Devoir maison n ◦ 01

Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP

Année 2019-2020 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 01

À rendre le jeudi 12 septembre

Durée : 3 heures – documents interdits – calculatrices interdites

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier :

les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

— Exercice 1 —

On désigne parnun entier naturel supérieur ou égal à2. On notepun réel de]0,1[et on poseq= 1−p.

On dispose d’une pièce donnant « Pile » avec la probabilitépet « Face » avec la probabilitéq.

On lance cette pièce et on arrête les lancers dans l’une des deux situations suivantes :

• Soit si l’on a obtenu « Pile ».

• Soit si l’on a obtenunfois « Face ».

Pour tout entier naturelk non nul, on notePk (respectivement Fk) l’événement « on obtient « Pile »(respectivement

« Face ») aukième lancer ». On noteTn le nombre de lancers effectués,Xn le nombre de « Pile » obtenus et enfinYn

le nombre de « Face » obtenus.

On admet queTn,XnetYnsont des variables aléatoires toutes les trois définies sur un espace probabilisé(Ω;A;P) que l’on ne cherchera pas à préciser.

1. Loi deTn.

(a) Pour toutkde[[1;n−1]], déterminer, en distinguant le cask= 1, la probabilitéP(Tn=k).

(b) DéterminerP(T_n=n).

(c) Vérifier que

n

X

k=1

P(T_n =k) = 1.

(d) Établir queTn possède une espérance et vérifier queE(Tn) =1−qⁿ 1−q . 2. Loi deXn.

(a) Donner la loi deXn.

(b) Vérifier queE(X_n) = 1−qⁿ. 3. Loi deY_n.

(a) Déterminer, pour toutkde[[0, n−1]], la probabilité P(Y_n=k).

(b) DéterminerP(Yn=n).

(c) Écrire une égalité liant les variables aléatoiresTn,Xn etYn, puis en déduireE(Yn).

4. Montrer que la suite(Tn)n∈N^∗ converge en loi vers une variable aléatoireT dont on donnera la loi, en d’autres termes identifier une variable aléatoireT telle queP(T=k) = lim

n→+∞P(T_n =k).

5. Simulation informatique.

Compléter les trois instructions manquantes pour que le programme suivant simule l’expérience aléatoire décrite ci-dessus et pour qu’il affiche, dans cet ordre, les valeurs prises par les variables aléatoires Tn, Xn et Yn, à l’exécution de l’instructionexperience(p,n).

Ajoutez autant de commentaires que possible sur le programme, afin de prouver qu’on a compris son utilité !

import random

def experience(p,n):

t = 0 x = 0 y = 0

while x==0 and t<n:

______

r = random.uniform(0,1) if r>p:

______

else:

______

return t, x, y

print(experience(0.2,20))

— Exercice 2 —

Pour toutn∈N, on définitW_n = Z π/2

0

(cost)ⁿdt.

1. CalculerW₀ etW₁.

2. (a) Montrer que la suite(Wn)n est décroissante.

(b) Montrer, pour tout entierntel quen≥0 : Wn>0.

3. (a) Montrer, pour tout entierntel quen≥0 : (n+ 2)Wn+2= (n+ 1)Wn. (b) En déduire, pour tout entierntel que n≥0: (n+ 1)W_n+1W_n=W₁W₀. 4. (a) Montrer, pour tout entierntel quen≥0 : Wn≥Wn+1 ≥n+ 1

n+ 2Wn. (b) En déduire : Wn+1

n→+∞∼ Wn, puis : Wn n→+∞∼

rπ 2n. 5. Montrer, pour tout entierntel que n≥0 : W2n= (2n)!

2²ⁿ(n!)² π 2. On note, pour tout entierntel quen≥1: An= 1

n!nⁿe⁻ⁿ√ n.

On note, pour tout entierntel quen≥2: a_n =−1−

n−1 2

ln

1− 1

n

. 6. Montrer que la sérieX

n≥2

an converge.

7. Montrer, pour tout entierntel que n≥2 : an= ln(An)−ln(An−1).

8. En déduire que la suite(An)_n∈N^∗ converge et que sa limite`est strictement positive.

9. (a) Justifier : n!^n→+∞∼ 1

`nⁿe⁻ⁿ√ n.

(b) En utilisant l’expression deW2n à l’aide de factorielles, en déduire la valeur de` et l’équivalent suivant : n! ^n→+∞∼ nⁿe⁻ⁿ√

2πn.

Bon courage !

Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP

Année 2019-2020 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 01 – éléments de correction

— Exercice 1 —

d’après EDHEC Mathématiques Option économique 2012 1. Loi deTn.

(a) Soitk∈[[1, n−1]].

• Si k= 1, alors l’événement[T_n= 1] signifie que l’on n’a fait qu’un seul lancer, donc(T_n= 1) =P₁.

• Pour k≥2, l’événement[Tn=k]signifie que l’on a faitklancers, donc que l’on a eu le premier pile au k^imeet donc des face avant. Ainsi

[Tn=k] = F1∩ · · · ∩Pk donc P(Tn=k) = P(F1)· · ·PF1∩···Fk−1(Pk),

le conditionnement indiquant que les lancers se continuent, puisque l’on n’a pas « Pile » et pas encore effectué nlancers.

Les tirages se produisant de façon indépendant et dans les mêmes conditions : P(Tn = k) = q^k−1p, formule encore valable pour k= 1.

Conclusion : P(Tn=k) =q^k−1ppour k∈[[1, n−1]] .

(b) L’événement [T_n = n] signifie que l’on a effectué n lancers, c’est-à-dire que l’on n’a pas eu de « Pile » jusqu’au précédent. Les lancers se terminant de toute façon au n^ime si l’on n’a que des « Face ». Par conséquent

[T_n =n] = F₁∩ · · · ∩F_n−1.

Les tirages se produisant de façon indépendant et dans les mêmes conditions : P(Tn =n) =qⁿ⁻¹ . (c) Dans la somme, il faut isoler la valeurk=nqui n’a pas la même formule que les autres :

n

X

k=1

P(Tn=k) =

n−1

X

k=1

q^k−1p+qⁿ⁻¹ = p

n−2

X

k=0

q^k+qⁿ⁻¹ = p1−qⁿ⁻¹

1−q +qⁿ⁻¹ = p1−qⁿ⁻¹

p +qⁿ⁻¹ = 1. (d) La variable aléatoireT_n étant finie, elle a une espérance et :

E(T_n) =

n

X

k=1

kP(T_n=k) =

n−1

X

k=1

kq^k−1p+nqⁿ⁻¹.

Montrons la formule par récurrence.

Pourn= 2on aE(T2) =p+ 2qet 1−q²

1−q = 1 +q=p+q+q = p+ 2q = E(T₂), d’où l’initialisation. Soitn∈Ntel queE(Tn) =1−qⁿ

1−q . Alors : E(T_n+1) =

n

X

k=1

kq^k−1p+ (n+ 1)qⁿ =

n−1

X

k=1

kq^k−1p+nqⁿ⁻¹p+ (n+ 1)qⁿ

=

n−1

X

k=1

kq^k−1p+nqⁿ⁻¹(1−q) + (n+ 1)qⁿ = E(Tn) +qⁿ = 1−qⁿ

1−q +qⁿ = 1−qⁿ⁺¹ 1−q .

Conclusion : pour toutn≥2,E(Tn) = 1−qⁿ 1−q .

2. Loi deX_n.

Traitons (a) et (b) à la fois. Lors des lancer, on a ou bien un Pile et on s’arrête, ou biennFace. DoncXn(Ω) = {0,1} avec[X_n= 0] =«nFace » etP(X_n= 0) =qⁿ.

Il s’ensuit que X_n suit une loi de Bernoulli de paramètre 1 −qⁿ : X_n,→ B(1−qⁿ). D’après le cours : E(Xn) = 1−qⁿ .

3. Loi deYn.

(a) Pour toutk∈[[0, n−1]], l’événement[Yn=k]signifie que l’on a eukFace (donc pasn) et donc ensuite un Pile. Ainsi[Yn=k] =F1∩ · · ·Fk∩Pk+1 (à nouveau probabilités composées, les lancers étant indépendants et effectués dans les mêmes conditions) puis P(Yn=k) =q^kppour toutk∈[[0, n−1]].

(b) L’événement[Y_n=n]signifie que l’on a eunFace doncP(Y_n =n) =qⁿ (les lancers étant indépendants et effectués dans les mêmes conditions).

(c) Le nombre total de lancers est le nombre total de Pile et de Face obtenus. On en déduit que Tn =Xn+Yn . Par conséquentYn =Tn−Xn et

E(Yn) = E(Tn)−E(Xn) = 1−qⁿ

1−q −(1−qⁿ) = (1−qⁿ) 1

1−q−1

= (1−qⁿ) q 1−q . 4. Fixonsk∈N^∗. Quandntend vers+∞, on a P(Tn=k) =q^k−1p^n→+∞−→ q^k−1p.

On en déduit que Tn converge en loi vers une loi géométrique de paramètrep. 5. Voici le programmepythoncomplété :

import random

def experience(p,n):

t = 0 ] initialisation du nombre de tirages x = 0 ] initialisation du nombre de Pile y = 0 ] initialisation du nombre de Face

while x==0 and t<n: ] on continue tant que pas Pile et moins de n tirages t = t + 1

r = random.uniform(0,1) ] on tire à pile ou face if r>p: ] l’événement [r>p] est de probabilité 1-p

y = y + 1 ] s’il se produit c’est qu’on a Face else: ] sinon c’est qu’on a Pile

x = 1 return t, x, y

print(experience(0.2,20))

— Exercice 2 —

d’après EMLyon Business School 2012, première épreuve (option scientifique), problème II partie I

Pour toutn∈N, on définitWn = Z ^π₂

0

(cost)ⁿdt.

1.

W0 = Z ^π₂

0

1dt = π

2 , W1 = Z ^π₂

0

costdt = [sint]

π 2

0 = 1 . 2. (a) ∀t∈[0,^π₂], cost∈[0,1]donc

∀n∈N, ∀t∈[0,π

2], (cost)ⁿ⁺¹≤(cost)ⁿ.

Par croissance de l’intégrale sur un segment, on a alors :

∀n∈N, Wn+1≤Wn. La suite(Wn)_n∈Nest donc décroissante.

(b) La fonction cosinus est continue et strictement positive sur[0,^π₂[, on en déduit que∀n∈N^∗,Wn >0. Or W₀= π

2 >0, donc ∀n∈N,W_n >0 .

3. (a) Soitn∈N. Les fonctionsu:t7→(cost)ⁿ⁺¹ etv:t7→sintsont de classeC¹sur[0,^π₂], alors par intégration par parties :

W_n+2 = Z ^π₂

0

v⁰(t)u(t)dt = [u(t)v(t)]₀^π2 − Z ^π₂

0

v(t)u⁰(t)dt.

Or v(0) = 0 =u(^π₂)etu⁰(t) =−(n+ 1) sint(cost)ⁿ, donc Wn+2 = (n+ 1)

Z ^π₂

0

sin²(t)(cost)ⁿdt = (n+ 1) Z ^π₂

0

(1−cos²t) cosⁿtdt.

Par linéarité de l’intégrale sur un segment :

Wn+2 = (n+ 1)Wn−(n+ 1)Wn+2

et finalement (n+ 2)Wn+2= (n+ 1)Wn . (b) On en déduit que :

∀n∈N, (n+ 2)Wn+1Wn+2= (n+ 1)WnWn+1.

La suite(Pn)n∈N avec Pn = (n+ 1)WnWn+1 vérifie donc ∀n ∈N, Pn+1 =Pn. Cette suite constante est donc égale à son premier termeP₀=W₁W₀. Ainsi :

∀n∈N, (n+ 1)WnWn+1 = W0W1. 4. (a) La suite(Wn)n est décroisssante, d’où

∀n∈N, Wn≥Wn+1≥Wn+2. Or W_n+2= n+ 1

n+ 2W_n, donc

∀n∈N, W_n≥W_n+1≥ n+ 1 n+ 2W_n . (b) PuisqueWn>0pourn∈N, il vient :

∀n∈N, 1≥W_n+1 Wn

≥n+ 1 n+ 2. Or lim

n→+∞

n+ 1

n+ 2 = 1, donc par théorème d’encadrement lim

n→+∞

Wn+1

W_n = 1ce qui signifie que Wn+1

n→+∞∼ Wn . On en déduit que : WnWn+1∼W_n². Or WnWn+1 = W0W1

n+ 1 = π

2(n+ 1), donc W_n² ∼ π

2(n+ 1) ∼ π 2n. Par continuité de la fonctionx7→√

xsurR+et sachant que √

1 = 1, on obtient finalement :

Wn n→+∞∼

rπ 2n .

5. Montrons par récurrence sur nque :∀n∈N,W2n= (2n)!

2²ⁿ(n!)² π

2. Notons(Pn)la propriétéW2n = (2n)!

2²ⁿ(n!)² π 2. La propriété(P₀)est vraie puisque0! = 1etW₀= π

2.

On suppose que pournfixé,(P_n)est vraie. On aura alors, par le résultat de la question 3.(a) : W2n+2 = 2n+ 1

2n+ 2W2n = (2n+ 2)(2n+ 1) (2(n+ 1))²

(2n)!

2²ⁿ(n!)² π

2 = (2n+ 2)!

2².2²ⁿ(n+ 1)²(n!)² π

2 = (2n+ 2)!

2²ⁿ⁺²(n+ 1)!² π 2. Et donc la propriété(P_n+1)est encore vraie. Ce qui termine la récurrence.

Finalement ∀n∈N, W2n= (2n)!

2²ⁿ(n!)² π 2 .

6. Par développement limité à l’ordre 3, on sait queln(1 +x) =x−x² 2 +x³

3 +o(x³)au voisinage de0, on en déduit que pournau voisinage de+∞:

a_n = −1−

n−1 2 −1

n− 1 2n² − 1

3n³ +o( 1 n³

= −1 + 1 + 1 2n− 1

2n+ 1 3n² − 1

4n² +o( 1

n²) ∼ 1 12n² . Pour n suffisamment grand a_n est donc positif et par théorème de comparaison de séries à termes positifs, et puisque la série de Riemann P 1

n² converge, on obtient que la sérieX

n≥2

an converge . 7. D’après son expression, il est clair queAn>0pourn≥1 et

ln(A_n) = −ln(n!) +nlnn−nln(e) +1

2lnn = −ln(n!) + (n+1

2) lnn−n.

On aura donc :

ln(A_n)−ln(A_n−1) = −ln(n!) + (n+1

2) lnn−n+ ln((n−1)!)−(n−1

2) ln(n−1) + (n−1)

= −1−nln n−1

n

+ ln

(n−1)!

n!

+1

2ln(n) +1

2ln(n−1))

= −1−nln

1−1 n

−ln(n) +1

2ln(n) +1

2ln(n−1))

= −1−nln

1−1 n

+1

2ln n−1

n

= −1−(n−1 2) ln

1−1

n

et donc an = ln(An)−ln(A_n−1).

8. On sait d’après le cours que la sériePln(An)−ln(A_n−1)est de même nature que la suite(ln(An))n. La série Panconverge etan= ln(An)−ln(An−1), d’où la suite(lnAn)nconverge. Notonsαla limite de la suite(lnAn)n. Par continuité de la fonctionexpsurR, on obtient la convergence de la suite(An)n vers le réel`=e^α>0. 9. (a) Puisque lim

n→+∞An =` >0, on a : An

n→+∞−→ `et par passage à l’inverse n!

nⁿe⁻ⁿ√ n ∼ 1

` ou encore : n!∼ 1

`nⁿe⁻ⁿ√ n .

(b) On a vu queW_2n ∼ rπ

4n et W_2n= (2n)!

2²ⁿ(n!)² π

2, on aura donc : rπ

4n ∼ 1

`(2n)²ⁿe⁻²ⁿ√ 2n· 1

2²ⁿ · π 2 · l²

n²ⁿe⁻²ⁿn. Par conséquent

rπ 4n ∼π

2 ·`· r2

n et après simplifications : ` = 1

√2π . Finalement : n!∼nⁿe⁻ⁿ√

2πnpournau voisinage de+∞.