Correction Devoir maison n

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EXERCICE 1 :

Soit f la fonction définie sur [0; + ∞ [ par :

f ( x ) = 2 e ^x + 1

1

1 O

C ^f

bcbc

bc

M

P Q

L’idée qui vient à la lecture de la consigne est la mise en place d’une fonction A définie sur [0; + ∞ [ dont on va étudier les variations

A (x) = OP × M P = x × f (x) = 2x e ^x + 1

A est une fonction dérivable sur [0; + ∞ [ (quotient de fonctions dérivables sur l’intervalle dont le numérateur ne s’annule pas de la forme ^u _v de dérivée ^u

^v−uv _v

)

∀ x > 0 , A ^′ ( x ) = 2(e ^x + 1) − 2xe ^x

(e ^x + 1) ² = 2(e ^x − xe ^x + 1)

(e ^x + 1) ² = 2g(x)

(e ^x + 1) ² avec g définie sur [0; + ∞ [ par g(x) = e ^x − xe ^x + 1

Il nous faut le signe de g ( x ) pour déterminer celui de A ^′ ( x ) : l’idée d’étudier la fonction g comme fonction auxiliaire semble pertinente :

∀ x > 0, g ^′ (x) = − xe ^x , g ^′ (x) < 0 sur ]0; + ∞ [ donc g est strictement décroissante sur [0; + ∞ [ avec g (0) = 2 et un calcul de limite permet d’obtenir que lim

x →+∞ g ( x ) = −∞ .

Nous sommes dans les conditions d’application du théorème de la bijection (g est continue et strictement décroissante) ; tout nombre de l’intervalle ] − ∞ ; 2] admet un antécédent unique. En par- ticulier, 0 admet un unique antécédent α strictement positif tel que g(α) = 0.

Compte-tenu des variations de g :

• g(x) > 0 pour x ∈ [0; α[ et par suite, A ^′ (x) > 0 donc A est strictement croissante sur [0; α] ;

• g(x) < 0 pour x ∈ ]α; + ∞ [ et A ^′ (x) < 0 donc A est strictement décroissante sur [α; + ∞ [ ;

• g ( α ) = 0 donc A ^′ ( α ) = 0.

La fonction A admet un maximum en α qui vaut A (α), donc l’aire de OP M Q est maximale pour x = α et seulement pour cette valeur.

Par balayage avec la calculatrice, une valeur approchée de α à 10 ^{− 2} près est : α ≈ 1, 28

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• • EXERCICE 2 :

On considère l’équation (E) : z ² − 2z √

3 + 4 = 0.

1. Les solutions complexes et conjuguées sont √

3 + i et √ 3 − i.

2. On considère la suite ( z _n ) de nombres complexes définie par



 

 

z ₀ = 2 z _n+1 =

√ 3 2 − i

2

!

z _n (a) z ₁ = ^√ ₂ ³ − ₂ ⁱ z ₀ = ^√ ₂ ³ − ₂ ⁱ × 2 = √

3 − i est bien solution de ( E ).

(b) Algorithme en langage naturel :

z ← 2 k ← 1

Tant que k inférieur à 49 z ← ( ^√ ₂ ³ − ⁱ ₂ ) × z

Si la partie réelle de z est nulle (z est alors imaginaire pur)

afficher k FinSi

k ← k + 1 FinTantque

(c) Posons a = ^√ ₂ ³ − ₂ ⁱ et un calcul « rapide » permet d’obtenir que a ³ = − i.

Par suite, z ₃ = a ³ × z ₀ = − i × 2 = − 2i et a ⁶ = (a ³ ) ² = ( − i) ² = − 1.

Démontrons, par récurrence, que pour tout entier naturel k, z _6k+3 est imaginaire pur : c’est la propriété P ( k ).

• Initialisation : k = 0 ; z _{6 × 0+3} = z ₃ = a ³ z ₀ = − i × 2 = − 2i et z ₃ est imaginaire pur donc P (0) est vraie.

• Hérédité : Démontrons que pour tout k ∈ N , P (k) vraie implique P (k + 1) vraie.

P (k) est vraie ⇔ z _6k+3 = ib (b ∈ R )

⇔ a ⁶ z _6k+3 = a ⁶ × ib

⇔ z _6k+9 = − ib

⇔ z _6(k+1)+3 = − ib donc z _6(k+1)+3 est imaginaire pur et donc P (k + 1) est vraie.

• Conclusion : Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout entier naturel k ∈ N ,

z _6k+3 est imaginaire pur.

En conséquence de quoi, l’algorithme devrait afficher les entiers 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39 et 45.

• •

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EXERCICE 3 :

Posons : f ( x ) = − e ^{− x − 1}

1

1 O

bc bcbc

bcbc bc

A

C ^f C ^exp

B

a b

e ^a

− e ^−b−1

Considérons le point A de C ^exp d’abscisse a et le point B de C ^f d’abscisse b . ( a et b étant deux nombres réels quelconques)

Les fonctions exp et f étant dérivables sur R , les courbes de ces deux fonctions admettent en tout point des tangentes. Déterminions les équations de ces tangentes aux points A et B :

(résultats donnés et laissés à la sagacité des lecteurs de cette correction)

• en A à C ^exp : y = e ^a x + e ^a (1 − a) ;

• en B à C f : y = e ^{− b −1} x + ( − b − 1)e ^{− b −1} .

Deux droites sont confondues si et seulement si elles admettent la même équation réduite c’est à dire si et seulement si il existe a et b tels que :

( e ^a = e ^{− b −1}

e ^a (1 − a) = ( − b − 1)e ^{− b − 1} ⇔

( a = − b − 1

1 − a = − b − 1 ⇔

( a = 0 , 5 b = − 1, 5

Pour ces deux valeurs de a et de b , les deux équations réduites sont identiques donc les deux tangentes sont confondues et cette droite est la seule tangente commune aux deux courbes. Son équation est

y = e ^0.5 x + ³ ₂ e ^0.5

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