable d’ouverts de R.

Exercice 7.2 Montrer qu’un ouvert (non vide) d’un espace de Baire X est un espace de Baire.

Pour cela, on proc`edera de la fa¸con suivante : on fixe une suite (ω<sub>n</sub>) d’ouverts denses de Ω, ouvert de X. On consid`erera Ω⁰ qui est le compl´ementaire de l’adh´erence de Ω (i.e. son ext´erieur) et ω⁰_n= Ω⁰ ∪ωn. On remarquera que c’est une suite d’ouverts denses deX. Conclure.

Exercice 7.3 Montrer qu’un espace de Banach n’admet pas de base (alg´ebrique) d´enombrable.

(Indication : par l’absurde : on utilisera Baire avec F_n=vect{e₁,· · ·, e_n})

Exercice 7.4 Th´eor`eme de Corominas - version faible. Soitf :C→Centi`ere, telle que :

∀z ∈C, ∃n∈N, f⁽ⁿ⁾(z) = 0.

On pose F_n ={z ∈C | f⁽ⁿ⁾(z) = 0}

1) Montrer que F_n est ferm´e et en d´eduire qu’il existe p ∈ N tel que F_p est d’int´erieur non vide.

2) En conclure quef est un polynˆome.

Exercice 7.5 Th´eor`eme de la limite simple de Baire. SoientXun espace m´etrique complet et Y un espace m´etrique (on notera d la m´etrique). On suppose qu’une suite (f_n)_n de fonctions continues de X dans Y converge simplement vers f. On veut montrer que l’ensemble C(f) des points de continuit´e de f est dense dansX.

On introduit la fonction ω(x) = inf

r>0sup{d(f(u), f(v))k; u, v ∈B^◦ (x, r)} et l’ensemble O_ε =ω⁻¹([0, ε[).

1) Montrer que x∈C(f)⇔ω(x) = 0 et que ∀ε >0, O_ε est un ouvert deX.

En d´eduire C(f) = ^\

p∈_N^∗

O¹

p.

2) On fixe ε, R >0 et un x₀ ∈X. On note B_R la boule ouvrte de centre x₀ de rayon R.

a) Montrer que : ∀n ∈N^∗,F_n={x∈B_R| ∀m ≥n, d(f_n(x), f_m(x))≤ε} est ferm´e dans B_R. b)Montrer que B_R =∪_n≥1F_n et en d´eduire qu’il existen₀ ∈N^∗ tel queF_n0 est d’int´erieur non vide (Indication : on utilisera Baire).

c) En d´eduire qu’il existe x₁ ∈B_R et r >0 tel que ¯B(x₁, r)⊂B_R et tel que :

∀x∈B(x¯ ₁, r), d(f(x), f_n0(x))≤ε.

d) En utilisant la continuit´e de f_n0 en x₁, montrer qu’il existes >0 tel que :

∀x∈B(x¯ ₁, s), d(f(x), f(x₁))<3ε puis que ω(x₁)<7ε. En d´eduire que O_7ε∩B_R 6=∅.

3) Montrer que : ∀ε >0, O_ε est dense dansX.

4) Conclure.

Exercice 7.6 Soit I un intervalle de R. Montrer que pour toute fonction f :I →R, d´erivable, f⁰ est continue sur un ensemble dense de I. (Indication : exo 4 et consid´erer une suite de taux d’accroissement adequat).

Exercice 7.7 (Grothendieck) SoitX un sous-espace ferm´e de L²([0,1]) dont chaque ´el´ement est aussi dans L^∞([0,1]).

1) Montrer qu’il existe C >0 tel que ∀f ∈X,kfk∞≤Ckfk₂.

2) On fixe n ∈ N^∗ et une famille orthonormale dans X : f₁,· · ·, f_n. Pour x ∈ Cⁿ, on note F_x =

n

X

j=1

x_jf_j.

a)On choisit une partie d´enombrable denseDdeCⁿ, montrer qu’il existeN ⊂[0,1] de mesure nulle telle que : ∀x∈D,∀t /∈N, |F_x(t)| ≤Ckxk₂.

b) En d´eduire que : ∀x∈Cⁿ,∀t /∈N, |F_x(t)| ≤Ckxk₂.

3) En choisissant x = (f₁(t),· · ·, f_n(t)), montrer que : ∀t /∈ N,

n

X

j=1

|f_j(t)|² ≤ C². En d´eduire queX est de dimension finie.

Exercice 7.8 Montrer la version suivante du th´eor`eme de Banach-Steinhaus : pour toute famille d’op´erateurs (Ti)i∈I ∈B(E, F) o`u E est un Banach et F est norm´e, on a l’alternative suivante : il existe M >0 tel que ∀i∈I, k|T_ik| ≤M

ou

il existe une partie dense deE (qui est une intersection d´enombrable d’ouverts denses) dont tout

´el´ement xv´erifie sup

i∈I

kT_i(x)k= +∞.

Exercice 7.9 On note C l’espace des fonctions continues sur [0,1] telles que f(0) =f(1). Pour tout f ∈C et tout entier n, on note S_n(f) la n^ieme somme partielle de Fourier : ^X

|k|≤n

fˆ(k)e_k, o`u e_k(t) = exp(2iπkt).

1) Montrer que S_n(f) = D_n∗f o`u D_n est le noyau de Dirichlet : ^X

|k|≤n

e_k.

On fixe x∈[0,1] et on consid`ere la famille d’applications σ^x_n:C →C, d´efinie par σ_n^x(f) =S_n(f)(x).

2)Montrer quek|σ_n^xk|=kDnk1 pour toutn. Pour cela, on remarquera queDnest de signe con- stant par morceaux puis on introduira une suite de fonctions continues qui approxime la fonction

´etag´ee “signe de D_n”. Pour simplifier, on pourra raisonner d’abord dans le casx= 0.

3) En d´eduire que k|σ_n^xk| →+∞ quand n →+∞.

4) En d´eduire qu’il existe une fonction de C dont la s´erie de Fourier diverge au point x (Indication : Banach-Steinhaus).

5)D´eduire qu’il existe une intersection d´enombrable d’ouverts denses deC dont toute fonction admet une s´erie de Fourier divergente enx. En d´eduire qu’il existe un ensemble dense de fonctions deC dont la s´erie de Fourier diverge sur un ensemble dense de [0,1].

Exercice 7.10 (Exam 2000) SoitC([0,1]) l’espace des fonctions r´eelles continues sur [0,1], muni de la norme uniforme, et soit X un sous-espace vectoriel ferm´e de C([0,1]) dont tous les ´el´ements sont continˆument d´erivables.

On d´efinit T:X → C([0,1]) par T(f) =f⁰. 1) Montrer que le graphe de T est ferm´e.

2) En d´eduire qu’il existe un entier N ≥ 1 tel que kf⁰k_∞ ≤ N pour toute f ∈ X telle que kfk∞ ≤1.

3) On pose x_n=n/N pour 0≤n ≤N, et on d´efinit S:X →R^N+1 par S(f) = (f(x₀), f(x₁), . . . , f(x_N)).

a) On suppose quekfk∞= 1 etS(f) = 0. Montrer, en utilisant le Th´eor`eme des accroissements finis, que l’on aboutit `a une contradiction.

b) En d´eduire que X est de dimension finie et dimX ≤N+ 1.

Exercice 7.11 Soit E l’espace des fonctions continues sur [0,1] `a valeurs r´eelles, muni de la norme infinie. Pour tout entier n≥1, on pose

A_n={f ∈E| ∀t ∈[0,1],∃s ∈[0,1], |f(t)−f(s)|> n|t−s|}.

1) Montrer que pour tout n, l’int´erieur de A_n est dense dans E. Pour cela, proc´eder comme suit : on fixe f ∈ E et ε > 0. Il existe η > 0 tel que pour tous x, y ∈ [0,1] avec |x−y| ≤ η, on ait |f(x)−f(y)| ≤ε/3 (justifier !). On choisit un entier m≥max(η⁻¹,3nε⁻¹) et on pose x_k= k pourk ∈ {0, . . . , m}. On d´efinit alors la fonctiong affine par morceaux sur [x_k,(x_k+x_k+1)/2] etm [(xk+xk+1)/2, xk+1] telle que g(xk) =f(xk) et g((xk+xk+1)/2) = f((xk+xk+1)/2) + 2ε/3 pour tout k.

a) Montrer queg ∈A_2n. b) Montrer quekf −gk∞≤ε.

c) Montrer que la boule ouverte de centre g et de rayon ρ = n

8m est incluse dans A_n.

2) En d´eduire que l’ensemble des fonctions continues sur [0,1], d´erivables en aucun point, est dense dans E.

8 Dualite, Hahn-Banach

Exercice 8.1 Montrer que le dual de `<sup>p</sup> est isom´etrique `a`^p0 pourp∈[1,+∞[ et que le dual de

`<sup>∞</sup> contient isom´etriquement strictement `¹.

Pour cela on montrera que l’application θ qui associe `a (c<sub>n</sub>) ∈ `^p0, la forme lin´eaire sur `^p continue : (a_n)7→^Pc_na_n est une isom´etrie. Dans le premier cas, on montrera queθ est surjective mais pas dans le second cas.

Exercice 8.2 Soit (e_n)n∈_N une base orthonormale d’un espace de Hilbert H.

On note A ={e_n+ne_m|m≥n}.

1) Montrer que 0∈A¯^w.

2) Montrer qu’aucune suite de A converge faiblement vers 0.

Exercice 8.3 SoientX etY deux espaces de Banach (dont les boules unit´es ouvertes sont not´ees B_X etB_Y) etT un op´erateur deX dansY. Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes (de plusδ peut-ˆetre le mˆeme dans a, b et c).

a) Il existe δ >0 tel que pour tous y^∗ ∈Y^∗,kT^∗(y^∗)k ≥δky^∗k.

b) Il existe δ >0 tel que δB_Y ⊂T(B_X).

c) Il existe δ >0 tel que δB_Y ⊂T(B_X).

d) T est surjectif.

Indications : pour a⇒b: soity /∈T(B_X), justifier par le th. de s´eparation quekyk ≥δ. Pour b ⇒ c : on raisonne avec δ = 1 (justifier) et on fixe y₁ ∈ B_Y ainsi qu’une suite ε_n > 0 v´erifiant

Pε_n < 1− ky₁k. Construire deux suites x_n et y_n telles que kx_nk ≤ ky_nk, ky_n−T(x_n)k < ε_n et y_n+1 =y_n−T(x_n). Conclure avec x=^Px_n.

Exercice 8.4 Soientp, r≥1 et T un op´erateur deL^p([0,1]) dansL^r([0,1]). Montrer qu’il existe une fonction K de [0,1]² dans C telle que pour tout x ∈ [0,1], K(x, .) d´efinisse un ´el´ement de L^p0([0,1]) (p⁻¹+p⁰⁻¹ = 1) et pour tout f ∈L^p([0,1]) et tout x∈[0,1], on ait

Z x 0

T(f)(y)dy =

Z 1 0

K(x, y)f(y)dy.

Exercice 8.5 Soit K un compact m´etrique. C(K) est l’espace les fonctions continues sur K `a valeurs r´eelles. On note δ<sub>x</sub> o`u x ∈ K la mesure de Dirac en x, qui peut aussi ˆetre vue comme l’´el´ement de C(K)⁰ d´efini par f 7→f(x).

1) Montrer que pour tout x ∈ K, ±δ_x est un point extr´emal de la boule unit´e de C(K)^∗. (Indication : δ_x =λϕ₁+ (1−λ)ϕ₂ avec δ_x 6=ϕ₁, on prouvera qu’il existe un compact K₀ qui ne contient pas x tel que |ϕ₁|(K₀) > 0 puis on introduira une fonction f continue sur K telle que f|K0 = 0 etf(x) = 1)

2) On veut montrer la r´eciproque. Soit donc m ∈ C(K)^∗ de norme 1 telle que m 6= ±δ_x pour tout x. Soitµ une mesure bor´elienne surK repr´esentant m. Montrer qu’il existe une partie bor´elienne A de K telle que |µ|(A) ∈]0,1[ (on raisonnera par l’absurde en utilisant le caract`ere pr´ecompact de K). Puis conclure.

Exercice 8.6 E un espace vectoriel norm´e.

1) On suppose que E^∗ est s´eparable. Soit {f_n}_n une suite dense, deE^∗\ {0} (justifier !).

a) Montrer qu’il existe xn∈E de norme 1 telle que|fn(xn)| ≥ ¹₂kfnk.

b) On note F la fermeture de l’espace vectoriel engendr´e par lesx_n que l’on suppose distinct deE. Montrer qu’il existe f ∈E^∗ non nulle telle que f|F = 0.

c) Montrer qu’il existeϕ:N→N telle que la suitekf−f_ϕ(n)kconverge vers 0, puis que f_ϕ(n) converge vers 0. En d´eduire que E est s´eparable.

2) Montrer que si E est s´eparable et r´eflexif alors E^∗ est s´eparable. En d´eduire que `¹ n’est pas r´eflexif.

Pour une mesure complexe µ sur [0,1], on d´efinit la transform´ee de Fourier-Stieljes : pour tout n∈Z, ˆµ(n) =

Z 1 0

e_n(−t)dµ(t) avec e_n(t) = exp(2iπnt).

Exercice 8.7 Produit de Riesz. Montrer que pour toute suite (a_n)_n born´ee par 1 dans `^∞, il existe une mesure complexe µsur [0,1] telle que pour tout n ∈N, on a ˆµ(3ⁿ) = a_n. Pour cela, on introduira le produit de Riesz :

µ_N =

N

Y

k=0

1 + ak.e₃^k + ¯ak.e₋₃^k 2

.

Indications : 1) On calculera ˆµ_N(p) (en d´eveloppantµ_N) pour tout entierpen faisant attention

`

a montrer que l’´ecriture d’un entier sous la forme^Pε_j3^j (avecε_j ∈ {−1,0,1}) est unique.

2) En d´eduire kµ_Nk_M([0,1])=kµ_Nk₁ = 1. Conclure par compacit´e pour la topologie pr´efaible.

3) En d´eduire que pour toute fonctionf continue 1-p´eriodique telle que ˆf(n) = 0 pourn 6= 3^k, on a ^P|f(n)|ˆ convergente.

Exercice 8.8 Th´eor`eme de Rajchman. Soit une mesure complexe µ sur [0,1]. On suppose que lim

n→+∞µ(n) = 0 et queˆ |µ|({0,1}) = 0.

Pr´eliminaire : montrer que l’ensemble des polynˆomes trigonom´etriques P est dense dans L¹(|µ|). Pour cela, on suppose le contraire. Justifier qu’alors il existe h₀ ∈ L^∞(|µ|) non nul tel que pour tout P ∈ P, on ait ^R_[0,1]P h₀d|µ| = 0. En d´eduire que ^R_[0,1]f h₀d|µ| = 0 pour toute f ∈C([0,1]) et conclure.

1) Montrer que pour toutf ∈L¹(|µ|), on a : lim

n→+∞

Z 1 0

e_n(−t)f(t)dµ(t) = 0.

(Indication : raisonner d’abord avec des polynˆomes trigonom´etriques) 2) En d´eduire que lim

n→+∞

|µ|(n) = 0.c

(Indication : on utilisera la d´ecomposition polaire d’une mesure) 3) Conclure que lim

n→−∞µ(n) = 0.ˆ

Exercice 8.9 On suppose que dimE =∞. On veut montrer que S_E^w = ¯B_E (la boule unit´e de E ferm´ee en norme).

a) Montrer que pour toutx₀ ∈E aveckx₀k<1, on a pour toutε >0 et toutϕ₁, . . . , ϕ_n ∈E^∗, il existex∈E de norme 1 tel que pour tout 1≤i≤n, |ϕ_i(x)−ϕ_i(x₀)|< ε. (Indication, justifier que ^\

1≤i≤n

Kerϕ_i 6={0}) b) Conclure.

Exercice 8.10 Soit T un op´erateur de X dansY (des Banach). Montrer que le noyau deT^∗ est pr´efaiblement ferm´e.

Exercice 8.11 `<sup>1</sup> a la propri´et´e de Schur. Soit (x<sup>(n)</sup>)<sub>n</sub>une suite de`¹faiblement convergente vers 0. On veut montrer que (x⁽ⁿ⁾)_n converge fortement.

1) Montrer que pour tout entier p, lim

n→+∞x⁽ⁿ⁾_p = 0.

2) Soit B = ¯B_`^∞(0,1), que l’on munit de la topologie de la convergence simple, m´etrisable avec

∀x, y ∈B, d(x, y) =

∞

X

i=0

|xi−yi| 1 + 2ⁱ|x_i−y_i|. a) Montrer que (B, d) est compact.

Soient ε >0 et F_n={b∈B| ∀k ≥n, |^P_Nb_ix^(k)_i | ≤ε}, pour tout entier n.

b) Montrer qu’il existe n₀ tel que F_n0 est d’int´erieur non vide.

c)Montrer queF_n0 est convexe et sym´etrique par rapport `a 0 donc qu’il existeN₀ tel que pour tout b∈B v´erifiant b_n= 0 pour n ≤N₀, on ab ∈F_n0.

3) Conclure.

Exercice 8.12 Montrer que le dual de L¹²([0,1]) est r´eduit `a {0}. Pour cela, on montrera que tout f est dans l’enveloppe convexe de la boule (m´etrique) de centre 0 et de rayon ε, pour tout ε >0 : soita=d(f,0) o`ud(f, g) =

Z 1 0

q|f(t)−g(t)|dt. Montrer que f ∈conv(B(0,^√a₂)).

Exercice 8.13 Lemme de Helly. Soient E un Banach et f₁,· · ·, f_n ∈ E^∗; α₁,· · ·, α_n ∈ R. Montrer que

∀β₁,· · ·, β_n∈R,

n

X

i=1

β_iα_i≤

n

X

i=1

β_if_i⇔ ∀ε >0,∃x_ε∈B_E, ∀i∈ {1,· · ·, n}, |f_i(x_ε)−α_i|< ε.

Pour cela, pour⇒, consid´erer l’application ϕ(x) = (f_i(x))1≤i≤n o`ux∈E. Il s’agit de montrer queα appartient au convexe ferm´e ϕ(BE). Pour la r´eciproque, majorer |

n

X

i=1

βifi(xε)−

n

X

i=1

βiαi|.

Exercice 8.14 Soit m une mesure positiveσ-finie. Soit (f_n) une suite deL¹(m) telle |f_n| ≤g ∈ L¹(m). On suppose que (f_n) est une suite de Cauchy pour la topologieσ(L¹, L^∞), c’est `a dire que pour touth∈L^∞,^R f_nhdm converge vers une limite L(h).

1) Montrer queν(A) = L(1I_A) d´efinit une mesure absolument continue par rapport `a m.

2) En d´eduire que (f_n) est convergente pour la topologie faible de L¹(m), ie qu’il existe f ∈ L¹(m) tel que, pour tout h∈L^∞, ^R f_nhdm converge vers ^R f hdm.

Exercice 8.15 Soit ϕ|E^∗ → R lin´eaire. Montrer que Kerϕ est pr´efaiblement ferm´e ssi ϕ est pr´efaiblement continue.

Exercice 8.16 Th´eor`eme de M¨untz-Szasz. Soit (n_j)j≥1 une suite strictement croissante de r´eels strictement positifs. On note p_n la fonction p_n(t) = tⁿ sur [0,1] et X la fermeture dans C_C([0,1]) de l’espace vectoriel engendr´e par les fonctions p0, pn1,· · ·, pnj,· · ·.

On se propose de montrer que d’une part (1) si ^X

j≥1

1

n_j = ∞, alors X = C_C([0,1]) et d’autre part que (2) si ^X

j≥1

1

n_j <∞, alors pour tout n /∈(n_j)j≥1, non nul, la fonction p_n ∈/ X.

1) On se place sous les hypoth`eses de (1). a) On suppose qu’il existe µ une mesure de Borel complexe telle que

Z 1 0

p_nj(t)dµ(t) = 0 pour tout j ≥1. Soitf(z) =

Z 1 0

t^zdµ(t).

i) Expliquer pourquoi on peut choisir µ port´ee par ]0,1]. Montrer que f est holomorphe et born´ee sur le demi-plan ouvert complexe de droite.

ii) En consid´erant g(z) =f^1+z_1−z. D´eterminer les z´eros de g.

iii) On rappelle la formule de Jensen : soient 0 < r < 1 et h holomorphe sur le disque unit´e ouvert et born´ee avech(0) 6= 0; alors en notantz₁,· · ·, z_n(r) les z´eros de h dans le disque ferm´e de centre 0 et de rayon r, on a

|h(0)|

n(r)

Y

j=1

r

|zj| = exp 1 2π

Z 2π 0

log|(h(re^iv)|dv. Montrer que si g est non identiquement nulle alors ^X

j

(1− |α_j|) converge o`u les α_j sont les z´eros deg.

iv) Montrer que

Z 1 0

pk(t)dµ(t) = 0 pour tout entier k ≥1.

b) Conclure en utilisant Hahn-Banach.

2)a) Montrer qu’il suffit de construire une mesure µ sur [0,1] telle que

Z 1 0

t^zdµ(t) soit une fonction holomorphe sur le demi-plan Re(z) > −1 qui soit nulle sur 0 et les n_j mais sans autre z´ero.

Soit

f(z) = z (2 +z)³

∞

Y

j≥1

n_j −z 2 +n_j +z.

b) i) Montrer que le produit converge sur tout compact ne contenant pas les points −nj −2 et que f est m´eromorphe.

ii) Montrer que |f(z)| ≤1 si Re(z)≥ −1 et que la restriction de f `a Re(z) =−1 est dans L<sup>1</sup>. iii) Soit z tel Re(z) > −1. En utilisant la formule de Cauchy sur le chemin d’int´egration suivant le demi-cercle de centre−1 et de rayon R >1 +|z| de−1−iR `a−1 +iR en passant par

−1 +R, compl´et´e par un segment rectiligne; montrer que pour Re(z)>−1 f(z) = −1

2π

Z +∞

−∞

f(−1 +is)

−1 +is−zds.

iv) En d´eduire que

f(z) =

Z 1 0

t^z 1 2π

Z +∞

−∞

f(−1 +is)e^−islog(t)dsdt.

v)En posant g(s) =f(−1 +is), montrer que

Z +∞

−∞

f(−1 +is)e^−islog(t)dsest continue et born´ee sur ]0,1]. En posantdµ(t) = _2π¹ g(ˆ _2π¹ log(t))dt, conclure.