Calculer, pour toutn dansN:
Z π
−π
cosn(x) dx
1. Démontrer que la fonctionx7−→cosn(x)est une combinaison linéaire des fonctionsx7−→cos(kx), k∈J0;nK 2. Calculer l'intégrale demandée.
1.
∀n∈N,cosn(x) =
eix+ e−ix 2
n
= 1 2n
n
X
k=0
n k
eixke−ix(n−k)
= 1 2n
n
X
k=0
n k
eix(2k−n)
On remarque qu'il existe une symétrie, telle que sik=n−k, alors n
k
= n
n−k
par les propriétés du coecient binomial et2k−n= 2(n−k)−n=n−2k=−(2k−n). Cette symétrie est complète, si et seulement si,nest impair.
Pournimpair :
1 2n
n
X
k=0
n k
eix(2k−n)= 1 2n
bn2c X
k=0
n k
eix(2k−n)+ bn2c X
k=0
n k
e−ix(2k−n)
= 1 2n
n−1 2
X
k=0
n k
eix(2k−n)+ e−ix(2k−n)
= 1
2n−1
n−1 2
X
k=0
n k
cos((2k−n)x) Pournpair :
Sinest pair, alors le terme2k−ns'annule quandk=n/2. On pose n= 2p =⇒ k=p.
1 2n
n
X
k=0
n k
eix(2k−n)= 1 2n
bn−12 c
X
k=0
n k
eix(2k−n)+ bn−12 c
X
k=0
n k
e−ix(2k−n)
+
n n/2
eix(n−n) 2n
= 1 2n
n 2−1
X
k=0
n k
eix(2k−n)+ e−ix(2k−n)
+
2p p
22p
= 1 2n−1
n 2−1
X
k=0
n k
cos((2k−n)x) +
2p p
4p 2. ∀n∈N,
Z π
−π
cos(kx) dx=
sin(kx) k
π
−π
= sin(kπ)−sin(−πk)
k = 0.
Pournimpair, on a donc :Z π
−π
cosn(x) dx= Z π
−π
Xcos(kx) dx= 0.
Pournpair, on a donc : Z π
−π
cosn(x) dx= Z π
−π
Xcos(kx) +
2p p
4p dx=
" 2p
p
x 4p
#π
−π
= 2π 2pp 4p .
Pournimpair, Z π
−π
cosn(x) dx= 0 Pournpair, Z π
−π
cosn(x) dx= 2π 2pp
4p , p= n 2
