ECE 2 MATHEMATIQUES DS 1 - durée : 4h
10 septembre 2019
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
On considère les matricesA= 1 1 1 1
!
etM =
q p p q
, avec p∈]0; 1[ et q = 1−p.
1. CalculerA2.
2. Démontrer par récurrence que ∀k∈N∗, Ak = 2k−1A.
3. ExprimerM en fonction deAetI =I2.
4. Montrer, en utilisant la formule du binôme, que ∀n∈N, Mn= q−pn
I+1
2 1−(q−p)n A.
5. ExpliciterMn. Exercice II.
Soit la fonctionfdéfinie par f(x) = ln(x) x2 . 1. DéterminerDf.
2. Calculerf(1).
3. Calculer les limites def aux bornes deDf. 4. a. Justifier quefest de classeC1surR∗+.
b. Vérifier que ∀x >0, f0(x) = 1−2 ln(x) x3 . c. En déduire les variations def.
5. Déterminerf00, et étudier la convexité def.
6. Recopier et compléter le programme suivant pour qu’il trace l’allure du graphe defsur]0; 5]: x=0.1 :0.01 :5
y=...
plot(...)
Exercice III.
Soit, pourn∈N, In= Z 1
0
tne−tdt.
1. Pourn∈N, justifier l’existence deIn. 2. CalculerI0.
3. a. Montrer que ∀n∈N, In>0.
b. Etudier les variations de la suite(In)n∈N.
c. En déduire que la suite(In)n∈Nest convergente.
4. a. Montrer que ∀n∈N, In6 1 n+ 1. b. En déduire la limite de(In)n∈N.
5. a. En effectuant une intégration par parties, vérifier que In+1= (n+ 1)In−e−1. b. En déduire alors que ∀n∈N, In=n! 1−e−1
n
X
k=0
1 k!
! . 6. Créer un programme Scilab calculantIn.
ECE 2 1/3 Lycée François Couperin
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10 septembre 2019
Exercice IV.
Soit n∈N, n>2. Soit p∈]0; 1[ et q= 1−p.
On dispose d’une pièce donnantPileavec la probabilitépetFaceavec la probabilitéq.
On lance cette pièce et on arrête les lancers dans dès que l’une des deux situations suivantes se produit :
— dès que l’on a obtenuPile
— dès que l’on a obtenunfoisFace
Pourk∈N∗, on définit les évènements élémentaires Pk={on obtientPileaukelancer}, et Fk=Pk. On noteTnle nombre de lancers effectués,Xnle nombre dePilesobtenus et enfinYnle nombre deFaces obtenus.
On admet queTn,XnetYnsont des v.a. toutes les trois définies sur un espace probabilisé(Ω;A;P).
1. Loi deTn.
a. Calculer P(Tn= 1).
b. Pourk∈[[2;n−1]], déterminer la probabilité P(Tn=k).
c. Calculer P(Tn=n).
d. Vérifier que
n
X
k=1
P(Tn=k) = 1.
e. Établir queTnpossède une espérance et vérifier que E(Tn) = 1−qn 1−q . 2. Loi deXn.
a. Déterminer la loi deXn. b. Vérifier que E(Xn) = 1−qn. 3. Loi deYn.
a. Pourk∈[[0;n−1]], déterminer la probabilité P(Yn=k).
b. Calculer P(Yn=n).
c. Écrire une égalité liant les variables aléatoiresTn,XnetYn, puis en déduireE(Yn).
4. Pourk∈N∗fixé, calculer lim
n→+∞P(Tn=k).
5. Recopier et compléter les trois instructions manquantes pour que le programme suivant simule l’expé- rience aléatoire décrite ci-dessus, et pour qu’il affiche les valeurs prises par les v.a.Tn,XnetYn:
n=input(’entrer la valeur de l’entier naturel n’) p=input(’entrer la valeur du réel p’)
t = 0 , x = 0 , y = 0 while (x = 0) & (y<n)
if rand()>p then ...
else
...
end end ...
disp(t,x,y)
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10 septembre 2019
Exercice V.
On rappelle qu’une fonction numérique définie sur un intervalle J deR est convexe surJ si elle vérifie la propriété suivante : ∀(t1, t2)∈J2, ∀λ∈[0,1], f(λt1+ (1−λ)t2)6λf(t1) + (1−λ)f(t2).
On rappelle en outre qu’une fonctionfest concave si−f est convexe.
On désigne parEl’ensemble des fonctionsf définies sur[0,1]à valeurs dans[0,1], continues et convexes sur [0,1], et telles quef(0) = 0etf(1) = 1.
Pour toute applicationf deE, on notegl’application associée àf, définie sur[0,1]parg(t) =t−f(t).
On définit l’indice de Ginidefpar I(f) = 2 Z 1
0
g(t)dt= 2 Z 1
0
(t−f(t))dt.
L’indice de Gini donne une indication sur la concentration des richesses d’un pays si l’on suppose que la fonctionf rend compte de cette concentration. Par exemple,f(0.3) = 0.09s’interprète par le fait que dans la population classée par ordre de richesse croissante, les premiers30%de la population possèdent9%de la richesse totale du pays. Plus l’indiceI(f)est grand, plus la répartition des richesses est inégalitaire.
1. a. Donnez une interprétation géométrique de la propriété de convexité énoncée au début du problème.
b. Lorsquef est une fonction de classeC1sur[0,1], rappeler la caractérisation de la convexité def sur [0,1]à l’aide de la dérivéef0.
2. a. Justifier quegest concave sur[0,1].
b. Montrer queI(f) = 1−2 Z 1
0
f(t)dt.
c. Représenter dans un même repère orthonormé les fonctionsfett7−→tet donner une interprétation géométrique deI(f).
3. Un premier exemple.
Soitf définie sur[0,1]par f(t) =t2. a. Montrer quef est un élément deE.
b. CalculerI(f).
4. Propriétés de l’indice de Gini.
a. En utilisant la propriété de convexité énoncée au début du problème, montrer que
∀t∈[0; 1], f(t)6t.
b. Pourf élément deE, établir alors queI(f)>0.
c. Montrer queI(f) = 0si et seulement sif(t) =tpour toutt∈[0,1].
d. Montrer que pour toutf élément deE,I(f)<1.
e. Pour tout entiern >0, on définitfnsur[0,1]parfn(t) =tn. i. Pour tout entiernstrictement positif, calculerI(fn).
ii. En déduire que pour tout réel A vérifiant 0 6 A < 1, il existe f appartenant àE telle que I(f)> A.
5. Minoration de l’indice de Gini
a. Soitf élément deE. Montrer qu’il existet0 dans]0,1[tel queg(t0) = max
t∈[0,1]g(t).
b. Montrer que pour touttde[0, t0],g(t)>g(t0).t t0. c. Montrer que pour touttde[t0,1],g(t)>g(t0).t−1
t0−1. d. En déduire queI(f)>g(t0).
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