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Correction Devoir Maison 01
1. (a) f est d´efinie pour toutx∈Rtel que 2x−16= 0donc l’ensemble de d´efinition de f estDf =R\{12}. (b) f est d´erivable sur son ensemble de d´efinition et :
∀x∈ Df, f0(x) =− 1
(2x−1)2 <0
On en d´eduit quef est strictement d´ecroissante sur]−∞,12[et sur]12,+∞[. La courbe repr´esentative def est la suivante :
C
#»u
#»v
1 2. Apr`es d´eveloppement, on obtient :
Z = (1−ax+by−x+ax2−2bxy−ay2) + i(−ay−bx+ 2axy+bx2−y−by2) On en d´eduit que :
ReZ = 1−ax+by−x+ax2−2bxy−ay2 et ImZ=−ay−bx+ 2axy+bx2−y−by2
3. (a) En rempla¸cantmpar0, on obtient queZ = 1−x−iy qui est un r´eel si et seulement siy= 0.
(b) De mˆeme,Z est un imaginaire pur si et seulement six= 1.
(c) On obtient la premi`ere figure en page suivante : ce qui correspond `aZ∈Rest la droited1d’´equation y= 0 (en gris) et ce qui correspond `aZ∈iRest la droited2 d’´equationx= 1(en gris pointill´e).
4. (a) On remplaceapar0et bpar1et on en d´eduit qeZ est un r´eel si et seulement si :
ImZ= 0⇔ −x+x2−y−y2= 0⇔x2−y2−(x+y) = 0⇔(x−y)(x+y)−(x+y) = 0⇔(x+y)(x−y−1) = 0 (b) Z est un imaginaire pur si et seulement si :
ReZ= 0⇔1 +y−x−2xy= 0⇔1−x= 2xy−y⇔1−x=y(2x−1)
⇔y = 1−x
2x−1 en remarquant quex6=1
2 car (en rempla¸cant) 1
2 6= 0. ⇔y=f(x)
St´ephanePasserat– TSI1 – Lyc´ee LouisVincent
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d1
d2
#»u
#»v
1
(c) Comme(x+y)(x−y−1) = 0´equivaut `ax+y = 0oux−y−1 = 0, l’ensemble des points images dez tels que Z ∈Rest la r´eunion des deux droitesd3 etd4 (trac´ees en gris) d’´equationsy=−xet y=x−1. De plus l’ensemble des points images deztels queZ∈iRest la courbeC(gris pointill´e) :
d3
C
#»u
#»v
d4
1
5. (a) On remplaceapar1et bpar0et on en d´eduit qeZ est un r´eel si et seulement si : ImZ = 0⇔ −y+ 2xy−y= 0⇔2xy−2y= 0⇔y(x−1) = 0 (b) Z est un imaginaire pur si et seulement si :
ReZ= 0⇔1−x−x+x2−y2= 0⇔x2−2x+ 1−y2= 0⇔(x−1)2−y2= 0
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(c) Commey(x−1) = 0´equivaut `ay = 0 oux= 1, l’ensemble des points images de z tels queZ ∈R est la r´eunion des deux droites d1 et d2 (trac´ees en gris). Comme (x−1)2−y2 = 0 ´equivaut `a (x−1−y)(x−1 +y) = 0soity =x−1ouy=−x+ 1, l’ensemble des points images de ztels que Z ∈iRest la r´eunion des droitesd4 etd5 d’´equationy=−x+ 1 (gris pointill´e) :
d5
#»u
#»v
d4
d1
d2
1
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