1 2n n X k=0 n k eix(2k−n) On remarque qu'il existe une symétrie, telle que sik=n−k, alors n k = n n−k par les propriétés du coecient binomial et2k−n= 2(n−k)−n=n−2k=−(2k−n)

Calculer, pour toutn dansN:

Z π

−π

cosⁿ(x) dx

1. Démontrer que la fonctionx7−→cosⁿ(x)est une combinaison linéaire des fonctionsx7−→cos(kx), k∈J0;nK 2. Calculer l'intégrale demandée.

1.

∀n∈N,cosⁿ(x) =

e^ix+ e^−ix 2

n

= 1 2ⁿ

n

X

k=0

n k

e^ixke^−ix(n−k)

= 1 2ⁿ

n

X

k=0

n k

e^ix(2k−n)

On remarque qu'il existe une symétrie, telle que sik=n−k, alors n

k

= n

n−k

par les propriétés du coecient binomial et2k−n= 2(n−k)−n=n−2k=−(2k−n). Cette symétrie est complète, si et seulement si,nest impair.

Pournimpair :

1 2ⁿ

n

X

k=0

n k

e^ix(2k−n)= 1 2ⁿ





 bⁿ₂c X

k=0

n k

e^ix(2k−n)+ bⁿ₂c X

k=0

n k

e^{−ix(2k−n)}







= 1 2ⁿ

n−1 2

X

k=0

n k

e^ix(2k−n)+ e^{−ix(2k−n)}

= 1

2ⁿ⁻¹

n−1 2

X

k=0

n k

cos((2k−n)x) Pournpair :

Sinest pair, alors le terme2k−ns'annule quandk=n/2. On pose n= 2p =⇒ k=p.

1 2ⁿ

n

X

k=0

n k

e^ix(2k−n)= 1 2ⁿ





 bⁿ⁻¹₂ c

X

k=0

n k

e^ix(2k−n)+ bⁿ⁻¹₂ c

X

k=0

n k

e^{−ix(2k−n)}





+

n n/2

e^ix(n−n) 2ⁿ

= 1 2ⁿ

n 2−1

X

k=0

n k

e^ix(2k−n)+ e^{−ix(2k−n)}

+

2p p

2^2p

= 1 2ⁿ⁻¹

n 2−1

X

k=0

n k

cos((2k−n)x) +

2p p

4^p 2. ∀n∈N,

Z π

−π

cos(kx) dx=

sin(kx) k

π

−π

= sin(kπ)−sin(−πk)

k = 0.

Pournimpair, on a donc :Z π

−π

cosⁿ(x) dx= Z π

−π

Xcos(kx) dx= 0.

Pournpair, on a donc : Z π

−π

cosⁿ(x) dx= Z π

−π

Xcos(kx) +

2p p

4^p dx=

" _2p

p

x 4^p

#π

−π

= 2π ^2p_p 4^p .

Pournimpair, Z π

−π

cosⁿ(x) dx= 0 Pournpair, Z π

−π

cosⁿ(x) dx= 2π ^2p_p

4^p , p= n 2