Lycée Louis-Le-Grand,Paris MPSI 4– Mathématiques A. Troesch
Problème n
o7 : Fonctions dérivables par morceaux
Problème 1–
Notations et rappels
• On dit qu’une fonctionf définie sur[0,1]est continue par morceaux s’il existe une subdivision de[0,1], donnée par des réels :
0 =x1< x2<· · ·< xN = 1,
telle que f soit continue sur chaque intervalle ]xi, xi+1[, i ∈ [[1, N −1]], et telle que f admette en tout xi, i∈[[1, N]]des limites à droites finies si i6=N, et des limites à gauches finies si i6= 1. On pourra remarquer que la valeur def en un desxi peut être différente à la fois de la limite à droite et de la limite à gauche en ce point.
• On appellera dans ce cas subdivision subordonnée à f la partition {0 = x1 < x2 < · · · < xN = 1} décrite ci-dessus. Il s’agit formellement d’un sous-ensemble de [0,1] constitué de N valeurs numérotés dans l’ordre croissant.
• Dans tout le problème, on notera C l’ensemble des fonctions réelles sur [0,1] et continues par morceaux sur [0,1].
• On dit qu’une fonction f est de classeC1 par morceaux sur[0,1]s’il existe une subdivision de[0,1]:0 =x1<
x2 < · · · < xN = 1, telle que f soit continûment dérivable (c’est-à-dire de classe C1) sur tous les intervalles ]xi, xi+1[,i∈[[1, N−1]], et dérivable à droite en toutxi, i∈[[1, N−1]] et à gauche en toutxi,i∈[[2, N]]; de plusf′ doit admettre en toutxi une limite à droite et une limite à gauche finies.
• Nous appelerons également dans ce cas subdivision subordonnée àf la subdivision{0 =x1< x2<· · ·< xN = 1.}
• On noteraDl’ensemble des fonctions de classe C1 par morceaux sur [0,1].
• On noteD0={u∈ D, u(0) =u(1) = 0}.
• On admet que toute fonction continue par morceaux sur[0,1]est intégrable sur[0,1].
• On admet que sif etg sont deux fonctions continues par morceaux sur[0,1], qui coïncident sur[0,1], sauf en un nombre fini de points, alors
Z 1 0
f(x) dx= Z 1
0
g(x) dx
• On admet enfin que si f est une fonction positive de C telle que Z 1
0
f(x) dx = 0, alors f est nulle, sauf éventuellement en un nombre fini de points.
• Évidemment, tout cela peut se généraliser à des fonctions continues ou de classeC1 par morceaux sur tout autre segment que[0,1].
Partie I – Préliminaires
Cette partie a essentiellement pour but de vous familiariser avec les notions introduites.
1. Soit f ∈ C, et S = {0 = x1 < x2 < · · · < xN = 1} une subdivision subordonnée à f. Montrer que tout sous-ensemble finiS′ de[0,1]tel que S⊂S′ définit une subdivision subordonnée àf
2. (a) Montrer que toute fonction continue sur [0,1]est continue par morceaux.
(b) Donner un exemple de fonction croissante sur [0,1]et non continue par morceaux.
(c) Montrer que toute fonction de Dest continue sur [0,1].
3. Parmi les fonctions suivantes, définies sur[0,1], lesquelles sont continues par morceaux, lesquelles sont de classe C1 par morceaux. Justifiez vos réponses. On représentera sommairement le graphe de ces fonctions, sans en faire une étude poussée.
f1:x7→
1 six6= 0et 1x∈N
0 sinon. f2:x7→
1
x six∈]0,12[
2
x six∈[12,1]
0 six= 0
f3:x7→
2x2−x six∈[0,12[ ln x+12
six∈[12,1]
f4:x7→Arcsin
1−
x−1 2
f5:x7→√ x· ⌊4x⌋
Partie II – Dérivée d’une fonction de classeC1 par morceaux
1. Soit f ∈ D, {0 =x1 < x2· · · < xN = 1} une subdivision subordonnée à f, et g0 la fonction définie sur[0,1]
par :
g0(x) =
f′(x) six6∈ {x1, . . . , xN} fd′(x) six=xi, i∈[[1, N−1]]
fg′(x) six=xN. (a) Montrer queg0 est dansC.
(b) À l’aide de la relation de Chasles, montrer que :∀x∈[0,1], f(x) =f(0) + Z x
0
g0(s) ds.
(c) Montrer que toute autre fonction gdeC vérifiant :
∀x∈[0,1], f(x) =f(0) + Z x
0
g(s) ds (1)
coïncide avecg0 sauf éventuellement en un nombre fini de points (on pourra considérer, après avoir justifié son existence, une subdivision subordonnée à la fois àg et àg0).
Pourf ∈ D, on appellera dérivée de f toute fonction g de C vérifiant la relation (1). On notera, par abus, f′ une dérivée arbitraire de f. On remarquera que cette notation n’est pas bien définie, puisqu’on n’a pas unicité de la dérivée, mais elle est seulement définie « à un nombre fini de points près ».
2. Réciproquement, soitg∈ C. Montrer que la fonctionf définie par
∀x∈[0,1], f(x) = Z x
0
g(s) ds est un élément deD.
Autrement dit,gest une dérivée def, donc toute fonction deCest primitivable au sens de la notion de dérivation introduite dans la question précédente.
3. Montrer que si f et g sont deux fonctions de D, alorsf g est dans D, et pour toute dérivée f′ de f et toute dérivéeg′ deg,f g′+f′g est une dérivée def g.
4. En étudiant le signe du polynôme enλsuivant : λ7→
Z 1 0
(g(x) +λ)2 dx,
montrer que pour toutg deC, on a Z 1
0
g(x)2 dx>
Z 1 0
g(x) dx 2
.
Montrer qu’il y a égalité si et seulement s’il existe une constanteC telle queg(x) =C sauf éventuellement en un nombre fini de pointsxde[0,1].
5. Soitg∈ C. Montrer que la fonctionf défini par :
∀x∈[0,1], f(x) = Z x
0
g(s) ds−x Z 1
0
g(s) ds, appartient à l’ensembleD0.
6. Soitg∈ C, démontrer quegvérifie
∀θ∈ D0, Z 1
0
g(s)θ′(s) ds= 0
si et seulement s’il existe une constanteC telle queg(x) =C sauf éventuellement en un nombre fini de points xde[0,1].
7. Soient f, g∈ C vérifiant
∀θ∈ D0, Z 1
0
(f(s)θ′(s) +g(s)θ(s)) ds= 0
Montrer qu’alors il existef˜∈ Dtelle quef coïncide avecf˜sauf éventuellement en un nombre fini de points, et que
∀x∈[0,1], f˜(x) = ˜f(0) + Z x
0
g(s) ds.
Observer que si de plusg∈ C0([0,1]), alorsf˜∈ C1([0,1]).
Partie III – Minimisation d’une expression intégrale Pour toutu∈ D0 et toutλ∈R∗+, on note
Eλ(u) =1 2
Z 1 0
(u′(x))2 dx+λ 4
Z 1 0
(1−u(x)2)2 dx.
1. Montrer que Eλ(u) est bien définie pour u∈ D0 et qu’en particulier sa valeur ne dépend pas du choix de u′ parmi les dérivées deu.
À partir de maintenant, et jusqu’à la fin du problème, on admettra que pour toutλ∈R∗
+, le problème de minimisation :
u∈Dmin0
Eλ(u), (2)
a au moins une solution, que l’on noterauλ. Ainsi, uλ vérifie
uλ∈ D0
∀v∈ D0, Eλ(v)>Eλ(uλ).
Le but du problème est d’étudier uλ, et en particulier son comportement lorsque λtend vers +∞.
2. (a) Soit ψ∈ D0. Montrer que
t→0lim
t6=0
Eλ(uλ+tψ)−Eλ(uλ)
t =
Z 1 0
u′λ(x)ψ′(x)−λ(1−uλ(x)2)uλ(x)ψ(x) dx.
(b) En déduire queuλ vérifie
∀ψ∈ D0, Z 1
0
u′λ(x)ψ′(x)−λ(1−uλ(x)2)uλ(x)ψ(x) dx= 0. (3) (c) À l’aide de la partie II, montrer que u′λ coïncide avec une fonction continue sauf éventuellement en un nombre fini de points. En déduire queuλ est en fait de classeC1, et que sa dérivée au sens classique vérifie encore (3). Montrer enfin queuλ est de classeC2 et vérifie l’équation différentielle
−u′′(x) =λ(1−u(x)2)u(x), (4)
sur]0,1[, puis que uλ est de classeC∞sur]0,1[.
(d) Montrer qu’il existe une constanteCλ∈Rtelle que
∀x∈]0,1[, (u′λ(x))2= λ
2((uλ(x)2−1)2−Cλ).
(e) En se souvenant queuλ∈ D0, montrer queCλ>0, puis queCλ∈[0,1].
(f) En admettant que pour toutx0∈]0,1[et tout (y0, y1)∈R2, l’équation différentielle (4) admet une unique solution u définie sur]0,1[telle que u(x0) = y0 et u′(x0) = y1 (ce qui découle du théorème de Cauchy- Lipschitz), montrer que :
∀x∈[0,1], uλ(x)2<1.
3. (a) En considérant, pour0< ε < 12, la fonction v(x)définie par :
v(x) =
x
ε six∈[0, ε]
1 six∈]ε,1−ε[,
1−x
ε six∈[1−ε,1],
montrer qu’il existe une constanteCindépendante deλtelle que pour toutλsuffisamment grand, Eλ(uλ)6C√
λ.
(b) En constatant que pour toutu ∈ D0, Eλ(u) = Eλ(−u), en déduire qu’il existe λ0 > 0 tel que pour tout λ>λ0, la solution du problème de minimalisation (2) n’est pas unique.
4. (a) Montrer que si l’on pose ϕλ=u2λ, alors
λ→+∞lim Z 1
0
(ϕλ(x)−1)2dx= 0.
(b) Soit µλ= max
x∈[0,1]|uλ(x)|. Montrer que
(µ2λ−1)26 Z 1
0
(ϕλ(x)−1)2dx, puis que lim
λ→+∞µλ= 1.
Partie IV – Minoration des réelsC tels que Eλ(uλ)6C√ λ
Dans cette partie, on considère une famille de fonctions(vλ)λ>0 de D0 vérifiant :
∃C >0, ∀λ >0, Eλ(vλ)6C√ λ.
1. Justifier le fait qu’une telle famille existe.
2. Montrer que pour tout(x, y)∈R2 et toutε >0, εx2+1
εy2>2xy.
En déduire que :Eλ(vλ)>
rλ 2
Z 1
0 |v′λ(x)(1−vλ(x)2)|dx.
3. On poseηλ= sup
x∈[0,1]|vλ(x)| et on définit la fonctionF deR+ dansR+ par : F(θ) =
θ−θ33 si06θ61
4
3+θ33 −θ siθ>1.
(a) Justifier l’existence de|ηλ|, et l’existence d’un pointxλ de[0,1]tel quevλ(xλ) =ηλ.
(b) En constatant queF est de classeC1 surR+ et que
∀θ∈R+, F′(θ) =|1−θ2|, montrer que :Eλ(vλ)>√
2λF(ηλ).
4. Déduire des questions précédentes que
λ0lim→+∞ inf
λ>λ0
Eλ(uλ)
√λ >2√ 2 3 .
